2022年河南省濮阳市高考数学一模试卷（文科）（含答案解析）

2022年河南省濮阳市高考数学一模试卷（文科）

1. 若全集，集合，则

A.  B.  C.  D.

2. 已知复数，则的虚部是

A.  B.  C.  D. 4

3. 已知向量，满足，，且，夹角为，则

A.  B.  C.  D.

A.  B.  C.  D.

5. 中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到万公里，其中高铁营业里程万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，如图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程单位：万公里的折线图，以下结论不正确的是
   
    

A. 每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著
B. 从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关
C. 2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长以上
D. 从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列

6. 若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为

A. 2 B.  C.  D.

7. “”是“函数是在上的单调函数”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

8. 已知函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，当取得最小值时，函数的解析式为

A.  B.
C.  D.

9. 在直三棱柱中，已知，，，则异面直线与所成的角为

A.  B.
C.  D.

10. 已知数列是等比数列，是其前n项和，若，，则

A. 4 B. 8 C. 12 D. 16

11. 已知抛物线C：的焦点为F，准线与坐标轴交于点M，P是抛物线C上的一点，且为钝角，若，，则的面积是

A.  B.  C.  D.

12. 设奇函数的定义域为，且的图象是连续不间断，，有，若，则m的取值范围是

A.  B.  C.  D.

13. 曲线在点处的切线方程为______ .
14. 设x，y满足约束条件，则的最大值是______.
15. 数列满足且对于任意的都有，则______.
16. 已知在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为______.
17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
    求；
    若，的面积为，求c的值．
    
    
    
    
    
    
     
18. 在四棱柱中，，且，平面ABCD，
    证明：
    求四棱锥的体积．
    
    
    
    
     

19. 某大型商场的空调在1月到5月的销售量与月份相关，得到的统计数据如表：

经分析发现1月到5月的销售量可用线性回归模型拟合该商场空调的月销量百件与月份x之间的相关关系．请用最小二乘法求y关于x的线性回归方程，并预测6月份该商场空调的销售量；
若该商场的营销部对空调进行新一轮促销，对7月到12月有购买空调意愿的顾客进行问卷调查．假设该地拟购买空调的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的500名顾客进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：

现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3人进行跟踪调查，求抽出的3人中恰好有2人是购买意愿的月份是12月的概率．
参考公式与数据：线性回归方程，其中，






 

20. 已知椭圆的离心率，且圆过椭圆C的上、下顶点．
    求椭圆C的方程；
    若直线l的斜率为，且直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点P关于原点的对称点为E，点是椭圆C上一点，若直线AE与AQ的斜率分别为，，证明：
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知函数
    讨论函数的单调性；
    已知且关于x的方程只有一个实数解，求t的值．
    
    
    
    
    
    
     
22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，为参数以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
    求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
    若点P是直线l的一点，过点P作曲线C的切线，切点为Q，求的最小值．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知函数
    求不等式的解集；
    若的最小值为k，且，证明：
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：因为，，
则
故选：
结合指数函数的性质先求出A，然后结合补集运算可求．
本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
 

2.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
把代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】
解：由，得，
的虚部为
故选：  

3.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．
按照多项式乘多项式展开后利用数量积的性质可得．
【解答】
解：



故选：  

4.【答案】B
 

【解析】解：
，
故选：
利用诱导公式以及正弦的差角公式化简即可求解．
本题考查了两角和与差的三角函数的三角函数的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 

5.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识，属中档题．
先对图表信息进行处理，再结合等差数列的概念及简单的推理逐一检验即可得解．
【解答】
解：由2014年到2018年铁路和高铁运营里程单位：万公里的折线图可知：
选项A，B显然正确；
对于选项C，因为，
即选项C正确；
，，，，不是等差数列，
即选项D错误.
故选  

6.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了双曲线的性质，属于基础题．
根据题意，可得双曲线的渐近线方程为，可得，即可得解.
【解答】
解：双曲线的一条渐近线与直线垂直．
双曲线的渐近线方程为，
，得，，
则离心率
故选：  

7.【答案】B
 

【解析】解：依题意，函数是在上的单调函数，
由于在上递增，所以在上递增，
所以且，即
所以“”是“函数是在上的单调函数”的必要不充分条件，
故选：
根据在区间上的单调性求得b的取值范围，结合充分、必要条件的知识确定正确选项．
本题考查了分段函数的单调性，属于中档题．
 

8.【答案】A
 

【解析】解：函数的图象向右平移个单位长度后，得到，
由于到的图象关于y轴对称，所以，且，整理得，
由于所以，解得所以
故选：
首先利用三角函数的平移变换的应用确定的值，进一步利用，求出A的值，进一步求出函数的解析式．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
 

9.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查异面直线所成的角的大小，考查空间想象能力和运算求解能力，是基础题．
由题意画出图形，连接，，可知为异面直线与所成的角．然后求解三角形得答案．

【解答】

解：在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，
所以，
 

连接，，可知为异面直线与所成的角．
平面，
平面
平面，

，，
，得
即异面直线与所成的角为
故选：

10.【答案】D
 

【解析】解：由，，
解得，因为，
所以，即，
解得，所以
故选：
利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

11.【答案】A
 

【解析】解：由已知得，准线为，，设，则，
，，
解得，或，为钝角，，
故选：
由抛物线方程可求焦点坐标与准线方程，点M的坐标，设设，由已知可求，，结合点在抛物线上，求解即可．
本题考查抛物线的几何性质，以及运算能力，属基础题．
 

12.【答案】D
 

【解析】解：奇函数的定义域为，且的图象是连续不间断，
令，则
因为，有，
所以当时，，则在上单调递减．
又是定义域在上的奇函数，所以，
则也是上的奇函数并且单调递减．
又等价于，
即，
所以，又，
所以
故选：
本题考查利用导数研究函数的单调性问题，考查推理论证能力和创新意识．
本题主要考查导数法研究函数的单调性，函数的奇偶性，等价转化思想，注意单调性的运用．属于难题．
 

13.【答案】
 

【解析】解：的导数为，
可得曲线在点处的切线的斜率为2，
则切线的方程为，
故答案为：
求得的导数，可得切线的斜率，由直线的斜截式方程，可得切线的方程．
本题考查导数的运用：求切线的方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
 

14.【答案】4
 

【解析】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得，
由，得，由图可知，当直线过A时，
直线在y轴上的截距最大，z有最大值为
故答案为：
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
 

15.【答案】820
 

【解析】

【分析】
本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力，属于中档题．
利用数列的递推关系式，通过累加法以及数列求和求解即可．
【解答】
解：数列满足且对于任意的都有，
可得：，
，
，
…
，
累加可得：…
，
可得
故答案为：  

16.【答案】
 

【解析】解：，
，，
，
即和均为以AC为斜边的直角三角形，
所以AC为球的直径，
所以球的半径，
所以其表面积为，
故答案为：
判断出AC是球的直径，计算出球的半径，从而求得球的表面积．
本题考查了三棱锥的外接球问题，属于中档题．
 

17.【答案】本题满分为12分
解：，
，…2分
由余弦定理得，…4分
又，
，…6分
，
，可得：，…8分
的面积为，
，即：，…10分
解得：…12分
 

【解析】先把题设条件代入关于A的余弦定理中，求得的值，进而利用同角三角函数的基本关系求得的值．
由正弦定理化简可求，利用三角形的面积公式即可解得c的值．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，同角三角函数的基本关系的应用以及用诱导公式和两角和公式化简求值．考查了学生对基础知识的掌握和基本的计算能力．
 

18.【答案】证明：设AC，BD交于点O，
，，
又，，，
≌，，
≌，，
，
又平面ABCD，平面ABCD，
，又，
平面，又平面，

解：由可知，，
，，，
，平面，平面，
到平面的距离等于C到平面的距离，

 

【解析】根据三角形相似证明，结合可得平面，故而；
先计算OD，OC的值，再根据计算体积．
本题考查了线面垂直的判定与性质，考查棱锥的体积计算，属于中档题．
 

19.【答案】解：，，
，
则，
于是y关于x的回归直线方程为
当时，百台；
现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名，则购买意愿为7月份的抽4人记为a，b，c，d，购买意愿为12月份的抽2人记为A，
从这6人中随机抽取3人的所有情况为、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共20种，
恰好有2人是购买意愿的月份是12月的有、、、，共4种，
故所求概率为
 

【解析】本题考查线性回归方程的求法，训练了利用枚举法求古典概型的概率，是中档题．
由已知表格中的数据求得与的值，得到线性回归方程，取求得y值即可；
利用列举法写出从6人中随机抽取3人的所有情况，再求出从这6人中随机抽取3人的所有情况，由古典概型概率计算公式求解．
 

20.【答案】解：因为圆过椭圆C的上、下顶点，所以，
又离心率，所以，
于是有，解得，
所以椭圆C的方程为
证明：由于直线l的斜率为，可设直线l的方程为，代入椭圆方程，
可得
由于直线l交椭圆C于P，Q两点，所以，整理解得
设点，，由于点P与点E关于原点对称，故点，
于是有，
若直线AE与AQ的斜率分别为，，由于点，
则，
又因为，，
于是有，
故直线AE与AQ的斜率之和为0，即，所以
 

【解析】利用已知条件求解，结合离心率，转化求解a，得到椭圆方程．
设直线l的方程为，代入椭圆方程，利用，整理解得设点，，求出，
结合韦达定理，转化求解直线AE与AQ的斜率分别为，，推出即可．
本题考查椭圆方程的求法，椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
 

21.【答案】解：的定义域为，，
当时，，则函数在上单调递增，
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减，
当，，则在上单调递增，
综上，当时，函数在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
关于x的方程只有一个实数解，
即只有唯一正实数解，
设，则，
令，，因为，，解得舍去，，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
所以的最小值为
要使得方程只有唯一实数解，
则，即，
得，，，
设，恒成立，
故在上单调递增，至多有一解，
又，
，即，解得
 

【解析】求出函数的导数，通过讨论t的范围，求出函数的单调区间即可；
问题转化为只有唯一正实数解，设，根据函数的单调性求出的最小值，求出t的值即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．
 

22.【答案】解：将l的参数方程为参数消去参数t，得
把代入，
可得曲线C的直角坐标方程为；
由知曲线C是以为圆心，3为半径的圆，设圆心为A，
则圆心A到直线l的距离，
与圆A相离，且
连接AQ，AP，在中，，
，即的最小值为
 

【解析】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与圆位置关系的应用，是中档题．
将l的参数方程中的参数t消去，可得直线l的普通方程．把代入，可得曲线C的直角坐标方程；
由知曲线C是以为圆心，3为半径的圆，设圆心为A，利用圆心到直线的距离大于半径可得l与圆A相离，再由勾股定理及点到直线的距离求解的最小值．
 

23.【答案】解：由，得，
则或或，
解得：，
故不等式的解集是；
证明：，
故，
，
故，，
，
当且仅当，即，时取“=”，
故
 

【解析】通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；
求出k的值，根据基本不等式的性质求出的最小值即可．
本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．