专题五 导数的运算及在函数性质中的应用-2021届高三《新题速递•数学》9月刊（江苏专用 适用于高考复习）

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专题五 导数的运算及在函数性质中的应用
一、单选题
1．（2020·全国高三课时练习（理）），，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
构造函数，利用其导函数判断出单调区间，根据奇偶性和对称性可得正确选项.
【详解】
构造形式，则，时导函数，单调递增；时导函数，单调递减．又 为偶函数，根据单调性和对称性可知选D.故本小题选D.
【点睛】
本小题主要考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性以及求解不等式，属于中档题.
2．（2020·重庆北碚�西南大学附中高二期末）已知函数在处取得极值，则（ ）
A．1 B．2 C． D．-2
【答案】C
【解析】
【分析】
利用列方程，解方程求得的值.
【详解】
，依题意，即.
此时，所以在区间上递增，在区间上递减，所以在处取得极大值，符合题意.
所以.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的极值点、极值，属于基础题.
3．（2020·重庆北碚�西南大学附中高二期末）已知是定义在上的函数的导函数，且满足对任意的都成立，则下列选项中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
令，结合已知条件可知为上的增函数，故可根据得到正确的选项.
【详解】
令，则，故为上的增函数，
所以即，
故选：D.
【点睛】
本题考查函数的单调性，注意根据导数满足的关系合理构建新函数，本题属于基础题.
4．（2020·全国高三其他（文））已知函数的导函数无零点，且对任意，都有，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，可知函数在上是单调函数，可确定为常数，设，可写出，结合题意，求得，从而得到，进而求得，得到结果.
【详解】
根据题意，函数在上是单调函数，
且对任意，都有成立，则有为常数，
设，则，则，
解得或（舍），
所以，所以，
故选：C.
【点睛】
该题考查的是有关函数单调性的综合应用，属于简单题目.
5．（2017·福建高二期末（文））函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示．则函数在内有几个极小值点（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
观察导函数图像，结合极小值点定义即可得出答案.
【详解】
因为极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，
由图得：导函数值先负后正的点只有一个，
故函数在内极小值点的个数是1.
故选：A.
【点睛】
本题考查极小值点的定义，考查导函数图像与极值点的关系，属于基础题.
6．（2017·福建高二期末（文））曲线在点处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
已知点在曲线上，若求切线方程，只需求出曲线在此点处的斜率，利用点斜式求出切线方程．
【详解】
由已知得：曲线为;
则：对其进行求导得；
当时，
曲线在点处的切线方程为：
化简得：；
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了求曲线切线方程，解题关键是掌握根据导数求切线的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
7．（2021·江西景德镇一中高三月考（文））已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
画出函数的图象,①当直线与曲线相切于点时,,推出直线与函数的图象恰有3个交点时的范围;②当直线与曲线相切时,设切点为,通过,求出,或,,然后判断求解的范围.
【详解】
函数的图象如图所示, 
 
①当直线与曲线相切于点时, , 
故当或时,直线与函数的图象恰有一个交点, 
当时,直线与函数的图象恰有两个交点, 
②当直线与曲线相切时,
设切点为,则, 
,解得,或,，
当时,直线与函数的图象恰有一个交点, 
当或时,直线与函数的图象恰有两个交点, 
当时,直线与函数的图象恰有三个交点, 
综上的取值范围是.
故选：C.
【点睛】
本题考查分段函数图像的画法，以及利用函数图象研究函数的零点问题，属于中档题.
8．（2020·贵州省思南中学高二期末（理））设函数，若是函数是极大值点，则函数的极小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数的极大值点为求出参数的值，然后再根据函数的单调性求出函数的极小值即可．
【详解】
∵，
∴，
∵是函数的极大值点，
∴，解得，
∴，
∴当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；
∴当时，有极小值，且极小值为．
故选A．
【点睛】
解答类似问题时常犯的错误是误认为导函数的零点即为函数的极值点，解题时，在求得导函数的零点后，还要判断出导函数在零点两侧的符号是否相反，若不相反则可得该零点不是函数的极值点．
9．（2020·临猗县临晋中学高二期末（理））设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用的导函数，结合在区间上的单调性列不等式，解不等式求得的取值范围.
【详解】
依题意，由此排除CD选项.
由，解得，
所以函数的单调递减区间为.
由此排除B选项，只有A选项正确.
证明如下：
由于在区间上单调递减，
所以，解得.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查根据函数在区间上的单调性求参数的取值范围，考查导数的计算，属于基础题.
10．（2020·临猗县临晋中学高二期末（理））曲线上的点到直线的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
将直线平移至与函数图象相切，则切点到直线的距离最短，利用导数的几何意义解出切点坐标，然后利用点到线距离公式求出最小距离.
【详解】
如图所示，将直线平移至与函数图象相切时，
切点到直线的距离最短,设切点坐标为，
,令得，，则切点坐标为，
所以切点到直线的距离为：.
故选：A.

【点睛】
本题考查曲线上的点到某一条定直线的最小距离问题，其根本是考查导数的几何意义，难度一般，灵活转化是关键.
11．（2020·浙江柯桥�高三其他）已知函数与的图象如图所示，则函数（其中为自然对数的底数）的单调递减区间为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
结合函数图象比较与的大小，求出成立的的范围，求出的导数，判断其与的关系即可.
【详解】
结合图象：和时，，即，
而，故在，递减，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了数形结合思想，考查函数的单调性与导数的关系，判断与的大小是解题的关键，属于中档题.
12．（2020·昆明市官渡区第一中学高二期中（理））已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则函数在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用先求出的值，设，根据已知条件求出，再利用奇函数，求出在上的解析式，同时可求出导函数；求出切点坐标，再求出该点处的导数即为切线的斜率，利用点斜式表示出直线方程即可．
【详解】
解：由题意得，，解得，
当，时，，
设，则，，
是定义在上的奇函数，
，此时，
，
，
把代入得， ，则切点为，
所求的切线方程为：，化简得，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，奇函数性质的利用，以及函数解析式，求函数在某范围内的解析式，一般先将自变量设在该范围内，再想法转化到已知范围上去，考查了转化思想，属于基础题．
13．（2020·高邮市第一中学高三月考）已知函数，若方程有4个零点，则的可能的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求得解析式，令，将问题转化为的图象与的图象有四个不同的交点来求解出的取值范围，由此确定正确选项.
【详解】
当，
所以.
令，得，
依题意，的图象与的图象有四个不同的交点，画出和的图象如下图所示.
由图可知，要使的图象与的图象有四个不同的交点，需，
即.四个选项中只有B选项符合.
另外注意：当时，，，，所以过的切线方程为，即，故此时切线方程过原点.也即与只有个公共点，不符合题意.
故选： B

【点睛】
本小题主要考查分段函数的性质，考查根据零点个数求参数，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
14．（2020·武威第八中学高二期末（理））函数在点处的导数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
直接根据导数的运算公式求解即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查导数的运算公式，属于基础题．
15．（2020·武威第八中学高二期末（理））设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
构造新函数,，当时.
所以在上单减，又，即.
所以可得,此时，
又为奇函数，所以在上的解集为：.
故选A.
点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.
16．（2020·日喀则市拉孜高级中学高二期末（文））函数，在上的最大、最小值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数导函数求函数的单调区间，结合根据区间单调性求最值即可
【详解】
由知：，令时有
∴在上
当上，，即函数单调递增；
当上，，即函数单调递减
∴，而，，
即
故选：B
【点睛】
本题考查了利用导数求函数单调区间，再根据单调区间并结合已知区间，求已知区间内的最值
17．（2020·日喀则市拉孜高级中学高二期末（文））如图是导函数的图象，那么函数在下面哪个区间是减函数（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据导函数的图象，利用函数单调性和导数之间的关系即可得到结论．
【详解】
解：若函数单调递减，则，
由图象可知，时，，
故选B．
【点睛】
本题主要考查函数单调性的判断，根据函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．
18．（2020·日喀则市拉孜高级中学高二期末（文））设函数f(x)＝，若f′(－1)＝4，则a的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题，求导，将x=-1代入可得答案.
【详解】
函数的导函数，因为f′(－1)＝4，即，
解得
故选D
【点睛】
本题考查了函数的求导，属于基础题.
19．（2020·日喀则市拉孜高级中学高二期末（文））下列说法正确的是（ ）
A．当时，则为的极大值
B．当时，则为的极小值
C．当时，则为的极值
D．当为的极值且存在时，则有
【答案】D
【解析】
【分析】
由导函数及极值定义得解.
【详解】
不妨设函数则可排除ABC
由导数求极值的方法知当为的极值且存在时，则有
故选：D
【点睛】
本题考查导数求函数极值,属于基础题.
20．（2020·安徽高三月考（理））已知函数，若存在实数，对任意都有成立.则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
令，则，设，则，利用导数可求，从而得到的最值，故可得的取值范围，从而得到正确的选项.
【详解】
，故，
令，则，设，则，
又，
若，则，故在为增函数；
若，则，故在为减函数；
故，故，
所以，，
当且仅当时取最大值，当且仅当时取最小值，
故即的最小值.
故选：C.
【点睛】
本题考查与三角函数有关的函数的最值，注意通过换元法把与三角函数有关的函数问题转化为多项式函数，后者可以利用导数来讨论，本题属于中档题.
21．（2020·河南宛城�南阳华龙高级中学高二月考（理））若函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
对函数求导，即可求解.
【详解】
，则．
故选：A
【点睛】
本题考查求函数的导数，属于基础题.
22．（2020·河南宛城�南阳华龙高级中学高二月考（理））已知函数的图象如图所示(其中是函数的导函数)，则下面四个图象中，的图象大致是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据所给图像分段分析函数的单调性判断即可.
【详解】
由的图象可得：
当时,,∴,即函数单调递增；
当时,,∴,即函数单调递减；
当时,,∴,即函数单调递减；
当时,,∴,即函数单调递增,
观察选项,可得C选项图像符合题意.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了根据导函数的图形判断原函数的图形方法,属于基础题.
23．（2020·江西高二期末（文））已知函数，下列结论不正确的是（ ）
A．在上单调递增，在上单调递减
B．的图象在点处的切线方程为
C．
D．在上有最大值
【答案】C
【解析】
【分析】
对函数求导，求出函数的单调区间和最大值，故AD正确；求出函数在处的切线方程，故B正确；对数运算可得，故C错误.
【详解】
，令，可得
当，，单调递增；当，，单调递减
单调递增，所以AD正确.
，，切线方程为：，故B正确.

，，故C错误.
故选：C
【点睛】
本题考查了导数的几何意义、导数的综合应用和比较对数大小，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于基础题目.
24．（2021·河西�天津实验中学高三月考）已知函数，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由偶函数的定义可判断函数是定义在上的偶函数，导数可得函数在上单调递增，根据函数的单调性及奇偶性即可得解.
【详解】
因为，
所以函数是定义在上的偶函数，
所以，
因为当时，，所以函数在上单调递增，
所以即.
故选：C.
【点睛】
本题考查了导数判断函数单调性的应用，考查了函数单调性与奇偶性比较大小的应用，属于基础题.
25．（2020·湖南天心�长郡中学高三月考）设函数，若存在区间，使在，上的值域为，，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
判断的单调性得出在，上有两解，作出函数图象，利用导数的意义求出的范围．
【详解】
解：，，
当时，，
在，上单调递增，
，
在，上单调递增，
，，，
在，上单调递增，
在，上的值域为，，
，
方程在，上有两解，．
作出与直线的函数图象，则两图象有两交点．

若直线过点，，
则，
若直线与的图象相切，设切点为，，
则，解得．
，
故选：．
【点睛】
本题考查了函数的单调性，导数的几何意义，零点个数与函数图象的关系，属于中档题．

二、多选题
26．（2020·全国高三其他）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．函数有2个零点
C．的解集为
D．，，都有
【答案】CD
【解析】
【分析】
当时，结合函数奇偶性可求出解析式；结合奇偶性和零点的含义可判断函数零点的个数；令，分，两种情况进行讨论，即可求出解集；结合导数求出函数的最大值和最小值，即可判断D.
【详解】
当时，，由奇函数定义可知，，故A错误；
对于B，当时，，可知是函数的一个零点．当时，
令，解得，即是函数的一个零点．
由奇函数的性质可知，是函数的一个零点，因此函数有3个零点，
故B错误；
对于C，当时，令，解得，当时，
令，解得，综上可知，
的解集为，故C正确；
对于D，，，都有．当时，
，当时，是增函数，当时，是减函数，
且时，，根据奇函数图象的性质可知，时，
，，可知，故D正确，
故选:CD．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性，考查了函数零点个数的求解，考查了及利用导数研究不等式，属于中档题．
27．（2020·重庆北碚�西南大学附中高二期末）下列命题中正确的有（ ）
A．函数的单调递增区间是
B．若函数的定义域为，则函数的定义城为
C．函数有且仅有个不同的零点
D．若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】
利用函数的性质及利用导数即可判断每个选项的正误.
【详解】
解：令，解得或.即函数在上单调递减，在上单调递增，而是增函数，
所以函数的单调递增区间是，故A错误；
令，解得，所以函数的定义城为，故B正确；
，则.
当时，，即函数在上单调递增，
当时，，即函数在上单调递减，
当时，，即函数在上单调递增，
所以在处，取得极大值为，在处，取得极小值为，
故函数有且仅有个不同的零点，故C错误；
令，，，
所以函数为奇函数，在上，，
则，
所以函数在上单调递增，
因为，是连续函数且为奇函数，
所以在上是增函数，
因为，所以，即，故D正确.
故选：BD.
【点睛】
本题考查函数的单调性，定义域的求法，函数零点的判断，以及导数的应用，考查分析问题能力，属于中档题.
28．（2020·重庆北碚�西南大学附中高二期末）已知函数，当实数取确定的某个值时，方程的根的个数可以是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．4个
【答案】ABC
【解析】
【分析】
令，画出，结合的解的情况可得正确的选项.
【详解】
，
故当时，，故在上为增函数；
当时，，故在上为减函数，
而且当时，恒成立，故的图象如图所示：

考虑方程的解的情况.
，
当时，，此时方程有两个不等的正根，
因为，故，，
由图象可知方程的解的个数为2，方程的解的个数为0，
故方程的根的个数是2.
当时，，此时方程有两个相等的正根，
由图象可知方程的解的个数为1，
故方程的根的个数是1.
当时，，此时方程无解，
故方程的根的个数是0.
当时，，此时方程有两个相等的负根，
由图象可知方程的解的个数为1，
故方程的根的个数是1.
当时，，此时方程有两个不等的负根，
由图象可知方程的解的个数为1，方程的解的个数为1，
故方程的根的个数是2.
故选：ABC．
【点睛】
本题考查复合方程的解，此类问题，一般用换元法来考虑，其中不含的参数的函数的图象应利用导数来刻画，本题属于难题．
29．（2020·山东高三其他）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是周期函数
C．有零点 D．在上单调递增
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据题意，求得的定义域为，根据定义法判断函数的奇偶性，求得，即可判断A选项；根据周期的定义，即可判断B选项；由，可知有零点，即可判断C选项；利用导数研究函数的单调性，求导得出在上恒成立，可知在上单调递增，即可判断D选项，从而得出答案.
【详解】
解：由题可知，函数的定义域为，
而，则为奇函数，故A正确；
根据周期的定义，可知一定不是周期函数，故B错误；
因为，所以有零点，故C正确；
对求导，得在上恒成立，
故在上单调递增，故D正确．
故选：ACD.
【点睛】
本题考查函数的性质，利用定义法判断函数的奇偶性和周期性，还涉及函数的零点以及利用导数研究函数的单调性．
30．（2021·江苏清江浦�淮阴中学高三开学考试）已知函数，若，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．当时，
【答案】AD
【解析】
【分析】
设，函数单调递增，可判断A；设，则不是恒大于零，可判断B；，不是恒小于零，可判断C；当时，，故，函数单调递增，故，
即，由此可判断D.得选项.
【详解】
设，函数单调递增，所以，所以，即有，故A正确；
设，则不是恒大于零，所以不恒成立，故 B错误；
，不是恒小于零，所以不恒成立，故C错误；
当时，，故，函数单调递增，
故，
即，又，所以，
所以，所以有，故 D正确.
故选：AD.
【点睛】
本题考查利用导函数研究函数的单调性，判断不等式是否成立，属于较难题.
31．（2021·江苏清江浦�淮阴中学高三开学考试）如图，已知直线与曲线相切于两点，则有（ ）

A．1个极大值点，2个极小值点 B．2个零点
C．0个零点 D．2个极小值点，无极大值点
【答案】AC
【解析】
【分析】
由图像知，根据函数有一个极大值点，两个极小值点，判断的符号即可得出A正确；，，则，则没有零点, C正确.
【详解】
解：

直线与曲线相切于两点，
有两个根，且，
由图象知，则
即，则函数，没有零点，故C正确.
函数有三个极值点，其中一个极大值点，两个极小值点，
设的三个极值点分别为，不妨设，
则，
①当时，由图像知，图像上任意一点的切线斜率都小于，
即，，所以在递减，
②当时，由图像知，图像上任意一点的切线斜率都大于0，
即，，所以在递增，
③当时，由图像知，图像上任意一点的切线斜率都小于，
即，，所以在递减，
④当时，由图像知，图像上任意一点的切线斜率都大于0，
即，，所以在递增，
综合①②③④有，有1个极大值点，2个极小值点，故A正确.
故选：AC.
【点睛】
考查函数零点以及极值点个数的判断，函数的零点个数转化为方程解的个数或与轴交点的个数，函数的极值点个数转化为其导函数变号零点的个数，中档题.

第II卷（非选择题）
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三、解答题
32．（2020·四川南充�高二期末（理））已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）当时，在上，是减函数,当时，在上，是减函数,在上，是增函数；（2）
【解析】
【分析】
求出函数的定义域，函数的导数，通过a的范围讨论，判断函数的单调性即可．（2）
对任意x＞0，都有f（x）＞0成立，转化为在（0，+∞）上f（x）min＞0，利用函数的导数求解函数的最值即可．
【详解】
（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）
又
当a≤0时，在（0，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数
当a＞0时，由f′（x）=0得：或（舍）
所以：在上，f′（x）＜0，f（x）是减函数
在上，f′（x）＞0，f（x）是增函数
（2）对任意x＞0，都有f（x）＞0成立，即：在（0，+∞）上f（x）min＞0
由（1）知：当a≤0时，在（0，+∞）上f（x）是减函数，
又f（1）=2a﹣2＜0，不合题意
当a＞0时，当时，f（x）取得极小值也是最小值，
所以：
令（a＞0）
所以：
在（0，+∞）上，u′（a）＞0，u（a）是增函数又u（1）=0
所以：要使得f（x）min≥0，即u（a）≥0，即a≥1，
故：a的取值范围为[1，+∞）
【点睛】
本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．
33．（2020·全国高三其他）已知函数，．
（1）设，若在定义域内有唯一极值点，求的取值范围；
（2）若，证明：当时，．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
(1) 令，分离参数，构造函数，通过研究函数的单调性得的取值范围.
(2) 将不等式转化，构造函数，，通过求导，判断单调性，容易证明最大值小于1，从而得证.
【详解】
（1）解：由题知，，则，
由题知，在上有唯一零点（且在此零点附近两侧的符号相反）．
由得，令，则．
当时，；当时，．
且，当时，，当时，，
由题意且结合的图象可知，或．
当时，无极值点，不符合题意．
所以的取值范围为．

（2）证明：要证当时，，即证当时，．
因为，所以，
只需证当时，．即证，
构造函数，．，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．则，
故，原不等式得证．
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了已知极值求参数的取值范围，考查了利用导数画函数图象的草图．
34．（2020·重庆北碚�西南大学附中高二期末）已知关于函数.
若函数在点处的切线为轴时，求函数的单调区间与极值；
当时，若函数有两个不同的零点，求的取值范围.
【答案】函数在上单调递减，在上单调递增；极小值，无极大值；.
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义得出切线斜率，再结合切线为轴建立两个等式求出参数，，再利用导数符号与函数单调性的关系求出函数的单调区间，进而求出极值；
先用换元法令，问题转化为函数有两个大于零的零点，在讨论函数的单调性，结合零点存在定理即可判断函数的零点个数，进而求出的取值范围.
【详解】
解：函数，，
若函数在点处的切线为轴，
则切，即，，①
切线方程为切，，即，
.②
由①②解得，，
，，
，，
令，.
当时，，则函数在上单调递减，
当时，，则函数在上单调递增.
函数有极小值为极小值，无极大值.
若时，则，
令，则，，
函数有两个不同的零点等价于函数有两个大于零的零点，
又因为，，
令，，
时，即时，恒成立，
恒成立，此时在上单调递增，至多有一个零点，不符合题意.
时，即或时，存在两个零点，，设，
当时，由韦达定理，可知，，与矛盾，不符合题意；
当时，对称轴为，，作出如下图：

可知，在上仅有一解，且，
在上小于零，在上大于零，
在上单调递减，在上单调递增，
趋近于时，就趋近于，趋近于时，就趋近于，
要有两个大于零的零点，则，
，其中满足，
由得代入，
则，化简得，
令，，
在上单调递减，又因为，
所以要使，则，
，即.
若时，，显然上式成立，
若，则，解得，.
所以由不等式，解得，
综上所述，函数有两个不同的零点，则.
【点睛】
本题考查导数的几何意义，利用导数求函数的单调区间与极值，考查利用函数零点的个数求参数的取值范围，考查分类讨论思想，属于难题.
35．（2020·重庆北碚�西南大学附中高二期末）已知函数.
（1）当时，求证：在上单调递增；
（2）若，试讨论的单调性.
【答案】（1）证明见解析；（2）时， 的增区间是和，减区间是；
时，的增区间是，无减区间；时，的增区间是和，减区间是．
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，证明在上，恒成立即可；
（2）求出，分类讨论的正负，确定其单调性．
【详解】
（1）由已知，，
令，则，当时，，在上单调递增，，
所以时，，单调递增．
（2）由题意，定义域是，
，
因为，
时，，或时，，时，，
的增区间是和，减区间是；
时，在上恒成立，的增区间是，无减区间；
时，，或时，，时，，
的增区间是和，减区间是．
【点睛】
本题考查用导数确定函数的单调性，在定义域内，函数导数存在时，确定函数的增区间，确定函数的减区间．但要注意这个不是必要条件，在上，，只要的解是孤立的，不连续的，则在上单调递增．
36．（2020·重庆北碚�西南大学附中高二期末）已知函数.
（1）时，求在[﹣2，0]上的最大值；
（2）若在[0，3]上单调递增，求的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【解析】
【分析】
(1)时，利用换元法结合对勾函数和反比例函数的单调性，得出函数在区间上的最大值；
(2)对函数求导，要使在[0，3]上单调递增，则在[0，3]上恒成立，构造二次函数，列出不等式解出的取值范围．
【详解】
(1)时，，令，
则
函数在上单调递增，在上单调递减
，，
在[﹣2，0]上的最大值为
(2)函数,
要使在[0，3]上单调递增，则在[0，3]上恒成立，
即在[0，3]上恒成立，
在[0，3]上恒成立，

故的取值范围
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，考查不等式的恒成立问题，考查转化思想及换元思想，属中档题．
37．（2020·河北石家庄�高二期末）已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若，是方程的两个不同的实数根，求证：．
【答案】（Ⅰ）单调递减区间是，单调递增区间是；（Ⅱ）证明见解析．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）先求函数导数，再求导数在定义区间上零点，根据导函数正负，确定单调区间；
（Ⅱ）先根据零点得，再代入化简不等式为，构造函数，其中，最后根据导数确定函数单调性，根据单调性证不等式.
【详解】
（1）依题意，，
故当时，，当时， ，
∴单调递减区间是，单调递增区间是 ；
（2）因为，是方程的两个不同的实数根，
∴，两式相减得，解得 ，
要证：，即证：，即证：，
即证，
不妨设，令，只需证，
设，
∴，
令，∴，
∴在上单调递减，
∴，∴，∴在为减函数，
∴．即在恒成立，
∴原不等式成立，即．
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，以及不等式的恒成立问题，属于综合题.
38．（2020·全国高三其他（文））已知函数（，且）
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数在区间内有两个极值点，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案不唯一，详见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）求得的定义域和导函数，对分成和两种情况进行分类讨论，由此求得的单调区间.
（2）求得的导函数，构造函数，依题意可知在区间上有两个零点，且零点两侧函数值符号相反，利用导数研究的零点，由此求得的取值范围.
【详解】
（1）的定义域为，，
当时，在区间和上，递减，在区间上，递增.
当时， 在区间和上，递增，在区间上，递减.
（2），
.
当时，.
构造函数，依题意可知在区间上有两个零点，且零点两侧函数值符号相反.
，
当时，，在区间上递增，至多有一个零点，不符合题意.
当时，令 ，解得.
（i）若即，则在区间上递减，至多有一个零点，不符合题意.
（ii）若即，则在区间上递增，至多有一个零点，不符合题意.
（iii）若，即，则在区间上递增，在区间上递减.
当时，；当时，；
.
要使在区间上有两个零点，且零点两侧函数值符号相反，则需
，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究函数的极值点，属于中档题.
39．（2017·福建高二期末（文））已知函数.
（1）时，求函数的单调递增区间；
（2）若函数在区间上不单调，且时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
(1)求导函数,利用导数大于0,可得函数的单调递增区间;
(2)利用在上不单调,确定,时,不等式恒成立,等价于,从而可求实数的取值范围.
【详解】
（1）当时，，定义域为R，
，
令，得，或，
函数的单调递增区间是；
（2），
令，得，或，
∵函数在区间上不单调，
，即，
又∵在上，，在上，，
在上的最大值为，
∴当时，不等式恒成立，等价于，
，
，
，解得，
综上所述，a的取值范围是.
【点睛】
本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查恒成立问题,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
40．（2020·河南瀍河�洛阳一高高二月考（文））已知函数.
（1）若函数在定义域上单调递减，求实数的取值范围；
（2）设函数有两个极值点，，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题意得在上恒成立，即在上恒成立，再求函数的最大值即可得答案；
（2）根据题意得，不妨设，令，则问题转化为证明在上恒成立，再转化为在上恒成立，进一步令，只需求在的最小值大于零即可证毕.
【详解】
解：（1）函数的定义域为，
∵ 函数在定义域上单调递减，
∴ 在上恒成立，
∴ 在上恒成立，即：在上恒成立，
令，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
∴ 当时，函数有极大值，也是最大值，
∴ ，
故实数的取值范围为：
（2）证明：∵ 函数有两个极值点，，
∴ 根据（1）得：，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ 不妨设，令，
则，设
故问题转化为证明在上恒成立，
∴ 只需证在上恒成立，
令，，
∴ 在上单调递增，由于，
∴ ，即函数在上单调递增，
∴ ，即在上恒成立
∴ 成立.
【点睛】
本题考查已知函数的单调区间求参数范围，利用导数证明不等式恒成立问题，考查分析问题与解决问题的能力，是难题.
41．（2020·江苏清江浦�淮阴中学高三三模）定义可导函数在x处的弹性函数为，其中为的导函数．在区间D上，若函数的弹性函数值大于1，则称在区间D上具有弹性，相应的区间D也称作的弹性区间．
（1）若，求的弹性函数及弹性函数的零点；
（2）对于函数（其中e为自然对数的底数）
（ⅰ）当时，求的弹性区间D；
（ⅱ）若在（i）中的区间D上恒成立，求实数t的取值范围．
【答案】（1），； （2）（ⅰ），（ⅱ）.
【解析】
【分析】
（1）由，可得，根据题设条件，即可求得的弹性函数及弹性零点；
（2）（ⅰ）函数，可得函数的定义域为，函数是弹性函数，得出不等式组，进而求得函数的弹性区间；
（ⅱ）由在上恒成立，可得在上恒成立，设，利用导数求得函数的单调性与最值，进而求得的取值范围.
【详解】
（1）由，可得，
则，
令，解得，
所以弹性函数的零点为.
（2）（ⅰ）当时，函数，可得函数的定义域为，
因为，
函数是弹性函数，
此不等式等价于下面两个不等式组：
（Ⅰ） 或（Ⅱ），
因为①对应的函数就是，
由，所以在定义域上单调递增，
又由，所以①的解为；
由可得，
且在上恒为正，
则在上单调递增，所以，故②在上恒成立，
于是不等式组（Ⅰ）的解为，
同①的解法，求得③的解为；
因为时，④，所以不成立，
所以不等式（Ⅱ）无实数解，
综上，函数的弹性区间.
（ⅱ）由在上恒成立，可得在上恒成立，
设，则，
而，
由（ⅰ）可知，在上恒为正，
所以，函数在上单调递增，所以，
所以，即实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查了函数的弹性函数及弹性函数的零点的求法，利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，试题综合性强，属于难题．
42．（2020·江苏南京�高三开学考试）已知函数，．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，恒成立，求k的取值范围；
（3）设n，求证：．
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）代入，求出，再令求出其单调递增区间，令求出其单调递减区间；
（2）求出，再分类讨论的取值，验证其正确性，进而求出k的取值范围；
（3）利用（2）中得出的结论，取，得到不等式，再令，对不等式变形得到≤，进而证明原不等式.
【详解】
解：（1）当时，，，由，解得；由，解得，
因此函数单调递增区间为，单调递减区间为．
（2），故．
当时，因为，所以，因此恒成立，即在上单调递增，所以恒成立．
当时，令，解得．
当，，单调递增；当，，单调递减；
于是，与恒成立相矛盾．
综上，k的取值范围为．
（3）由（2）知，当时，． 令，则+，即， 因此≤．
所以.
【点睛】
本题主要考查函数的单调性与最值，以及不等式的证明相关问题，考查运算求解能力，属于中等题型.
43．（2020·西夏�宁夏大学附属中学高二期末（理））（1）求|的解集.
（2）求函数 在区间(0,1)上的最大值.
【答案】(1) ; (2)
【解析】
【分析】
（1）利用绝对值不等式可以求得，所以不等式的解集是R；
（2）利用导数求解函数的单调性，然后根基函数的单调性求解出函数在区间上的最大值.
【详解】
(1)由绝对值不等式可得：
>2
即不等式的解集是；
（2）

令
解得：
所以函数在区间上单调递增，在区间单调递减；
所以当 时,函数取得最大值；
【点睛】
（1）本题考查了绝对值不等式的解法，属于简单题，解含有两个和两个以上绝对值不等式主要是通过分段去绝对值，转化为普通不等式，其中找分界点是解题的关键点；
（2）本题主要考查求解三次函数最值问题，主要利用导数确定函数在已知区间的单调性，根据单调性确定函数的最值，属于简单题目.
44．（2020·武威第八中学高二期末（理））已知，求函数的图象在处的切线方程．
【答案】．
【解析】
【分析】
直接根据导数的几何意义求解即可．
【详解】
解：∵，
∴，，
∴，
∴切线方程为，即．
【点睛】
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
45．（2020·陕西新城�西安中学高三月考（文））已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(x∈[－1，2])，且函数f(x)在x＝1和x＝－处都取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f(x)的单调递增区间．
【答案】（1）；（2）和(1，2].
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，由和求得,并验证；
（2）由导函数的正负确定单调性．
【详解】
（1）∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
由题易知， ，即，
解得 ，此时，
或时，，时，，
所以x＝1和x＝－分别取得极小值和极大值，满足题意，
；
（2）由（1）得或时，，又，
∴f(x)的单调递增区间为，(1，2]．
【点睛】
本题考查导数与极值的关系，考查用导数求函数的单调区间，解题基础是正确求出导函数，要注意导函数等于零和极值的关系，属于基础题．
46．（2020·日喀则市拉孜高级中学高二期末（文））已知函数
（1）求在点处的切线方程；
（2）函数的单调区间.
【答案】（1）； （2）递增区间为，递减区间为..
【解析】
【分析】
求得函数的导数，求得和，结合直线的点斜式，即可求解；
（2）由（1）知的定义域为，且，分别求得和的解集，即可求得函数的单调区间.
【详解】
由题意，函数的定义域为，
则，所以，即切线的斜率，
又由，即切点坐标为，
所以函数在处的切线方程，即.
（2）由（1）知函数的定义域为，且，
令，解得，
令，即，解得，
所以函数的单调递增区间为，
令，即，解得，
所以函数的单调递间区间为，
综上可得，函数的单调递增区间为，递减区间为.
【点睛】
本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线方程，以及利用导数求解函数的单调区间，其中解答中熟记导数的几何意义，以及导数与函数的单调性的关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
47．（2020·日喀则市拉孜高级中学高二期末（文））已知函数
（1）求的单调减区间；
（2）求在区间上的最值.
【答案】(1) 上单调递减；(2)最大值为2，最小值为-18
【解析】
【分析】
(1)由，根据其零点分区间讨论的在各区间上的单调性即可；(2)结合(1)中的单调性，分别在、、上确定它们的端点值，并比较端点值大小，即可得到最大值、最小值
【详解】
(1)由，则可得
∴时，，即单调递增
时，，即单调递减
时，，即单调递增
综上，有和上单调递增，上单调递减
(2)∵，结合(1)的结论知：在、上单调增，在上单调减
又
∴在区间上：最大值为2，最小值为-18
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调区间，并利用函数的区间单调性求各区间的端点值，进而比较它们的大小得到最值
48．（2020·洮南市第一中学高二期末（理））设函数.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若存在，使成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）减区间是，增区间是；（2）.
【解析】
【分析】
（1）对函数求导，解对应的不等式，即可得出结果；
（2）根据题意，得到存在，使成立，设，根据导数的方法求其在上的最小值，即可得出结果.
【详解】
（1）当时，，则，
由得；由得，
因此函数的减区间是，增区间是；
（2）存在，使成立，
即存在，使成立.
∵当时，，∴存在，使成立.
设，，则在上成立即可，

设，则
∵，∴.
∴在上单调递减.
∴，即在上恒成立.
∴在上单调递减.
∴
∴实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查求函数的单调区间，考查由不等式能成立求参数的问题，利用导函数的方法判断函数单调性，求函数最值即可，属于常考题型.
49．（2020·安徽高三月考（理））已知函数.
（1）讨论函数的单调性：
（2）令函数，对于任意时，总存在使成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，分类讨论，分别判断导函数符号，从而可得结果；
（2）由题意得，且，分类讨论，分别利用导数研究函数的单调性、最值，进而可得结果.
【详解】
解：（1）∵的定义域为，
当时，，此时在单调增；
当时，，解得或
，解得
综上：当时，在单调增；
当时，在，单调增，
在单调减.
（2）由题意得，且，
而，因为，，且
所以，在[1，3]单调增.，
即对于任意时恒成立.
即令，对于任意时恒成立.
解法一：，其中.
①当，，单调减，此时即可，即；
②当，，单调增，此时即可，，，
所以此时；
③当，在单调增，在单调减，此时
，，所以恒成立.
综上所述，的取值范围为.
解法二：因为
①当时，恒成立，此时；
②当时，，令，
∴单增，此时，即；
③当时，，由上，仍单增，，即.
综上所述，的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的能成立和，属于难题．利用导数研究函数的单调性进的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得 的范围就是递减区间.
50．（2020·河南宛城�南阳华龙高级中学高二月考（理））已知函数．
判断在定义域上的单调性；
若在上的最小值为2，求a的值．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）先确定f（x）的定义域为（0，+∞），再求导，由“f'（x）＞0，f（x）为增函数f'（x）＜0，f（x）在为减函数”判断，要注意定义域和分类讨论．
（2）因为，x＞0．由（1）可知当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上为增函数，f（x）min＝f（1）；当0＜﹣a≤1时，；f（x）在（0，+∞）上也是增函数，f（x）min＝f（1）；当1＜﹣a＜e时；f（x）在[1，﹣a]上是减函数，在（﹣a，e]上是增函数，f（x）min＝f（﹣a）；当﹣a≥e时，；f（x）在[1，e]上是减函数，f（x）min＝f（e）；最后取并集．
【详解】
（1）由题意得f（x）的定义域为（0，+∞），．（0，+∞）
①当a≥0时，f'（x）＞0，故f（x）在上为增函数；
②当a＜0时，由f'（x）＝0得x＝﹣a；由f'（x）＞0得x＞﹣a；由f'（x）＜0得x＜﹣a；
∴f（x）在（0，﹣a]上为减函数；在（﹣a，+∞）上为增函数．
所以，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＜0时，f（x）在（0，﹣a]上是减函数，在（﹣a，+∞）上是增函数．
（2）∵，x＞0．由（1）可知：
①当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上为增函数，f（x）min＝f（1）＝﹣a＝2，得a＝﹣2，矛盾!
②当0＜﹣a≤1时，即a≥﹣1时，f（x）在（0，+∞）上也是增函数，f（x）min＝f（1）＝﹣a＝2，∴a＝﹣2（舍去）．
③当1＜﹣a＜e时，即﹣e＜a＜﹣1时，f（x）在[1，﹣a]上是减函数，在（﹣a，e]上是增函数，
∴f（x）min＝f（﹣a）＝ln（﹣a）+1＝2，得a＝﹣e（舍去）．
④当﹣a≥e时，即a≤﹣e时，f（x）在[1，e]上是减函数，有，
∴a＝﹣e．
综上可知：a＝﹣e．
【点睛】
本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知单调性求参数的范围时，往往转化为求相应函数的最值问题．考查了函数的最值问题，运用了分类讨论的思想，属于难题.
51．（2020·河南宛城�南阳华龙高级中学高二月考（理））已知函数是的导函数， 且.
(I)求的值;
(II)求函数在区间上的最值.
【答案】（Ⅰ）4；（Ⅱ）最大值为，最小值为.
【解析】
【分析】
(I)求出的导函数，把代入即可求解.
(II)利用导数求出函数的单调区间即可求出最值.
【详解】
解: (I) ，

,

(II) 由(I)可得:，
令，解得，列出表格如下:














极大值

极小值




又
所以函数在区间上的最大值为，最小值为
【点睛】
本题主要考查导函数求函数的最值、极值，属于基础题.
52．（2020·运城市景胜中学高二月考（文））设函数.
（1）求函数的极小值；
（2）若关于x的方程在区间上有唯一实数解，求实数的取值范围.
【答案】（1）极小值为；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据导函数的符号判断出单调性，然后可求出函数的极小值；（2）由题意并结合分离参数法得到方程，设，然后得到函数的单调性和最值，进而得到其图象，最后根据和函数的图象可得到所求的范围．
【详解】
（1）依题意知的定义域为，
∵，
∴，
令解得或
则单调递增，
，单调递减．
∴所以当时函数取得极小值，且极小值为．
（2）
，
所以，

只需．
令，则，
由，得；由，得
∴ 在区间上是增函数，在区间上是减函数.
∴当时函数有最大值，且最大值为，
又，
∴ 当或时，在区间上有唯一解，
∴实数m的取值范围为．
【点睛】
研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数的大致图象，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的展现．
53．（2020·江西高二期末（文））已知，函数（，为自然对数的底数）．
（1）当时，求函数的单调递增区间；
（2）若函数在上不存在极值点，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）求得的函数的导数，利用导数的正负求出原函数的单调区间；
（2）根据函数在上不存在极值点，将问题转化为函数在上单调递增或递减，再结合得函数在上单调递增，再根据在上恒成立求解即可.
【详解】
解：（1）当时，，
∴ .
令，解得
∴ 函数的单调递增区间为.
（2）∵ 函数在上不存在极值点，
∴ 函数在上单调递增或递减，
∵
∴ 函数在上单调递增，
∴ 则在上恒成立.
即，令.
则在上恒成立.
只需，得：
所以的取值范围为
【点睛】
本题目考查了导函数的应用，函数单调性的求法以及二次函数恒成立问题，属于中档题.
54．（2020·湖南天心�长郡中学高三月考）已知点，，为坐标原点，设函数.
（1）当时，判断函数在上的单调性；
（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）函数在上单调递减；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题意结合平面向量的数量积运算可得，求导后可得，即可得解；
（2）当时，易得恒成立；当时，求导得，设，求导可得，按照、分类，结合函数的单调性、即可得解.
【详解】
（1）由已知，
当时，，，
当时，，
又，则，
所以函数在上单调递减；
（2）①当时，，对于，恒成立；
②当时，，
设，则，
因为，，
所以，在上单调递增，
又，所以，
所以在上单调递增，且，
（ⅰ）当时，，在上单调递增，
因为，所以恒成立，符合题意；
（ⅱ）当时，，
因为在上单调递增，
又当时，，
则存在，对于，恒成立，
故在上单调递减，
所以，当时，，不合题意.
综上，所求的取值范围为.
【点睛】
本题考查了导数的应用，考查了运算求解能力及逻辑推理能力，合理转化条件是解题关键，属于中档题.

四、双空题
55．（2020·重庆北碚�西南大学附中高二期末）已知函数，则过原点且与“曲线在轴右侧的图象”相切的直线方程为________，若有两个不同的根，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
设过原点的直线与该段图象相切于点，则可求，从而得到所求的切线的方程，对于第二空的问题，可在平面直角坐标系中画出的图象，结合第一空的结果动态考查动直线的位置后可得所求的参数的取值范围.
【详解】
曲线在轴右侧的图象对应的函数解析式为，则
设过原点的直线与该段图象相切于点，则，
故，故切线方程为即.
考虑函数的图象在的切线，
因为，故所求切线的斜率为1，
故的图象在的切线方程为.
在平面直角坐标系中画出的图象及、的图象（如图所示）：

若有两个不同的根，故直线与函数的图象有两个不同的交点，
由图象可知：或.
故答案为：，.
【点睛】
本题考查导数的几何意义、函数与方程，注意切线问题的核心是切点的横坐标，另外方程的解可转化为不同函数图象的交点来讨论，其中相切的情形可利用导数来计算，本题属于中档题.

五、填空题
56．（2020·河北石家庄�高二期末）若函数在其定义域内的一个子区间内存在极值，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
求出导数，确定函数的极值点，由极值点可得的范围．
【详解】
函数定义域是，，
当时，，递减，当时，，递增，
∴只有一个极值点，极小值点，
由，则，解得，又，即，∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查用导数研究函数的极值点，注意函数的极值点是在函数定义域内，一般先求出函数定义域，才能得出正确结果．
57．（2017·福建高二期末（文））函数的极大值为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用导数研究函数的单调性，由此可求得该函数的极大值.
【详解】
，定义域为，.
令，可得或.
当或时，，此时，函数单调递增；
当时，，此时，函数单调递减.
所以，函数在处取得极大值，且极大值为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用导数求解函数的极值，考查计算能力，属于中等题.
58．（2020·江苏南京�高三开学考试）若不等式对一切xR恒成立，其中a，bR，e为自然对数的底数，则a＋b的取值范围是_______．
【答案】(，﹣1]
【解析】
【分析】
令，有，根据不等式对一切xR恒成立，则为函数的最大值，且a≤0，求导由，解得，然后再分a＝0和 a＜0两种情况讨论求解.
【详解】
令，有，所以恒成立，显然a≤0，
，则，
即，
当a＝0时，，在(，0)递增，(0，)递减，
当时，取得最大值，所以，符合题意，
当a＜0时，在(，)上递减，在(，0)上递增，在(0，)上递减，
因为x＜时，，又时，取得极大值即最大值，所以，符合题意，
综上，a≤0，b＝﹣1，所以a＋b(, ﹣1]．
故答案为：(,﹣1]
【点睛】
本题主要考查导数与函数的最值，还考查了分类讨论思想和运算求解的能力，属于中档题.
59．（2020·湖南高新技术产业园区�衡阳市一中高三月考）若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】
本题现将不等式运用参变分离化简为，再构造新函数求最大值，最后求实数a的取值范围.
【详解】
解：∵ 不等式在区间上有解，
∴ 不等式在区间上有解，
∴ 不等式在区间上有解，
令，（），则，
∴ 当时，，单调递减，
∴
不等式在区间上有解，即
∴
故答案为：
【点睛】
本题考查不等式存在性问题，借导函数研究原函数单调性求最大值，是中档题.
60．（2020·黑龙江绥化�高二期末（理））定义在上的函数，如果，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】
先得出函数是奇函数且是减函数，从而得到，结合函数的定义域，从而求出的范围．
【详解】
解：，是奇函数，
又，是减函数，
若，
则，
则，解得：或，
由，解得：，
综上：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性，函数的单调性的应用，属于中档题．
61．（2021·河西�天津实验中学高三月考）已知函数，当时函数的极值为，则 ．
【答案】
【解析】
f′(x)=x2+2ax+a.
由题意知f′(-1)=0,f(-1)=-,
即
解得
所以f(x)=x3+x2+x-.
所以f(2)=.
62．（2020·浙江高三月考）已知函数有两个零点，，有唯一零点，且，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据有两个不等式根得，，即：，再根据有唯一零点得，进而根据得，令，进而问题转化为成立，再根据导函数研究单调性即可求解.
【详解】
解：因为函数有两个零点，，
所以有，
，即：，
因为有唯一零点，
所以，.
因为，
所以，
所以有，
令，则，
所以有，即，
令，则，
注意到为增函数，且，，
故存在，使得
所以在上，在上，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
又因为，
所以的解集为，即，
所以，解得.
所以实数的取值范围是
故答案为：
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性问题，函数的零点问题，考查化归转化思想和数学运算能力，是难题.