资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩8页未读，
继续阅读
所属成套资源：2021届高三《新题速递·数学》（江苏专用）
成套系列资料，整套一键下载
- 专题四 指数函数与对数函数及函数的应用-2021届高三《新题速递•数学》1月刊（江苏专用 适用于高考复习） 试卷 0 次下载
- 专题十二 数列的综合问题-2021届高三《新题速递•数学》1月刊（江苏专用 适用于高考复习） 试卷 0 次下载
- 专题一 集合与常用逻辑用语-2021届高三《新题速递•数学》1月刊（江苏专用 适用于高考复习） 试卷 0 次下载
- 专题五 导数的运算及在函数性质中的应用-2021届高三《新题速递•数学》1月刊（江苏专用 适用于高考复习） 试卷 0 次下载
- 专题十四 空间点、线、面之间的位置关系-2021届高三《新题速递•数学》1月刊（江苏专用 适用于高考复习） 试卷 0 次下载
专题十一 等差数列与等比数列-2021届高三《新题速递•数学》1月刊（江苏专用 适用于高考复习）
展开
这是一份专题十一 等差数列与等比数列-2021届高三《新题速递•数学》1月刊（江苏专用 适用于高考复习），文件包含专题十一等差数列与等比数列原卷版docx、专题十一等差数列与等比数列解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共71页， 欢迎下载使用。
专题十一 等差数列与等比数列
一、多选题
1．（2020·河北邯郸市·高三期末）已知数列的前项和为，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则是等养数列
B．若，则数列的前项和为
C．若，则是等比数列
D．若，则
【答案】ACD
【分析】
当时，化简得，得到，求得，进而求得，得到A正确，B不正确；当时，得到，求得，求得，可判定C正确，D正确.
【详解】
因为数列的前项和为，且满足，
当时，可得，
即，所以，
可得，即，
又因为，所以，
则，可得，
故A正确，B不正确.
当时，由已知得，
即，
所以，所以，所以，
所以，所以，故C正确，D正确.
故选：ACD.
【点睛】
利用数列的递推公式求解数列的通项公式的策略：
1、对于递推关系转化为（常数）或（常数）可利用等差、等比数列的通项公式求解；
2、对于递推关系式可转化为的数列，通常采用叠加法（逐差相加法）求其通项公式；
3、对于递推关系式可转化为的数列，并且容易求数列前项积时，通常采用累乘法求其通项公式；
4、对于递推关系式形如的数列，可采用构造法求解数列的通项公式.
二、单选题
2．（2020·石家庄市·河北正中实验中学高二月考）已知数列的各项均为正数，，，若数列的前项和为5，则（ ）
A．119 B．121 C．120 D．122
【答案】C
【分析】
根据题设条件化简得到，结合等差数列的通项公式，求得，进而得到，结合裂项法，求得数列的前项和，列出方程，即可求解.
【详解】
由题意，数列的各项均为正数，，，
可得，所以数列是以4首项，公差为4的等差数列，
所以，可得，
又由，
前项和，
令，解得.
故选：C.
【点睛】
裂项求和的方法与注意点：
1、裂项相消法求和：把数列的通项公式拆成两项的差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得数列的前项和；
2、使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，且不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点.
3．（2020·广东广州市·增城中学高二月考）已知的前项和为，，当时，，则的值为（ ）
A．1008 B．1009 C．1010 D．1011
【答案】C
【分析】
由时，可得，结合题设条件，推得，进而求得的值，得到答案.
【详解】
由题意，当时，可得，
因为，所以，即，
当时，
两式相减，可得，即，
所以，
所以.
故选：C.
4．（2020·吉林市第二中学高二月考）已知为数列的前项和，且满足，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据数列前前项和的性质可得 由此可得结果.
【详解】
由题数列的前项和满足，则
故选C.
【点睛】
本题考查数列前前项和的性质，属基础题.
5．（2020·全国高三专题练习（文））已知等差数列的前项和为，，，则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设等差数列的首项为，公差为.
∵，
∴
∴
∴，则
∴数列的前项和为
故选B.
点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
6．（2020·全国高三专题练习）已知数列{an}的通项公式是an＝2n－3，则其前20项和为（ ）
A．380－ B．400－
C．420－ D．440－
【答案】C
【分析】
直接使用等差数列、等比数列的前项和公式求解.
【详解】
故本题选C.
【点睛】
本题考查了等差数列、等比数列前项和公式.
7．（2017·马山县教师进修学校（马山县金伦中学）高三期末（文））已知数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意得， ，则 ，即 ，故选A.
8．（2020·江苏高二单元测试）数列的通项，当取最大值时，（ ）
A．336 B．337 C．336或337 D．338
【答案】B
【分析】
根据数列的通项公式，结合二次函数的知识，分析计算即可得到当取最大值时的值．
【详解】
解：依题意，，表示抛物线当为正整数时对应的函数值，
又为开口向下的抛物线，
故到对称轴距离越近的点，函数值越大，
故当时，有最大值，
故选：
【点睛】
本题考查了数列与函数的关系，考查了二次函数的最大值问题，主要考查分析和解决问题的能力，属于基础题．
9．（2020·江苏高二单元测试）在各项均为正数的等差数列中，为其前项和，，则的最小值为（ ）
A．9 B． C． D．2
【答案】B
【分析】
根据等差数列的性质和前项和公式求得，然后由“1”的代换应用基本不等式求得最小值．
【详解】
由题意，∴，
∴，当且仅当，即时等号成立．
故选：B．
【点睛】
本题考查等差数列的性质，考查基本不等式求最值．解题基础是掌握等差数列的性质，掌握基本不等式求最值中“1”的代换法．
第II卷（非选择题）
三、解答题
10．（2020·深圳市第二高级中学高二月考）已知数列中，且，.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）设，求数列的项和.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）由，化简得到，进而证得数列是等比数列；
（2）由（1）可得，得到，结合错位相减法，即可求解.
【详解】
（1）由题意，可得，即，所以，
又由，可得
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）可得，所以.
所以，
则，
由两式相减，可得，
所以.
【点睛】
错位相减法求解数列的前项和的分法：
（1）适用条件：若数列为等差数列，数列为等比数列，求解数列的前项和；
（2）注意事项：
①在写出和的表达式时，应注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出；
②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号；
③作差后，作差部分应用为的等比数列求和.
11．（2021·湖南株洲市·高三一模）由整数构成的等差数列满足.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列的通项公式为，将数列，的所有项按照“当n为奇数时，放在前面；当n为偶数时、放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列，，，，，，，，，……，求数列的前项和.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）设数列的公差为，根据题设条件，列出方程组，求得，即可求得数列的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又由数列的通项公式为，根据题意，得到，结合等差、等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】
（Ⅰ）由题意，设数列的公差为，
因为，可得，
整理得，即，解得或，
因为为整数数列，所以，
又由，可得，
所以数列的通项公式为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，数列的通项公式为，又由数列的通项公式为，
根据题意，新数列，，，，，，，，，……，
则
.
【点睛】
与数列的新定义有关的问题的求解策略：
1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；
2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
12．（2020·四川省成都列五中学高二期中（理））数列的前项和为，已知，（，2，3，…）．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）由，化简得，结合等比数列的定义，即可证得数列是等比数列；
（2）由（1）求得，利用“错位相减法”，即可求解.
【详解】
（1）因为，即，
又因为，可得，所以，
又，可得，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）可得，所以，
则，
，
①②得：
，
所以．
【点睛】
错位相减法求解数列的前项和的分法：
（1）适用条件：若数列为等差数列，数列为等比数列，求解数列的前项和；
（2）注意事项：
①在写出和的表达式时，应注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出；
②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号；
③作差后，作差部分应用为的等比数列求和.
13．（2020·广东肇庆市·高三月考）已知数列的前n项和为，．
（1）求；
（2）若，求数列的前n项和．
【答案】（1）； （2）.
【分析】
（1）由，递推化简得到，根据等比数列的通项公式，求得，再利用等比数列的求和公式，即可求解；
（2）由（1）求得，结合“乘公比错位相减法”和“等差数列的求和公式”，即可求解.
【详解】
（1）由题意，数列满足，
当时，可得，
两式相减，可得，整理得，即，
当时，可得，解得，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，所以.
（2）由（1）知，则
设，数列的前项和分别为，
则
，
两式相减得，
所以，
又由，
所以数列的前n项和.
【点睛】
错位相减法求解数列的前项和的分法：
（1）适用条件：若数列为等差数列，数列为等比数列，求解数列的前项和；
（2）主要事项：
①在写出和的表达式时，应注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出；
②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号；
③作差后，作差部分应用为的等比数列求和.
14．（2020·河南高二月考（文））已知是公比为的等比数列，数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若的前项和为，求使得成立的的取值范围．
【答案】（1） ;（2）.
【分析】
（1）由已知条件，根据等比数列的定义得到，根据已知关系即可求得数列的通项公式；
（2）根据（1）中的结论，判定数列为等差数列，利用等差数列的求和公式得到，然后解不等式即得所求.
【详解】
（1）∵是公比为的等比数列，∴,
数列满足．
∴，；
（2），,
即,
即
即，
，
的取值范围是{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}.
【点睛】
本题考查等比数列的定义，等差数列的求和，属基础题，难度不大，在第（2）问中，只要数列的通项公式符合的形式，即可判定为等差数列，求和即可使用.
15．（2020·北京十四中高三期中）已知任意的正整数n都可唯一表示为，其中，，.对于，数列满足：当中有偶数个1时，；否则，如数5可以唯一表示为，则.
（1）写出数列的前8项；
（2）求证：数列中连续为1的项不超过2项；
（3）记数列的前n项和为，求满足的所有n的值.（结论不要求证明）
【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）或..
【分析】
（1）由题意，，实际根是将十进制的转化为二进制的数，即可得到答案；
（2）设数列中某段连续为1的项从开始，则，由，则中有奇数个，分且中无0和当且中有0，两种情况，即可证明；
（3）由（2），即可求得的值.
【详解】
（1）由，根据数列满足：当中有偶数个1时，；否则，
所以数列的前8项为.
（2）设数列中某段连续为1的项从开始，则，
由题意，令，
则中有奇数个，
当且中无0时，
因为，
所以，
，
所以，此时连续2项为1，
当且中有0时，
①若，则，
则，
因为中有奇数个1，
所以，此时连续项为1.
②若，即+连续个乘以，
则+连续个乘以，
+（其中），
如果为奇数，那么，此时连续2项为1，
如果为偶数，那么，此时仅有1项为，
综上所述，连续为1的项不超过2项.
（3）由（2）可得，满足，可得或.
【点睛】
有关数列新定义问题特点与解题思路：
1、新定义数列问题的特点：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设新的问题情景，要求再阅读理解的基础上，依据他们提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；
2、新定义问题的解题思路：遇到新定义问题时，认真分析定定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决.
16．（2020·哈尔滨市双城区第三中学高三月考（理））已知正项数列的前项和为，且满足，.
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）当时，得到，作差得到，进而得到数列是等差数列；
（2）由（1）可得，得到，进而得到时，可得，时，可得，分类讨论即可求解.
【详解】
（1）由题意，正项数列的前项和为，且满足，
当，，
作差可得（），
整理得，
所以（），
当时，，所以或2，
因为，所以，
所以数列是以2为首项，2为等公差的等差数列.
（2）由（1）可得，所以，
当时，可得，即；
当时，可得，即，
当时，；
当时，
，
所以.
【点睛】
分组求和的解题策略：
1、一个数列的的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减；
2、分组转化求和的常见类型：①若数列 满足 （ 为等差或等比数列），可分组求和；②若 （ 为等差或等比数列），可分组求和.
17．（2020·全国高三专题练习）在等差数列中，已知，.在①；②；③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解.
（1）求数列的通项公式；
（2）若______，求数列的前项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【分析】
（1）设等差数列的公差为，根据题中条件，求出公差，进而可得通项公式；
（2）分别选①②③，根据裂项相消法，分组求和法，以及错位相减法，即可得出结果.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，则，
即，解得，故.
（2）选①，由得，
.
选②，.
当为偶数时，；
当为奇数时，.
故
选③，由得，
，①
，②
①-②得，
，
故.
【点睛】
方法点睛：
数列求和的常用方法：
（1）公式法：已知数列是等差或等比的数列，可根据求和公式直接计算；
（2）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前项和即可用导学相加法；
（3）错位相减法：数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法；
（4）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和；
（5）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后再相加减；
（6）并项求和：一个数列的前项，可由两两结合求解，则称之为并项求和，形如： 类型，可采用两项合并求解.
18．（2020·甘肃省永昌县第一高级中学高三月考（理））已知数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
（3）若存在正整数，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）利用，求得，注意检验首项.
（2），错位相减法求和得解.
（3）当时，若为奇数，则，单调递增；若为偶数，则，单调递减，利用数列单调性得解.
【详解】
（1）因为，所以当时，，
所以，
因为，不适合，所以.
（2）由题意得当时，，当时，，
所以，
令，①
则，②
由①-②得
，
所以，
所以.
（3）由题意知，当时，若为奇数，则，单调递增；
若为偶数，则，单调递减，
所以，
因为存在正整数，使得成立，
所以当为奇数时，则，，所以，所以，
当为偶数时，则，，所以，所以，
即.
【点睛】
本题考查利用与的关系求通项及错位相减法求和.
已知求的三个步骤:(1)先利用求出.(2)用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式．(3)对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．
错位相减法求和的方法：如果数列是等差数列，是等比数列，求数列 的前项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解; 在写“ ”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.
19．（2020·贵州省思南中学高三期中（文））等比数列中，，且2，，成等差数列，
（1）求的通项公式；
（2）数列满足，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）设数列的公比为，由题意可得，且，即可得到关于q的二次方程，即可求出q的值，代入公式，即可求得的通项公式；
（2）根据题意，利用等差数列前n项和公式，即可求出，进而可求得的表达式，利用裂项相消求和法，即可求得.
【详解】
（1）设数列的公比为，
因为2，，成等差数列，
所以，即，
又，所以，
解得或（舍），
所以.
（2）因为，
所以，则，
所以
.
【点睛】
本题考查等差中项、等差数列前n项和的应用，等比数列通项公式的求法，裂项相消法求和等知识，关键点在于仔细审题，根据题中条件及等差、等比数列的公式，进行求解，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.
20．（2020·湖南永州市·高三月考）设数列的前项和为，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，，，，组成一个项的等差数列，记其公差为，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）时，,两式相减得，数列是首项为，公比为的等比数列，求得 .
（2），代入得，利用错位相减法求和得解.
【详解】
（1）因为 所以，当时，
两式相减得，，即当时，
又当时，，而，则，满足上式，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以 .
（2）依题意可知，，
由（1）得，，即，
则，
，
两式相减得，
即，
所以，
【点睛】
本题考查利用与求通项及利用错位相减法求和，属于基础题.
21．（2020·陕西汉中市·高二月考）已知等差数列的前n项和为，的通项公式为．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ），.
【分析】
（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为d，结合已知条件求、d，进而得到通项公式；
（Ⅱ）由已知有，利用错位相减法，求前n项和.
【详解】
（Ⅰ）设等差数列的公差为d，
由，可得．①
由，可得．②
联立①②，解得，，
等差数列的通项公式为，．
（Ⅱ）由，有，
故，
，
上述两式相减，得
．
∴．
【点睛】
本题考查了数列，利用已知条件求通项公式基本量，进而求得通项公式，应用错位相减法求前n项和，属于基础题.
22．（2020·天津滨海新区·高三其他模拟）已知数列的前项和为，，数列为等比数列，且，分别为数列第二项和第三项.
（1）求数列与数列的通项公式；
（2）若数列，求数列的前项和.
【答案】（1）;，（2）
【分析】
（1）由数列的通项和的关系，求得数列的通项公式，再结合等比数列的通项公式，联立方程组，求得数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式，得到答案.
（2）由（1）可得，利用 “裂项法”和“乘公比错位相减法”，即可求解数列的前项和，得到答案.
【详解】
（1）由题意，数列的前项和为，
当时，
当时∴，
当时也满足上式
所以数列的通项公式为.
设数列的首项为，公比为，则，
∴，，∴，.
（2）由（1）可得，所以
设前项和为成，前项和为，
∴
∴，
∵
∴
∴
【点睛】
本题主要考查了等差、等比数列的通项公式的求解，以及“裂项法”和“乘公比错位相减法”求解数列的前项和，其中解答中熟记数列的通项和的关系，熟练应用“裂项法”和“乘公比错位相减法”，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
23．（2020·宁夏银川一中高三月考（理））已知数列满足，（，），
（1）证明数列为等比数列，求出的通项公式；
（2）数列的前项和为，求证：对任意，.
【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由l两边同时除以得到有，再构造等比数列得解
（2）放缩，再利用等比数列求和得解.
【详解】
（1）由有，∴
∴数列是首项为，公比为2的等比数列.
∴，∴
（2），
∴，
.
【点睛】
本题考查利用递推关系证明等比数列及求通项，并用放缩法证明不等式，属于基础题.
24．（2020·湖北武汉市·高二期末）已知数列满足，，设．
（1）求，，；
（2）判断数列是否为等比数列，说明理由；并求的通项公式．
【答案】（1），，；（2）是，理由见解析，.
【分析】
（1）根据递推公式，赋值求解即可；
（2）利用定义，求证为定值即可，求出数列通项公式，再求的通项公式.
【详解】
（1）由条件可得
将代入得，又，
∴，，即，
将代入得，
∴，即，
又，∴．
综上:，，
（2）由条件可得，即，，
又，所以是首项为1，公比为3的等比数列，.
因为，所以.
【点睛】
本题考查利用递推关系求数列某项的值，以及利用数列定义证明等比数列，及求通项公式，是数列综合基础题.
25．（2020·重庆高二月考）已知数列，，为数列的前项和，，，
.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明为等差数列.
（3）若数列的通项公式为，令.为的前项的和，求.
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【详解】
试题分析：（1）根据题意得到两式作差得到，根据等比数列的公式得到；（2）由题意得到，可得是公差为，首项为的等差数列. （3）由，由错位相减得到数列之和.
解析：
（1）当时，
当时， ，
综上，是公比为，首项为的等比数列，.
（2），，，
综上，是公差为，首项为的等差数列.
（3）由（2）知：
两式相减得：
，.
点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.
26．（2020·广东高三月考）已知数列前项和，点在函数的图象上.
（1）求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由点在函数的图象上，得到，结合与的关系，即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）得时，，利用“裂项相消法”求得，再结合数列的单调性和题设条件，列出不等式，即可求解.
【详解】
（1）由点在函数的图象上，可得，
当时，，
两式相减，可得，
当时，，不符合上式.
所以的通项公式为，
（2）由（1）得时，，
可得，，
又由，
因为，所以数列单调递增，所以，，
要使不等式对任意正整数恒成立，只要，
即，解得.
【点睛】
本题主要考查了利用与的关系求数列的通项公式，数列的“裂项法”求和，以及数列的单调性的综合应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.
27．（2020·大同市煤矿第四中学校高三期中（理））已知数列成等差数列，各项均为正数的数列成等比数列，，且，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【答案】（1）；；（2）.
【分析】
（1）由等差数列和等比数列的基本量法求得通项公式；
（2）由裂项相消法求和．
【详解】
解：（1）因为是等比数列，所以，又，所以，
设等差数列的公差为，
由，两式相减得，，
所以，，
所以，
而，所以．
（2）由（1）得，
．
【点睛】
本题考查求等比数列和等比数列的通项公式，考查裂项相消法求和．考查运算求解能力，属于中档题．.
28．（2020·陕西西安市·西安中学高二月考（理））已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设时，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由得出的递推式，得其从第二项起等比数列，从而可得通项公式；
（2）求出，用裂项相消法求．
【详解】
（1）由已知得得到．
∴数列是以为首项，以为公比的等比数列．又，
．
又不适合上式，
（2）．．
．
【点睛】
本题考查由与的关系求通项公式，考查裂项相消法求和．由与的关系求通项公式，一般都是利用得出的递推式，变形过程中要注意结果对是否适用．
29．（2020·江苏省江阴市第一中学高二期中）设数列的前项和为，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：，的前项和为，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由得：，两式相减可得的递推关系，从而证明是等比数列，得其通项公式；
（2）求出，由等差数列的前项和公式得，然后用裂项相消法求和．
【详解】
解：（1）由得：，
相减得，，.
又，即，可得数列.
是以1为首项3为公比的等比数列，.
.
（2）由（1）知，，.
则，.
【点睛】
本题考查求等比数列的通项公式，考查由求的方法，考查等差数列的前项和公式，考查裂项相消法求数列的和．错位相减法、裂项相消法、分组（并项）求和法、倒序相加法是数列求得的几种特殊方法，需记住它们的应用的条件．
30．（2020·山西省长治市第二中学校（理））已知等差数列的前项和为，，，数列满足，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）()；()；（2）().
【分析】
（1）根据等差数列的通项公式、前n项和公式，结合已知条件求、即可得通项公式，由数列的递推式得及，即可得的通项公式；（2）根据（1）所得通项公式，应用错位相减法求其前项和.
【详解】
（1）数列的首项为，公差为，
由题意: ，解得：，
，，
又，所以，；
（2）由（1）知：
，
，
，
，
的表达式为.
【点睛】
本题考查了数列，根据等差数列的公式、累乘法求数列通项公式，并应用错位相减法求数列前n项和，属于基础题.
31．（2020·武威第六中学高三月考（文））已知数列的前项和为，且，正项等比数列满足，.
（1）求数列与的通项公式；
（2）设，求数列前项和.
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）由即可求通项公式，再结合已知求的通项公式；（2）根据（1）的结论有，应用错位相减法求前项和即可.
【详解】
（1）当时，.
当时，也适合上式，
∴，即有，.
设数列的公比为，则，又，有，
∴.
（2）由（1）可知，，
所以.……①
.……②
由①-②得，，
所以.
【点睛】
本题考查了由的关系求通项公式，利用错位相减法求前项和，等比数列基本量公比、前n项和公式的应用，属于基础题.
32．（2020·四川成都市·高三开学考试（文））设等差数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）设等差数列的公差为，根据，，列出方程组，求得的值，即可得到数列的通项公式.
（2）由，得到当时，，
两式相减求得，进而求得数列的通项公式，结合数列的单调性，即可求解.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，
因为，，可得，解得，，
所以，
即数列的通项公式.
（2）因为，
当时，，
两式相减可得：，
所以
又由时，，所以，也符合上式，
所以，
又因为，
可得当时，；当时，，
所以数列先单调递增再递减，可得，所以.
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式求解，利用数列的递推公式求解数列的通项公式，以及数列的单调性的判定及应用，其中解答中熟练化简数列的递推公式，得出数列的通项公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
33．（2020·全国高三专题练习）已知数列、满足：，为等比数列，且，，.
（1）试判断数列是否为等差数列，并说明理由；
（2）求数列的前n项和.
【答案】（1）数列不是等差数列，理由见解析；（2）
【分析】
（1）由已知首先求出，由为等比数列，求得，可判断数列是否为等差数列；
（2）由（1）可得可求得数列的通项公式，用累加法求得，然后再用分组求和法求得和．
【详解】
解：（1）数列不是等差数列
理由如下：
由，且，，得：
所以 又因为数列为等比数列，
所以可知数列的首项为4，公比为2.
所以，∴
显然
故数列不是等差数列
（2）结合（1）知，等比数列的首项为4，公比为2.
故， 所以
因为，，，∴
∴（）
令，…，
累加得
∴
又满足上式 ， ∴
所以
．
【点睛】
本题考查等差数列的判断，考查累加法求通项公式，分组求和法，掌握等差等比数列的通项公式和前项和公式是解题基础．
34．（2020·黑龙江绥化市·哈师大青冈实验中学（文））设是数列的前n项和，已知，
⑴求数列的通项公式；
⑵设，求数列的前项和．
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）利用可证得数列为等比数列，从而可求得通项公式；（2）通过（1）可得，分为为奇数和为偶数两种情况分别求出.
【详解】
（1）因为，所以当时，
两式相减得， 所以
当时，，，则
所以数列为首项为，公比为的等比数列， 故
（2）由（1）可得
所以
故当为奇数时，
当为偶数时，
综上
【点睛】
本题考查等比数列通项公式的求解、数列前项和的求解问题，在解决含的数列求和的问题时，要注意进行为奇数和偶数两种情况的讨论.
35．（2020·安徽高三月考（文））已知正项数列满足：，，.
（1）判断数列是否是等比数列，并说明理由；
（2）若，设，，求数列的前项和.
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）.
【分析】
（1）把已知等式左边因式分解，由数列为正项数列得，但需对讨论，，不是等比数列，否则是等比数列；
（2）由（1）求得，即可得，用分组求和法求和．
【详解】
解：（1）∵，
又是正项数列，可得，∴，
∴当时，数列不是等比数列；
当时，易知，故，
所以数列是等比数列，首项为，公比为2.
（2）由（1）知，，，
∴.
【点睛】
本题考查等比数列的判断，考查分组求和法，数列中由递推公式不能说明数列是等比数列，加上条件才可得是等比数列．
36．（2020·广东佛山市·佛山一中高一月考）已知数列满足，，数列满足.
（1）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）数列的前项和为，设，求数列的前40项和.
【答案】（1）证明见解析，；（2）；（3）.
【分析】
（1）由题意，即可得，即可得数列是等差数列，进而可得其通项公式；
（2）由题意，利用错位相减法即可得解；
（3）由题意，利用分组求和法与等差数列前n项和公式即可得数列的前40项和.
【详解】
（1），，
，
，，
又，，
数列是首项为1，公差为的等差数列，；
（2）由（1）得，，
，
，
两式相减得
，
；
（3）由题意，，
数列的前40项和
，
数列的前40项和为.
【点睛】
本题考查了等差数列的证明及应用，考查了分组求和法与错位相减法求数列前n项和的应用，属于中档题.
37．（2020·四川省泸县第一中学高二开学考试（文））记公差不为零的等差数列的前n项和为，已知，是与的等比中项．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ求数列的前n项和．
【答案】（I）；（II）
【分析】
（I）由等差数列的性质列式求得公差，则通项公式可求；（II）由（I）写出等差数列的前项和，取倒数，再由裂项相消法求解．
【详解】
（I）由已知，得
又，解得：
（II）由（I）得，
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式及前项和，训练了裂项相消法求数列的前项和，是中档题．
38．（2020·四川省武胜烈面中学校高二开学考试（理））在正项等比数列中，，且，的等差中项为．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）设正项等比数列的公比为，由已知列关于首项与公比的方程组，求得首项与公比，则通项公式可求；
（2）把数列的通项公式代入，可得数列是等差数列，求得，再由裂项相消法求数列的前项和．
【详解】
（1）设正项等比数列的公比为，
由题意可得，解得．
数列的通项公式为；
（2）由．
可得，又，
数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
则．
．
则．
【点睛】
本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式与前项和，考查了裂项相消法求数列的前项和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
四、填空题
39．（2020·通榆县第一中学校高三月考（文））已知数列的前项和为，且，若，则的取值集合是__________.
【答案】
【分析】
由数列和的关系，推得，得到数列是首项为、公比为的等比数列，进而得到，结合，即可求解.
【详解】
由题意，数列的前项和为S，且，
当时，，解得，
当时，和，
两式相减得，即
则数列是首项为、公比为的等比数列，即各项依次为
所以
结合，得的取值集合是.
故答案为：.
【点睛】
有关数列中和的关系问题的求解策略：
根据所求结果不同额要求，将问题向不同的两个方向转化；（1）利用转化为的关系，再求解；（2）利用转化为的关系，再求解.
40．（2020·桃江县第一中学高三期中）已知函数，数列是正项等比数列，且，________.
【答案】
【分析】
由，求得，根据数列是正项等比数列，由等比数列的性质，得到，结合倒序相加法求和，即可求解.
【详解】
由题意，函数，可得，
又由数列是正项等比数列，且，
根据等比数列的性质可得，
设，
则，
所以，
可得，即.
故答案为：.
【点睛】
倒序相加法求和：如果一个数列的首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数时，求解这个数列的前项和，即可采用倒序相加法求解.
41．（2020·西安市第二十五中学高三月考（文））数列的前项和为，已知，且对任意正整数，都有，若恒成立，则实数的最小值为________.
【答案】
【分析】
令，求得，得到是首项为，公比为的等比数列，利用等比数列的求和公式，求得，结合恒成立，即可求解.
【详解】
由题意，数列满足，且对任意正整数，都有，
令，可得，即，所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，
又由恒成立，所以，故实数的最小值为.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的定义，以及等比数列的前项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的定义，以及等比数列的求和公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
42．（2020·广西桂林十八中高三月考（理））已知数列的前项和为，满足，且，则_________________.
【答案】
【分析】
根据题中条件，由裂项的方法得到，根据裂项相消与并项求和的方法，即可得出结果.
【详解】
因为，
则
.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查数列的求和，熟记裂项相消的方法和并项求和的方法即可，属于常考题型.
43．（2020·全国高三专题练习）在数列{an}中，已知，则数列{an}的通项公式an=________ .
【答案】
【分析】
将两边同时减去，得，构造新的等比数列，然后将的各项叠加即可.
【详解】
解：将两边同时减去得，
，
，
即是等比数列，其首项为2，公比为2，
所以，
从而当n≥2时，
.
又，故
故答案为：.
【点睛】
考查已知递推数列求数列通项，这种题一般是通过构造新的等比数列或等差数列，再借助于累加或累乘解决，基础题.
专题十一 等差数列与等比数列
一、多选题
1．（2020·河北邯郸市·高三期末）已知数列的前项和为，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则是等养数列
B．若，则数列的前项和为
C．若，则是等比数列
D．若，则
【答案】ACD
【分析】
当时，化简得，得到，求得，进而求得，得到A正确，B不正确；当时，得到，求得，求得，可判定C正确，D正确.
【详解】
因为数列的前项和为，且满足，
当时，可得，
即，所以，
可得，即，
又因为，所以，
则，可得，
故A正确，B不正确.
当时，由已知得，
即，
所以，所以，所以，
所以，所以，故C正确，D正确.
故选：ACD.
【点睛】
利用数列的递推公式求解数列的通项公式的策略：
1、对于递推关系转化为（常数）或（常数）可利用等差、等比数列的通项公式求解；
2、对于递推关系式可转化为的数列，通常采用叠加法（逐差相加法）求其通项公式；
3、对于递推关系式可转化为的数列，并且容易求数列前项积时，通常采用累乘法求其通项公式；
4、对于递推关系式形如的数列，可采用构造法求解数列的通项公式.
二、单选题
2．（2020·石家庄市·河北正中实验中学高二月考）已知数列的各项均为正数，，，若数列的前项和为5，则（ ）
A．119 B．121 C．120 D．122
【答案】C
【分析】
根据题设条件化简得到，结合等差数列的通项公式，求得，进而得到，结合裂项法，求得数列的前项和，列出方程，即可求解.
【详解】
由题意，数列的各项均为正数，，，
可得，所以数列是以4首项，公差为4的等差数列，
所以，可得，
又由，
前项和，
令，解得.
故选：C.
【点睛】
裂项求和的方法与注意点：
1、裂项相消法求和：把数列的通项公式拆成两项的差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得数列的前项和；
2、使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，且不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点.
3．（2020·广东广州市·增城中学高二月考）已知的前项和为，，当时，，则的值为（ ）
A．1008 B．1009 C．1010 D．1011
【答案】C
【分析】
由时，可得，结合题设条件，推得，进而求得的值，得到答案.
【详解】
由题意，当时，可得，
因为，所以，即，
当时，
两式相减，可得，即，
所以，
所以.
故选：C.
4．（2020·吉林市第二中学高二月考）已知为数列的前项和，且满足，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据数列前前项和的性质可得 由此可得结果.
【详解】
由题数列的前项和满足，则
故选C.
【点睛】
本题考查数列前前项和的性质，属基础题.
5．（2020·全国高三专题练习（文））已知等差数列的前项和为，，，则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设等差数列的首项为，公差为.
∵，
∴
∴
∴，则
∴数列的前项和为
故选B.
点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
6．（2020·全国高三专题练习）已知数列{an}的通项公式是an＝2n－3，则其前20项和为（ ）
A．380－ B．400－
C．420－ D．440－
【答案】C
【分析】
直接使用等差数列、等比数列的前项和公式求解.
【详解】
故本题选C.
【点睛】
本题考查了等差数列、等比数列前项和公式.
7．（2017·马山县教师进修学校（马山县金伦中学）高三期末（文））已知数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意得， ，则 ，即 ，故选A.
8．（2020·江苏高二单元测试）数列的通项，当取最大值时，（ ）
A．336 B．337 C．336或337 D．338
【答案】B
【分析】
根据数列的通项公式，结合二次函数的知识，分析计算即可得到当取最大值时的值．
【详解】
解：依题意，，表示抛物线当为正整数时对应的函数值，
又为开口向下的抛物线，
故到对称轴距离越近的点，函数值越大，
故当时，有最大值，
故选：
【点睛】
本题考查了数列与函数的关系，考查了二次函数的最大值问题，主要考查分析和解决问题的能力，属于基础题．
9．（2020·江苏高二单元测试）在各项均为正数的等差数列中，为其前项和，，则的最小值为（ ）
A．9 B． C． D．2
【答案】B
【分析】
根据等差数列的性质和前项和公式求得，然后由“1”的代换应用基本不等式求得最小值．
【详解】
由题意，∴，
∴，当且仅当，即时等号成立．
故选：B．
【点睛】
本题考查等差数列的性质，考查基本不等式求最值．解题基础是掌握等差数列的性质，掌握基本不等式求最值中“1”的代换法．
第II卷（非选择题）
三、解答题
10．（2020·深圳市第二高级中学高二月考）已知数列中，且，.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）设，求数列的项和.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）由，化简得到，进而证得数列是等比数列；
（2）由（1）可得，得到，结合错位相减法，即可求解.
【详解】
（1）由题意，可得，即，所以，
又由，可得
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）可得，所以.
所以，
则，
由两式相减，可得，
所以.
【点睛】
错位相减法求解数列的前项和的分法：
（1）适用条件：若数列为等差数列，数列为等比数列，求解数列的前项和；
（2）注意事项：
①在写出和的表达式时，应注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出；
②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号；
③作差后，作差部分应用为的等比数列求和.
11．（2021·湖南株洲市·高三一模）由整数构成的等差数列满足.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列的通项公式为，将数列，的所有项按照“当n为奇数时，放在前面；当n为偶数时、放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列，，，，，，，，，……，求数列的前项和.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）设数列的公差为，根据题设条件，列出方程组，求得，即可求得数列的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又由数列的通项公式为，根据题意，得到，结合等差、等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】
（Ⅰ）由题意，设数列的公差为，
因为，可得，
整理得，即，解得或，
因为为整数数列，所以，
又由，可得，
所以数列的通项公式为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，数列的通项公式为，又由数列的通项公式为，
根据题意，新数列，，，，，，，，，……，
则
.
【点睛】
与数列的新定义有关的问题的求解策略：
1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；
2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
12．（2020·四川省成都列五中学高二期中（理））数列的前项和为，已知，（，2，3，…）．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）由，化简得，结合等比数列的定义，即可证得数列是等比数列；
（2）由（1）求得，利用“错位相减法”，即可求解.
【详解】
（1）因为，即，
又因为，可得，所以，
又，可得，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）可得，所以，
则，
，
①②得：
，
所以．
【点睛】
错位相减法求解数列的前项和的分法：
（1）适用条件：若数列为等差数列，数列为等比数列，求解数列的前项和；
（2）注意事项：
①在写出和的表达式时，应注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出；
②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号；
③作差后，作差部分应用为的等比数列求和.
13．（2020·广东肇庆市·高三月考）已知数列的前n项和为，．
（1）求；
（2）若，求数列的前n项和．
【答案】（1）； （2）.
【分析】
（1）由，递推化简得到，根据等比数列的通项公式，求得，再利用等比数列的求和公式，即可求解；
（2）由（1）求得，结合“乘公比错位相减法”和“等差数列的求和公式”，即可求解.
【详解】
（1）由题意，数列满足，
当时，可得，
两式相减，可得，整理得，即，
当时，可得，解得，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，所以.
（2）由（1）知，则
设，数列的前项和分别为，
则
，
两式相减得，
所以，
又由，
所以数列的前n项和.
【点睛】
错位相减法求解数列的前项和的分法：
（1）适用条件：若数列为等差数列，数列为等比数列，求解数列的前项和；
（2）主要事项：
①在写出和的表达式时，应注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出；
②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号；
③作差后，作差部分应用为的等比数列求和.
14．（2020·河南高二月考（文））已知是公比为的等比数列，数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若的前项和为，求使得成立的的取值范围．
【答案】（1） ;（2）.
【分析】
（1）由已知条件，根据等比数列的定义得到，根据已知关系即可求得数列的通项公式；
（2）根据（1）中的结论，判定数列为等差数列，利用等差数列的求和公式得到，然后解不等式即得所求.
【详解】
（1）∵是公比为的等比数列，∴,
数列满足．
∴，；
（2），,
即,
即
即，
，
的取值范围是{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}.
【点睛】
本题考查等比数列的定义，等差数列的求和，属基础题，难度不大，在第（2）问中，只要数列的通项公式符合的形式，即可判定为等差数列，求和即可使用.
15．（2020·北京十四中高三期中）已知任意的正整数n都可唯一表示为，其中，，.对于，数列满足：当中有偶数个1时，；否则，如数5可以唯一表示为，则.
（1）写出数列的前8项；
（2）求证：数列中连续为1的项不超过2项；
（3）记数列的前n项和为，求满足的所有n的值.（结论不要求证明）
【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）或..
【分析】
（1）由题意，，实际根是将十进制的转化为二进制的数，即可得到答案；
（2）设数列中某段连续为1的项从开始，则，由，则中有奇数个，分且中无0和当且中有0，两种情况，即可证明；
（3）由（2），即可求得的值.
【详解】
（1）由，根据数列满足：当中有偶数个1时，；否则，
所以数列的前8项为.
（2）设数列中某段连续为1的项从开始，则，
由题意，令，
则中有奇数个，
当且中无0时，
因为，
所以，
，
所以，此时连续2项为1，
当且中有0时，
①若，则，
则，
因为中有奇数个1，
所以，此时连续项为1.
②若，即+连续个乘以，
则+连续个乘以，
+（其中），
如果为奇数，那么，此时连续2项为1，
如果为偶数，那么，此时仅有1项为，
综上所述，连续为1的项不超过2项.
（3）由（2）可得，满足，可得或.
【点睛】
有关数列新定义问题特点与解题思路：
1、新定义数列问题的特点：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设新的问题情景，要求再阅读理解的基础上，依据他们提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；
2、新定义问题的解题思路：遇到新定义问题时，认真分析定定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决.
16．（2020·哈尔滨市双城区第三中学高三月考（理））已知正项数列的前项和为，且满足，.
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）当时，得到，作差得到，进而得到数列是等差数列；
（2）由（1）可得，得到，进而得到时，可得，时，可得，分类讨论即可求解.
【详解】
（1）由题意，正项数列的前项和为，且满足，
当，，
作差可得（），
整理得，
所以（），
当时，，所以或2，
因为，所以，
所以数列是以2为首项，2为等公差的等差数列.
（2）由（1）可得，所以，
当时，可得，即；
当时，可得，即，
当时，；
当时，
，
所以.
【点睛】
分组求和的解题策略：
1、一个数列的的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减；
2、分组转化求和的常见类型：①若数列 满足 （ 为等差或等比数列），可分组求和；②若 （ 为等差或等比数列），可分组求和.
17．（2020·全国高三专题练习）在等差数列中，已知，.在①；②；③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解.
（1）求数列的通项公式；
（2）若______，求数列的前项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【分析】
（1）设等差数列的公差为，根据题中条件，求出公差，进而可得通项公式；
（2）分别选①②③，根据裂项相消法，分组求和法，以及错位相减法，即可得出结果.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，则，
即，解得，故.
（2）选①，由得，
.
选②，.
当为偶数时，；
当为奇数时，.
故
选③，由得，
，①
，②
①-②得，
，
故.
【点睛】
方法点睛：
数列求和的常用方法：
（1）公式法：已知数列是等差或等比的数列，可根据求和公式直接计算；
（2）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前项和即可用导学相加法；
（3）错位相减法：数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法；
（4）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和；
（5）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后再相加减；
（6）并项求和：一个数列的前项，可由两两结合求解，则称之为并项求和，形如： 类型，可采用两项合并求解.
18．（2020·甘肃省永昌县第一高级中学高三月考（理））已知数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
（3）若存在正整数，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）利用，求得，注意检验首项.
（2），错位相减法求和得解.
（3）当时，若为奇数，则，单调递增；若为偶数，则，单调递减，利用数列单调性得解.
【详解】
（1）因为，所以当时，，
所以，
因为，不适合，所以.
（2）由题意得当时，，当时，，
所以，
令，①
则，②
由①-②得
，
所以，
所以.
（3）由题意知，当时，若为奇数，则，单调递增；
若为偶数，则，单调递减，
所以，
因为存在正整数，使得成立，
所以当为奇数时，则，，所以，所以，
当为偶数时，则，，所以，所以，
即.
【点睛】
本题考查利用与的关系求通项及错位相减法求和.
已知求的三个步骤:(1)先利用求出.(2)用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式．(3)对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．
错位相减法求和的方法：如果数列是等差数列，是等比数列，求数列 的前项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解; 在写“ ”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.
19．（2020·贵州省思南中学高三期中（文））等比数列中，，且2，，成等差数列，
（1）求的通项公式；
（2）数列满足，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）设数列的公比为，由题意可得，且，即可得到关于q的二次方程，即可求出q的值，代入公式，即可求得的通项公式；
（2）根据题意，利用等差数列前n项和公式，即可求出，进而可求得的表达式，利用裂项相消求和法，即可求得.
【详解】
（1）设数列的公比为，
因为2，，成等差数列，
所以，即，
又，所以，
解得或（舍），
所以.
（2）因为，
所以，则，
所以
.
【点睛】
本题考查等差中项、等差数列前n项和的应用，等比数列通项公式的求法，裂项相消法求和等知识，关键点在于仔细审题，根据题中条件及等差、等比数列的公式，进行求解，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.
20．（2020·湖南永州市·高三月考）设数列的前项和为，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，，，，组成一个项的等差数列，记其公差为，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）时，,两式相减得，数列是首项为，公比为的等比数列，求得 .
（2），代入得，利用错位相减法求和得解.
【详解】
（1）因为 所以，当时，
两式相减得，，即当时，
又当时，，而，则，满足上式，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以 .
（2）依题意可知，，
由（1）得，，即，
则，
，
两式相减得，
即，
所以，
【点睛】
本题考查利用与求通项及利用错位相减法求和，属于基础题.
21．（2020·陕西汉中市·高二月考）已知等差数列的前n项和为，的通项公式为．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ），.
【分析】
（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为d，结合已知条件求、d，进而得到通项公式；
（Ⅱ）由已知有，利用错位相减法，求前n项和.
【详解】
（Ⅰ）设等差数列的公差为d，
由，可得．①
由，可得．②
联立①②，解得，，
等差数列的通项公式为，．
（Ⅱ）由，有，
故，
，
上述两式相减，得
．
∴．
【点睛】
本题考查了数列，利用已知条件求通项公式基本量，进而求得通项公式，应用错位相减法求前n项和，属于基础题.
22．（2020·天津滨海新区·高三其他模拟）已知数列的前项和为，，数列为等比数列，且，分别为数列第二项和第三项.
（1）求数列与数列的通项公式；
（2）若数列，求数列的前项和.
【答案】（1）;，（2）
【分析】
（1）由数列的通项和的关系，求得数列的通项公式，再结合等比数列的通项公式，联立方程组，求得数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式，得到答案.
（2）由（1）可得，利用 “裂项法”和“乘公比错位相减法”，即可求解数列的前项和，得到答案.
【详解】
（1）由题意，数列的前项和为，
当时，
当时∴，
当时也满足上式
所以数列的通项公式为.
设数列的首项为，公比为，则，
∴，，∴，.
（2）由（1）可得，所以
设前项和为成，前项和为，
∴
∴，
∵
∴
∴
【点睛】
本题主要考查了等差、等比数列的通项公式的求解，以及“裂项法”和“乘公比错位相减法”求解数列的前项和，其中解答中熟记数列的通项和的关系，熟练应用“裂项法”和“乘公比错位相减法”，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
23．（2020·宁夏银川一中高三月考（理））已知数列满足，（，），
（1）证明数列为等比数列，求出的通项公式；
（2）数列的前项和为，求证：对任意，.
【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由l两边同时除以得到有，再构造等比数列得解
（2）放缩，再利用等比数列求和得解.
【详解】
（1）由有，∴
∴数列是首项为，公比为2的等比数列.
∴，∴
（2），
∴，
.
【点睛】
本题考查利用递推关系证明等比数列及求通项，并用放缩法证明不等式，属于基础题.
24．（2020·湖北武汉市·高二期末）已知数列满足，，设．
（1）求，，；
（2）判断数列是否为等比数列，说明理由；并求的通项公式．
【答案】（1），，；（2）是，理由见解析，.
【分析】
（1）根据递推公式，赋值求解即可；
（2）利用定义，求证为定值即可，求出数列通项公式，再求的通项公式.
【详解】
（1）由条件可得
将代入得，又，
∴，，即，
将代入得，
∴，即，
又，∴．
综上:，，
（2）由条件可得，即，，
又，所以是首项为1，公比为3的等比数列，.
因为，所以.
【点睛】
本题考查利用递推关系求数列某项的值，以及利用数列定义证明等比数列，及求通项公式，是数列综合基础题.
25．（2020·重庆高二月考）已知数列，，为数列的前项和，，，
.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明为等差数列.
（3）若数列的通项公式为，令.为的前项的和，求.
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【详解】
试题分析：（1）根据题意得到两式作差得到，根据等比数列的公式得到；（2）由题意得到，可得是公差为，首项为的等差数列. （3）由，由错位相减得到数列之和.
解析：
（1）当时，
当时， ，
综上，是公比为，首项为的等比数列，.
（2），，，
综上，是公差为，首项为的等差数列.
（3）由（2）知：
两式相减得：
，.
点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.
26．（2020·广东高三月考）已知数列前项和，点在函数的图象上.
（1）求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由点在函数的图象上，得到，结合与的关系，即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）得时，，利用“裂项相消法”求得，再结合数列的单调性和题设条件，列出不等式，即可求解.
【详解】
（1）由点在函数的图象上，可得，
当时，，
两式相减，可得，
当时，，不符合上式.
所以的通项公式为，
（2）由（1）得时，，
可得，，
又由，
因为，所以数列单调递增，所以，，
要使不等式对任意正整数恒成立，只要，
即，解得.
【点睛】
本题主要考查了利用与的关系求数列的通项公式，数列的“裂项法”求和，以及数列的单调性的综合应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.
27．（2020·大同市煤矿第四中学校高三期中（理））已知数列成等差数列，各项均为正数的数列成等比数列，，且，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【答案】（1）；；（2）.
【分析】
（1）由等差数列和等比数列的基本量法求得通项公式；
（2）由裂项相消法求和．
【详解】
解：（1）因为是等比数列，所以，又，所以，
设等差数列的公差为，
由，两式相减得，，
所以，，
所以，
而，所以．
（2）由（1）得，
．
【点睛】
本题考查求等比数列和等比数列的通项公式，考查裂项相消法求和．考查运算求解能力，属于中档题．.
28．（2020·陕西西安市·西安中学高二月考（理））已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设时，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由得出的递推式，得其从第二项起等比数列，从而可得通项公式；
（2）求出，用裂项相消法求．
【详解】
（1）由已知得得到．
∴数列是以为首项，以为公比的等比数列．又，
．
又不适合上式，
（2）．．
．
【点睛】
本题考查由与的关系求通项公式，考查裂项相消法求和．由与的关系求通项公式，一般都是利用得出的递推式，变形过程中要注意结果对是否适用．
29．（2020·江苏省江阴市第一中学高二期中）设数列的前项和为，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：，的前项和为，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由得：，两式相减可得的递推关系，从而证明是等比数列，得其通项公式；
（2）求出，由等差数列的前项和公式得，然后用裂项相消法求和．
【详解】
解：（1）由得：，
相减得，，.
又，即，可得数列.
是以1为首项3为公比的等比数列，.
.
（2）由（1）知，，.
则，.
【点睛】
本题考查求等比数列的通项公式，考查由求的方法，考查等差数列的前项和公式，考查裂项相消法求数列的和．错位相减法、裂项相消法、分组（并项）求和法、倒序相加法是数列求得的几种特殊方法，需记住它们的应用的条件．
30．（2020·山西省长治市第二中学校（理））已知等差数列的前项和为，，，数列满足，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）()；()；（2）().
【分析】
（1）根据等差数列的通项公式、前n项和公式，结合已知条件求、即可得通项公式，由数列的递推式得及，即可得的通项公式；（2）根据（1）所得通项公式，应用错位相减法求其前项和.
【详解】
（1）数列的首项为，公差为，
由题意: ，解得：，
，，
又，所以，；
（2）由（1）知：
，
，
，
，
的表达式为.
【点睛】
本题考查了数列，根据等差数列的公式、累乘法求数列通项公式，并应用错位相减法求数列前n项和，属于基础题.
31．（2020·武威第六中学高三月考（文））已知数列的前项和为，且，正项等比数列满足，.
（1）求数列与的通项公式；
（2）设，求数列前项和.
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）由即可求通项公式，再结合已知求的通项公式；（2）根据（1）的结论有，应用错位相减法求前项和即可.
【详解】
（1）当时，.
当时，也适合上式，
∴，即有，.
设数列的公比为，则，又，有，
∴.
（2）由（1）可知，，
所以.……①
.……②
由①-②得，，
所以.
【点睛】
本题考查了由的关系求通项公式，利用错位相减法求前项和，等比数列基本量公比、前n项和公式的应用，属于基础题.
32．（2020·四川成都市·高三开学考试（文））设等差数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）设等差数列的公差为，根据，，列出方程组，求得的值，即可得到数列的通项公式.
（2）由，得到当时，，
两式相减求得，进而求得数列的通项公式，结合数列的单调性，即可求解.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，
因为，，可得，解得，，
所以，
即数列的通项公式.
（2）因为，
当时，，
两式相减可得：，
所以
又由时，，所以，也符合上式，
所以，
又因为，
可得当时，；当时，，
所以数列先单调递增再递减，可得，所以.
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式求解，利用数列的递推公式求解数列的通项公式，以及数列的单调性的判定及应用，其中解答中熟练化简数列的递推公式，得出数列的通项公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
33．（2020·全国高三专题练习）已知数列、满足：，为等比数列，且，，.
（1）试判断数列是否为等差数列，并说明理由；
（2）求数列的前n项和.
【答案】（1）数列不是等差数列，理由见解析；（2）
【分析】
（1）由已知首先求出，由为等比数列，求得，可判断数列是否为等差数列；
（2）由（1）可得可求得数列的通项公式，用累加法求得，然后再用分组求和法求得和．
【详解】
解：（1）数列不是等差数列
理由如下：
由，且，，得：
所以 又因为数列为等比数列，
所以可知数列的首项为4，公比为2.
所以，∴
显然
故数列不是等差数列
（2）结合（1）知，等比数列的首项为4，公比为2.
故， 所以
因为，，，∴
∴（）
令，…，
累加得
∴
又满足上式 ， ∴
所以
．
【点睛】
本题考查等差数列的判断，考查累加法求通项公式，分组求和法，掌握等差等比数列的通项公式和前项和公式是解题基础．
34．（2020·黑龙江绥化市·哈师大青冈实验中学（文））设是数列的前n项和，已知，
⑴求数列的通项公式；
⑵设，求数列的前项和．
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）利用可证得数列为等比数列，从而可求得通项公式；（2）通过（1）可得，分为为奇数和为偶数两种情况分别求出.
【详解】
（1）因为，所以当时，
两式相减得， 所以
当时，，，则
所以数列为首项为，公比为的等比数列， 故
（2）由（1）可得
所以
故当为奇数时，
当为偶数时，
综上
【点睛】
本题考查等比数列通项公式的求解、数列前项和的求解问题，在解决含的数列求和的问题时，要注意进行为奇数和偶数两种情况的讨论.
35．（2020·安徽高三月考（文））已知正项数列满足：，，.
（1）判断数列是否是等比数列，并说明理由；
（2）若，设，，求数列的前项和.
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）.
【分析】
（1）把已知等式左边因式分解，由数列为正项数列得，但需对讨论，，不是等比数列，否则是等比数列；
（2）由（1）求得，即可得，用分组求和法求和．
【详解】
解：（1）∵，
又是正项数列，可得，∴，
∴当时，数列不是等比数列；
当时，易知，故，
所以数列是等比数列，首项为，公比为2.
（2）由（1）知，，，
∴.
【点睛】
本题考查等比数列的判断，考查分组求和法，数列中由递推公式不能说明数列是等比数列，加上条件才可得是等比数列．
36．（2020·广东佛山市·佛山一中高一月考）已知数列满足，，数列满足.
（1）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）数列的前项和为，设，求数列的前40项和.
【答案】（1）证明见解析，；（2）；（3）.
【分析】
（1）由题意，即可得，即可得数列是等差数列，进而可得其通项公式；
（2）由题意，利用错位相减法即可得解；
（3）由题意，利用分组求和法与等差数列前n项和公式即可得数列的前40项和.
【详解】
（1），，
，
，，
又，，
数列是首项为1，公差为的等差数列，；
（2）由（1）得，，
，
，
两式相减得
，
；
（3）由题意，，
数列的前40项和
，
数列的前40项和为.
【点睛】
本题考查了等差数列的证明及应用，考查了分组求和法与错位相减法求数列前n项和的应用，属于中档题.
37．（2020·四川省泸县第一中学高二开学考试（文））记公差不为零的等差数列的前n项和为，已知，是与的等比中项．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ求数列的前n项和．
【答案】（I）；（II）
【分析】
（I）由等差数列的性质列式求得公差，则通项公式可求；（II）由（I）写出等差数列的前项和，取倒数，再由裂项相消法求解．
【详解】
（I）由已知，得
又，解得：
（II）由（I）得，
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式及前项和，训练了裂项相消法求数列的前项和，是中档题．
38．（2020·四川省武胜烈面中学校高二开学考试（理））在正项等比数列中，，且，的等差中项为．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）设正项等比数列的公比为，由已知列关于首项与公比的方程组，求得首项与公比，则通项公式可求；
（2）把数列的通项公式代入，可得数列是等差数列，求得，再由裂项相消法求数列的前项和．
【详解】
（1）设正项等比数列的公比为，
由题意可得，解得．
数列的通项公式为；
（2）由．
可得，又，
数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
则．
．
则．
【点睛】
本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式与前项和，考查了裂项相消法求数列的前项和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
四、填空题
39．（2020·通榆县第一中学校高三月考（文））已知数列的前项和为，且，若，则的取值集合是__________.
【答案】
【分析】
由数列和的关系，推得，得到数列是首项为、公比为的等比数列，进而得到，结合，即可求解.
【详解】
由题意，数列的前项和为S，且，
当时，，解得，
当时，和，
两式相减得，即
则数列是首项为、公比为的等比数列，即各项依次为
所以
结合，得的取值集合是.
故答案为：.
【点睛】
有关数列中和的关系问题的求解策略：
根据所求结果不同额要求，将问题向不同的两个方向转化；（1）利用转化为的关系，再求解；（2）利用转化为的关系，再求解.
40．（2020·桃江县第一中学高三期中）已知函数，数列是正项等比数列，且，________.
【答案】
【分析】
由，求得，根据数列是正项等比数列，由等比数列的性质，得到，结合倒序相加法求和，即可求解.
【详解】
由题意，函数，可得，
又由数列是正项等比数列，且，
根据等比数列的性质可得，
设，
则，
所以，
可得，即.
故答案为：.
【点睛】
倒序相加法求和：如果一个数列的首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数时，求解这个数列的前项和，即可采用倒序相加法求解.
41．（2020·西安市第二十五中学高三月考（文））数列的前项和为，已知，且对任意正整数，都有，若恒成立，则实数的最小值为________.
【答案】
【分析】
令，求得，得到是首项为，公比为的等比数列，利用等比数列的求和公式，求得，结合恒成立，即可求解.
【详解】
由题意，数列满足，且对任意正整数，都有，
令，可得，即，所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，
又由恒成立，所以，故实数的最小值为.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的定义，以及等比数列的前项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的定义，以及等比数列的求和公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
42．（2020·广西桂林十八中高三月考（理））已知数列的前项和为，满足，且，则_________________.
【答案】
【分析】
根据题中条件，由裂项的方法得到，根据裂项相消与并项求和的方法，即可得出结果.
【详解】
因为，
则
.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查数列的求和，熟记裂项相消的方法和并项求和的方法即可，属于常考题型.
43．（2020·全国高三专题练习）在数列{an}中，已知，则数列{an}的通项公式an=________ .
【答案】
【分析】
将两边同时减去，得，构造新的等比数列，然后将的各项叠加即可.
【详解】
解：将两边同时减去得，
，
，
即是等比数列，其首项为2，公比为2，
所以，
从而当n≥2时，
.
又，故
故答案为：.
【点睛】
考查已知递推数列求数列通项，这种题一般是通过构造新的等比数列或等差数列，再借助于累加或累乘解决，基础题.
相关试卷
专题十一 等差数列与等比数列-2021届高三《新题速递•数学》10月刊（江苏专用 适用于高考复习）： 这是一份专题十一 等差数列与等比数列-2021届高三《新题速递•数学》10月刊（江苏专用 适用于高考复习），文件包含专题十一等差数列与等比数列原卷版docx、专题十一等差数列与等比数列解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共70页， 欢迎下载使用。
专题十一 等差数列与等比数列-2021届高三《新题速递•数学》9月刊（江苏专用 适用于高考复习）： 这是一份专题十一 等差数列与等比数列-2021届高三《新题速递•数学》9月刊（江苏专用 适用于高考复习），文件包含专题十一等差数列与等比数列原卷版docx、专题十一等差数列与等比数列解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共82页， 欢迎下载使用。
专题十一 等差数列与等比数列-2021届高三《新题速递•数学》11月刊（江苏专用 适用于高考复习）： 这是一份专题十一 等差数列与等比数列-2021届高三《新题速递•数学》11月刊（江苏专用 适用于高考复习），文件包含专题十一等差数列与等比数列原卷版docx、专题十一等差数列与等比数列解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共72页， 欢迎下载使用。
