2020-2021学年高一数学人教A版(2019)必修第一册必做100题 专题三 函数概念与性质

2020-2021学年高一数学人教A版(2019)必修第一册必做100题

专题三 函数概念与性质

1.下列各组函数是同一函数的是（   ）

A. 与

B. 与

C. 与

D. 与

2.已知，则(   )

A.36 B.16 C.4 D.-16

3.学校宿舍与办公室相距，某同学有重要材料要给老师.从宿舍出发，先匀速跑步3分钟来到办公室，停留2分钟，然后匀速步行10分钟返回宿舍.在这个过程中，这位同学行走的路程s是时间t的函数，则这个函数的图象大致是(   )

A. 

B.

C. 

D.

4.在函数①，②   ，③，④，⑤，⑥中，是幂函数的是（   ）

A.①②④⑤ B.③④⑥ C.①②⑥ D.①②④⑤⑥

5.从装满20 L纯酒精的容器中倒出1 L酒精，然后用水加满，再倒出1 L酒精溶液，再用水加满，照这样的方法继续下去，如果倒第k次时共倒出纯酒精x L，倒第k + 1次时共倒出纯酒精L，则的解析式是(   )

A.    B.

C.    D.

6.新定义运算，若，则=（   ）

A.   B.    C.    D.

7.函数在R上为增函数，且，则实数m的取值范围是(   )

A.  B.

C.  D.

8.已知函数的值域为，则函数的值域为(   )

A. B. C. D.

9.设偶函数满足，则(   )

A.  B.

C.  D.

10.若幂函数的图象经过点，则的定义域为(   )

A.R  B.

C.  D.

11.将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，根据经验，若该商品每个每涨1元，则其销售量就减少20个，为获得最大利润，每个商品的售价应定为(   )

A.94元 B.93元 C.96元 D.95元

12.已知是定义域为的奇函数，满足.若，则=（   ）

A.-50  B.0  C.2  D.50

13.已知区间，则的取值范围为__________.

14.函数的定义域是，则函数的定义域是_________.

15.若函数在上是奇函数，则的解析式为              .

16.已知幂函数 ()为偶函数，且在区间上单调递增，则函数的解析式为 ___________.

17.在一定范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系，如果购买1000吨，那么单价为800元，如果购买2000吨，那么单价为700元，则客户购买400吨时，单价应该为__________元.

18.已知函数.

(1)讨论函数的奇偶性，并说明理由；

(2)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围.

19.某商店经营的某种消费品的进价为每件14元，月销售量Q(百件)与每件的销售价格p(元)的关系如图所示，每月各种开支2000元；

(1) 写出月销售量Q(百件)关于每件的销售价格p(元)的函数关系式；

(2)写出月利润y(元)与每件的销售价格p(元)的函数关系式.

(3) 当该消费品每件的销售价格为多少元时，月利润最大?并求出最大月利润.

20.已知函数的定义域是，对定义域内的任意，都有，且当时，，.

(1)证明：是偶函数；

(2)证明：在上单调递增；

(3)解不等式.

答案以及解析

1.答案：B

解析：A中，的定义域为，而的定义域为，∴不是同一函数；

B中，，定义域为，与的定义域及对应关系均相同，是同一函数；

C中，的定义域为，而的定义域为，∴不是同一函数；

D中，的定义域为 ，而的定义域为，不是同一函数，故选B.

2.答案：B

解析：令，解得.∴.

3.答案：A

解析：由题意可得先匀速跑步3分钟来到办公室，路程是递增；停留2分钟，路程不发生变化；在匀速步行10分钟返回宿舍，总路程也是增加的，只有A选项符合.

4.答案：C

解析：

幂函数是形如(为常数）的函数，①是的情形，②是的情形，⑥是的情形，所以①②⑥是幂函数；③是一次函数，不是幂函数；④是常函数，不是幂函数；⑤中的系数是2，不是幂函数.所以只有①②⑥是幂函数.

5.答案：A

解析：

∵倒第k次时共倒出纯酒精x L， ∴第k次后容器中含纯酒精，

第次倒出的纯酒精是，∴.

6.答案：D

解析：由题意知，且，∴，∴，∴

7.答案：C

解析：因为函数在R上为增函数，且，所以，解得.故选C.

8.答案：B

解析：设，则.∵，∴.则.∵图象的对称轴为直线，∴当时，取得最大值1，当时，取得最小值，∴函数的值域是，故选B.

9.答案：B

解析：∵，

∴令，得.

又为偶函数且，

∴，∴，解得或.

10.答案：D

解析：设，因为幂函数的图象经过点，所以，所以，即，其定义域为，故选D.

11.答案：D

解析：设每个商品的售价定为元，则卖出商品后获得的利润，∴当时，y取得最大值，即每个商品的售价应定为(元).故选D.

12.答案：C

解析：因为，所以函数的图象关于直线对称.又是奇函数，所以函数的图象关于坐标原点成中心对称.由数形结合，可知函数是以4为周期的周期函数.因为是上的奇函数，所以.又，所以当 时，；当时，；当时， .综上，可得. 故选C.

13.答案：

解析：由题意，得 ，所以.

14.答案：

解析：由的定义域为，可知，得，即所求定义域为.

15.答案：

解析：在上是奇函数，.又，即，

16.答案：

解析：

因为幂函数 ()为偶函 数，所以为偶数.又在区间上单调递增，

所以，所以. 又， 为偶数，所以，所以.

17.答案：860

解析：∵该种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系，

∴可设.

由题意可得，

解得，

∴.

当时，有，解得.

18.答案：(1) 函数的定义域为，关于原点对称.

当时，，对定义域内的任意x，都有，

所以当时，函数是偶函数.

当时， ，.

因为，且，

所以既不是奇函数，也不是偶函数.

(2)任取，则

因为，在上单调递增，

所以恒成立，即恒成立.

又，

所以，所以.

故实数a的取值范围为.

19.答案：(1) 由题意，得
(2)当时，

即

当时，

即

所以
(3)由(2)中的解析式和二次函数的知识，可得

当时，则时，y取到最大值，为4050；

当时，则时，y取到最大值，为.

又

所以当该消费品每件的销售价格为元时，月利润最大，为4050元.

20.答案：(1)令，得.

令，得，

，

又的定义域关于原点对称，

是偶函数.

(2)任取，且，

则.

又当时，

即，即，

在上单调递增.

(3) .

又是偶函数，

不等式可化为.

又函数在上单调递增，

，且，

解得，且.

即原不等式的解集为.