2020-2021学年高一数学人教A版(2019)必修第一册必做100题 专题二 一元二次函数、方程和不等式
展开专题二 一元二次函数、方程和不等式
1.已知，且，则下列不等式恒成立的是( )
A.B.
C.D.
2.若实数满足，则的最小值为（）
A. 8B.6C.4D.2
3.若不等式的解集为，则的值分别是( )
A.B.C. D.
4.已知，给出下列不等式：①；②；③其中一定成立的为（ ）
A.①②B.①③C.①②③D.②③
5.已知实数满足，则的大小关系是( )
A.B.C.D.
6.若，则下列结论正确的是( )
A.B.C.D.
7.已知，则的最小值是( )
A.2B.8C.4D.6
8.不等式的解集是( )
A.B.
C.D.
9.下列结论正确的是( )
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
10.已知均大于0，且，则的最小值为( )
A.2B.6C.D.10
11.将一根铁丝切割成三段，做一个面积为、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )
A. B. C. D.
12.若，则“”是 “”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
13.给出以下三个不等式：①；②；③，其中恒成立的不等式共有_________个.
14.已知正实数满足，则的最小值为.
15.若关于x的不等式对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是 .
16.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x的值是__________.
17.关于x的不等式的解集是_________.
18.已知正实数满足，且的最小值为18，求实数的值.
19.已知不等式.
(1)若不等式的解集是，求k的值；
(2)若不等式的解集是R，求k的取值范围.
20.某建筑工地决定建造一批简易房（房型为长方体，房 高为)，前后墙用高的彩色钢板，两侧用高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算（钢板的高均为，用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格），每米售价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元.房顶用其他材料建造，每平方米的材料费为200元.每套房的材料费控制在32000元 以内.
(1 )设房前后墙的长均为，两侧墙的长均为， 每套房所用材料费为P元，试用表示P.
(2)当前面墙的长度为多少时，简易房的面积最大? 并求出最大面积.
答案以及解析
1.答案：C
解析：因为，且，所以，所以.
2.答案：C
解析：实数满足，则，当且仅当且时等号成立.故选C.
3.答案：A
解析：不等式，即由已知，得是方程的两根，则解得，故选A.
4.答案：A
解析：
由，可得，①正确；∵，∴，∴，∴，②正确；若，则，，，③错误，故选 A.
5.答案：A
解析：因为，即，所以.因为，两式相减得，即，所以，所以.综上可得，故选A.
6.答案：C
解析：因为，所以.对于选项A，，所以，选项A错误；对于选项B，，所以，所以选项B错误；对于选项C，因为，所以，所以，所以选项C正确；对于选项D，，所以，所以选项D错误.故选C.
7.答案：C
解析：由，可得.当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是4，故选C.
8.答案：C
解析：不等式等价于，所以解集是.故选C.
9.答案：B
解析：由，不能推导出，A错；
∵，∴，B正确；
∵不知道的正负情况，∴C，D是错误，故选B.
10.答案：C
解析：∵，∴，当且仅当，即时取等号，故最小值为，故选C.
11.答案：C
解析：设直角三角形框架的两直角边的边长分别为，，周长为，则，所以，.当且仅当时取等号，因为要求够用且浪费最少，所以选C.
12.答案：A
解析：
因为，所以.由，可得解得，所以充分性成立；
当时，取，满足，但，所以必要性不成立.
所以“”是 “”的充分不必要条件，故选A.
13.答案：2
解析：因为，所以①不恒成立；因为，所以②恒成立；因为，且，所以，即③恒成立.
14.答案：18
解析：因为，又，所以，即，当且仅当，即时取等号.
15.答案：
解析：因为， 所以，解得.
16.答案：30
解析：一年购买次，设总运费与总存储费用之和为L万元，则，当且仅当，取等号，故总运费与总存储费用之和最小时，x的值是30.
17.答案：
解析：因为方程的解为，且知，又二次函数的图象开口向上，且与x轴有两个交点，所以不等式的解集为.
18.答案：
当且仅当，即时等号成立
的最小值为
又
是关于x的一元二次方程的两根，
或
19.答案：(1)∵不等式的解集为，
∴与是方程的两根，
∴，∴.
(2)若不等式的解集为R，即恒成立，
则满足，∴.
20.答案：(1)根据题意，可知前后墙的费用之和为元，两侧墙的费用之和为元
房顶面积，造价为元，
(2)设简易房的面积为，则，且
由题意，可得
，
当且仅当，即时，S取得最大值，最大值为100.
故当前面墙的长度为时，简易房的面积最大，最大面积为.
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