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专题十一 等差数列与等比数列-2021届高三《新题速递•数学》12月刊（江苏专用 适用于高考复习）
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专题十一 等差数列与等比数列
一、单选题
1．（2020·正阳县高级中学高二月考（理））已知数列的各项均为正数，，，若数列的前项和为5，则（ ）
A．119 B．121 C．120 D．122
【答案】C
【分析】
根据题设条件化简得到，结合等差数列的通项公式，求得，进而得到，结合裂项法，求得数列的前项和，列出方程，即可求解.
【详解】
由题意，数列的各项均为正数，，，
可得，所以数列是以4首项，公差为4的等差数列，
所以，可得，
又由，
前项和，
令，解得.
故选：C.
【点睛】
裂项求和的方法与注意点：
1、裂项相消法求和：把数列的通项公式拆成两项的差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得数列的前项和；
2、使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，且不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点.
2．已知为数列的前项和，且满足，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据数列前前项和的性质可得 由此可得结果.
【详解】
由题数列的前项和满足，则
故选C.
【点睛】
本题考查数列前前项和的性质，属基础题.
3．（2020·浙江高三开学考试）已知数列满足：，且，则下列说法错误的是（ ）
A．存在，使得为等差数列 B．当时，
C．当时， D．当时，是等比数列
【答案】C
【分析】
当，两边同时取倒数可得为等差数列；当时，，可知；
当时，求可判断；当时，求作比较即可.
【详解】
当，两边同时取倒数可得，，所以为等差数列，A正确；
当时，，，可知，B正确；
当时， ，C错误
当时，，D.正确.
故选:C
【点睛】
此题考查如何用递推关系判断数列相关性质，属于中档题.
4．（2020·全国高三专题练习（文））已知等差数列的前项和为，，，则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设等差数列的首项为，公差为.
∵，
∴
∴
∴，则
∴数列的前项和为
故选B.
点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
5．已知等差数列满足，，数列满足，记数列的前n项和为，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数t的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由等差数列基本量法求出通项公式，用裂项相消法求得，求出的最大值，然后利用关于的不等式是一次不等式列出满足的不等关系求得其范围．
【详解】
设等差数列公差为，则由已知得，解得，∴，
，
∴，
易知数列是递增数列，且，
∴若对于任意的，，不等式恒成立，即，又，∴，解得或．
故选：B．
【点睛】
本题考查求等差数列的通项公式，考查裂项相消法求数列的和，考查不等式恒成立问题，解题关键是掌握不等式恒成立问题的转化与化归思想，不等式恒成立首先转化为求数列的单调性与最值，其次转化为一次不等式恒成立．
6．（2017·马山县教师进修学校（马山县金伦中学）高三期末（文））已知数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意得， ，则 ，即 ，故选A.
7．（2020·江苏省镇江中学高三开学考试）已知函数的图象过点，令，记数列的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由，解得，可得，因此，利用裂项相消法即可求解．
【详解】
函数的图象过点，则，解得，得,
，
则，
故选：B．
【点睛】
本题考查幂函数的定义，考查累加求和方法的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
8．（2020·江苏高二单元测试）定义为个正数的“快乐数”.若已知正项数列的前项的“快乐数”为，则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据“快乐数”定义可得数列的前项和；利用与关系可求得数列的通项公式，从而得到，采用裂项相消法可求得结果.
【详解】
设为数列的前项和
由“快乐数”定义可知：，即
当时，
当且时，
经验证可知满足
数列的前项和为：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查根据求解数列的通项公式、裂项相消法求解数列的前项和；关键是能够准确理解“快乐数”的定义，得到；从而利用与的关系求解出数列的通项公式.
9．（2020·江苏高二单元测试）数列{an}满足a1=1，对任意n∈N*都有an+1=an+n+1，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题意可得n≥2时，an-an-1=n，再由数列的恒等式：an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1），运用等差数列的求和公式，可得an，求得==2（-），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和．
【详解】
解：数列{an}满足a1=1，对任意n∈N*都有an+1=an+n+1，
即有n≥2时，an-an-1=n，
可得an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）
=1+2+3+…+n=n（n+1），也满足上式
==2（-），
则=2（1-+-+…+-）
=2（1-）=．
故选B．
【点睛】
本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．
10．（2019·黑龙江哈师大青冈实验中学高二开学考试）已知等差数列的前项和为，则数列的前2019项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设等差数列的公差为，由，，可得，，联立解得，，可得．利用裂项求和方法即可得出．
【详解】
设等差数列的公差为，，，
，，
联立解得：，
．
．
则数列的前2019项和．
故选．
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查学生的转化能力和计算求解能力，属于中档题．
11．已知是公比为整数的等比数列，设，，且，记数列的前项和为，若，则的最小值为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】B
【分析】
设是公比为q，根据已知条件有求得，数列的前项和为即可求的最小值
【详解】
令是公比为q，由，
∴，又
即，又，知：
∵的前项和为，则
∴时，，
解得
故选：B
【点睛】
本题考查了数列，由数列的递推关系及已知条件求公比，进而根据新数列的前n项和及不等式条件求的最小值
12．（2020·四川省珙县中学高一月考）在数列中，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用累加法求得通项公式，
【详解】
由已知，，，，，
∴时，，
∴．
故选：A．
【点睛】
本题考查累加法求数列通项公式，考查裂项相消法求数列的和．已知，可用累加法求通项公式，已知可用累乘法求通项公式．
二、多选题
13．（2020·博兴县第三中学高三月考）记数列{an}的前n项和为Sn，若存在实数H，使得对任意的n∈N+，都有
B．若{an}是等差数列，且{an}是“和有界数列”，则公差d=0
C．若{an}是等比数列，且公比
【分析】
求出等差数列和等比数列的前项和，然后根据定义判断．
【详解】
是等差数列，公差为，则，
A．，则，若，则时，，{an}不是“和有界数列”，A错；
B．若{an}是“和有界数列”，则由知，即，B正确；
C．{an}是等比数列，公比是，则，若，则时，，根据极限的定义，一定存在，使得，对于任意成立，C正确；
D．若，，则，∴，{an}是“和有界数列”，D错．
故选：BC．
【点睛】
本题考查数列新定义，考查等差数列和等比数列的前项和公式及数列的极限，解题关键是正确理解新定义“和有界数列”，把问题转化为转化，考查了学生的转化与化归能力，逻辑思维能力．
第II卷（非选择题）
三、解答题
14．（2020·江苏南通·高三期中）已知等差数列的首项为，公差为，前n项的和为 ，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项的和为Tn，求Tn.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由，列出方程组，求得，即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）化简，结合裂项法，即可求解.
【详解】
（1）由题意,等差数列中，因为，
可得，因为，可得，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）可得，
所以.
【点睛】
裂项求和的方法与注意点：
1、把数列的通项公式拆成两项的差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得数列的前项和；
2、使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，且不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点.
15．（2020·咸阳市高新一中高三月考（理））已知数列是递增的等差数列，，若成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和，求.
【答案】（1）； （2）.
【分析】
（1）设等差数列的公差为，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解；
（2）由（1）求得，结合“裂项法”即可求解.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，
因为，若成等比数列，
可得，解得，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）可得，
所以.
【点睛】
关于数列的裂项法求和的基本策略：
1、基本步骤：
裂项：观察数列的通项，将通项拆成两项之差的形式；
累加：将数列裂项后的各项相加；
消项：将中间可以消去的项相互抵消，将剩余的有限项相加，得到数列的前项和.
2、消项的规律：
消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.
16．（2020·黑龙江哈尔滨三中高三期中（理））数列中，，.
（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为.求证：.
【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由，化简得到，根据等比数列的定义，得到数列为等比数列，进而求得.
（2）由（1）求得，结合裂项法，求得数列的前项和为，即可作出证明.
【详解】
（1）由题意，数列中，，，
可得，即，
又由，可得，所以是以2为首项2为公比的等比数列，
由等比数列的通项公式，可得，所以.
（2）由（1）可得，所以，
数列的前项和为
，
又因为，所以，所以，
即.
【点睛】
关于裂项法求和的基本策略：
1、基本步骤：
裂项：观察数列的通项，将通项拆成两项之差的形式；
累加：将数列裂项后的各项相加；
消项：将中间可以消去的项相互抵消，将剩余的有限项相加，得到数列的前项和.
2、消项的规律：
消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.
17．（2020·贵州省思南中学高三期中（文））等比数列中，，且2，，成等差数列，
（1）求的通项公式；
（2）数列满足，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）设数列的公比为，由题意可得，且，即可得到关于q的二次方程，即可求出q的值，代入公式，即可求得的通项公式；
（2）根据题意，利用等差数列前n项和公式，即可求出，进而可求得的表达式，利用裂项相消求和法，即可求得.
【详解】
（1）设数列的公比为，
因为2，，成等差数列，
所以，即，
又，所以，
解得或（舍），
所以.
（2）因为，
所以，则，
所以
.
【点睛】
本题考查等差中项、等差数列前n项和的应用，等比数列通项公式的求法，裂项相消法求和等知识，关键点在于仔细审题，根据题中条件及等差、等比数列的公式，进行求解，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.
18．（2020·湖南高三月考）设数列的前项和为，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，，，，组成一个项的等差数列，记其公差为，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）时，,两式相减得，数列是首项为，公比为的等比数列，求得 .
（2），代入得，利用错位相减法求和得解.
【详解】
（1）因为 所以，当时，
两式相减得，，即当时，
又当时，，而，则，满足上式，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以 .
（2）依题意可知，，
由（1）得，，即，
则，
，
两式相减得，
即，
所以，
【点睛】
本题考查利用与求通项及利用错位相减法求和，属于基础题.
19．（2020·陕西高二月考）已知等差数列的前n项和为，的通项公式为．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ），.
【分析】
（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为d，结合已知条件求、d，进而得到通项公式；
（Ⅱ）由已知有，利用错位相减法，求前n项和.
【详解】
（Ⅰ）设等差数列的公差为d，
由，可得．①
由，可得．②
联立①②，解得，，
等差数列的通项公式为，．
（Ⅱ）由，有，
故，
，
上述两式相减，得
．
∴．
【点睛】
本题考查了数列，利用已知条件求通项公式基本量，进而求得通项公式，应用错位相减法求前n项和，属于基础题.
20．（2020·天津高三其他模拟）已知数列的前项和为，，数列为等比数列，且，分别为数列第二项和第三项.
（1）求数列与数列的通项公式；
（2）若数列，求数列的前项和.
【答案】（1）;，（2）
【分析】
（1）由数列的通项和的关系，求得数列的通项公式，再结合等比数列的通项公式，联立方程组，求得数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式，得到答案.
（2）由（1）可得，利用 “裂项法”和“乘公比错位相减法”，即可求解数列的前项和，得到答案.
【详解】
（1）由题意，数列的前项和为，
当时，
当时∴，
当时也满足上式
所以数列的通项公式为.
设数列的首项为，公比为，则，
∴，，∴，.
（2）由（1）可得，所以
设前项和为成，前项和为，
∴
∴，
∵
∴
∴
【点睛】
本题主要考查了等差、等比数列的通项公式的求解，以及“裂项法”和“乘公比错位相减法”求解数列的前项和，其中解答中熟记数列的通项和的关系，熟练应用“裂项法”和“乘公比错位相减法”，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
21．（2020·重庆高二月考）已知数列，，为数列的前项和，，，
.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明为等差数列.
（3）若数列的通项公式为，令.为的前项的和，求.
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【详解】
试题分析：（1）根据题意得到两式作差得到，根据等比数列的公式得到；（2）由题意得到，可得是公差为，首项为的等差数列. （3）由，由错位相减得到数列之和.
解析：
（1）当时，
当时， ，
综上，是公比为，首项为的等比数列，.
（2），，，
综上，是公差为，首项为的等差数列.
（3）由（2）知：
两式相减得：
，.
点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.
22．（2020·重庆市第三十七中学校高二月考）已知数列的前项和为，且满足
（1）求数列的通项公式；
（2）设，令，求.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据数列的递推关系式，化简得，再结合等比数列的定义，即可求得其通项公式；
（2）由（1）代入求得，得到，利用“裂项法”，即可求解.
【详解】
（1）由，得，
则当时，，得
当时，，
整理得
所以是等比数列，且公比为，首项，
所以，即数列的通项公式.
（2）由（1）及，可得
所以，可得，
所以.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的定义及通项公式的求解，以及“裂项法”求和的应用，其中解答中熟练利用数列的递推关系式和等比数列的定义，以及合理利用“裂项法”是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
23．（2020·海原县第一中学高二月考）已知等差数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
【答案】（1）； （2）.
【分析】
（1）由，列出方程组，求得，即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）求得，结合“裂项法”求和，即可求解.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，
因为，可得，解得，
所以数列的通项公式.
（2）由（1）知，
可得，
所以数列的前项和：
.
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，以及“裂项法”求和的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前项和公式，以及合理利用“裂项法”求和是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
24．（2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二开学考试（理））已知数列满足，.
（1）证明是等比数列，并求的通项公式；
（2）若数列满足，为数列的前项和，求.
【答案】（1）证明见解析；；（2）.
【分析】
（1）由递推关系直接构造新的等比递推关系，进而求出数列的通项公式.
（2）先用（1）的结论，再用错位相减法求出数列的和.
【详解】
（1）数列满足，，
整理得，（常数），
所以是以3为首项，公比为3的等比数列
，得.
（2）数列满足，
所以数列的通项公式为，
所以①，
②，
①②得：，
整理得.
【点睛】
本题考查数列的通项公式求法，错位相减法求和，同时考查式的运算能力，属于基础题.
25．（2019·广东高二期末（文））已知数列是等比数列，首项，公比，其前项和为，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2).
【解析】
试题分析：
（1）由题意可得，整理计算有：，据此可得数列的公比为，通项公式.
（2）结合（1）的结果知， 其通项公式为等差数列与等比数列相乘的形式，错位相减可得前n项和为.
试题解析：
（1）因为，，成等差数列，
所以，
所以，
所以，因为数列是等比数列，所以，
又，所以，所以数列的通项公式.
（2）由（1）知，
，
，
所以
.
故.
点睛：一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．
26．（2020·苏州市相城区望亭中学高二月考）已知等差数列的公差d大于0，且满足，．数列满足．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求取得最大值时的值．
【答案】（1），；（2）．
【分析】
（1）列方程解出和，得通项公式，由已知式，写出，相减后可求得，同时注意；
（2）作商比较，得的单调性，从而可得最大值．
【详解】
（1）由题意，∵，∴可解得，
∴，
又由已知，
由式得时有式，
两式相减得，，＝1不适用，
∴．
（2），则，
∵，∴时，，是递增数列，时，，是递减数列，
∴是最大，时，最大．
【点睛】
本题考查等差数列、等比数列的通项公式，通项公式不能用一个式子表示时要写成分段函数形式，考查数列的单调性，作商比较是确定数列单调性的常用方法．
27．（2020·四川省珙县中学高一月考）已知等差数列的首项为1，公差，且是与的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由题设条件，结合等差数列的通项公式，得到，求得，即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）知，求得，结合“裂项法”，即可求解.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，且，
因为是与的等比中项，所以，即，
又由，即，整理得，解得或，
因为，所以.
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，
所以，
所以.
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式的求解，等比中项公式的应用，以及“裂项法”求和，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式，以及熟练应用“裂项法”求和是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
28．（2020·湖北沙市中学高二期末）已知等差数列{an}满足a1+a4+a7＝0，a3+a6+a9＝﹣18，前n项和为Sn．
（1）求S9
（2）记bn＝|an|，求数列{bn}的前9项和T9．
【答案】（1）27（2）63
【分析】
(1)根据等差数列的等和性与基本量法求解即可.
(2)根据(1)中,再去绝对值分析与的关系计算即可.
【详解】
（1）等差数列{an}满足a1+a4+a7＝0,a3+a6+a9＝﹣18,
可得3a4＝0,即a4＝0,3a6＝﹣18,即a6＝6,
可得公差d3,a1＝a4﹣3d＝﹣9,
则S9＝9×（﹣9）9×8×3＝27；
（2）bn＝|an|＝|﹣9+3（n﹣1）|＝|3n﹣12|,n≤4时,an≤0,n≥5时,an＞0,
可得T9＝S9﹣S4﹣S4＝27﹣2（﹣36+6×3）＝63．
【点睛】
本题主要考查了根据等差数列的性质与基本量法求解等差数列前项和的问题.同时也考查了带绝对值的等差数列的求和问题,需要分绝对值中的正负去绝对值,属于基础题.
29．（2020·石嘴山市第三中学高三月考（文））已知等比数列是首项为的递减数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
(1)由已知等式结合通项公式解出公比，再结合递减数列取舍，即可得数列的通项公式.
(2)用错位相减法求和.
【详解】
（1）由，得，解得或.
数列为递减数列，且首项为，.
.
（2），
.
两式相减得
，
.
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式，错位相减法求数列的和.若数列满足且，分别是等差数列和等比数列，则可以用错位相减法求数列的前项和.
30．（2020·霍邱县第二中学高一月考）等比数列的各项均为正数，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设 ，求数列的前项和.
【答案】（1） （2）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）设出等比数列的公比q，由，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式代入设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到bn的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{}的前n项和
试题解析：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q,由＝9a2a6得＝9,所以q2＝．
由条件可知q＞0,故q＝．由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1,所以a1＝．
故数列{an}的通项公式为an＝．
（Ⅱ）bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－．
故．
所以数列的前n项和为
考点：等比数列的通项公式；数列的求和
31．（2020·全国高二月考（理））设数列的前项和为，，且对任意正整数，点都在直线上.
（1）求的通项公式；
（2）若，求的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由在上有递推式，即可得，说明此等量关系在上都成立，则可求的通项公式；（2）结合（1）知，利用错位相减法求的前项和.
【详解】
（1）由点在直线上，有，
当时，，
两式相减得，即，，
又当时，而，解得，满足，
即是首项，公比的等比数列，
∴的通项公式为.
（2）由（1）知，，则
，
.
两式相减得
所以.
【点睛】
本题考查了应用与的递推关系求通项公式，由新数列与已知数列关系求通项，再利用错位相减法求前n项和.
32．（2020·陕西西安中学高二月考（理））已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设时，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由得出的递推式，得其从第二项起等比数列，从而可得通项公式；
（2）求出，用裂项相消法求．
【详解】
（1）由已知得得到．
∴数列是以为首项，以为公比的等比数列．又，
．
又不适合上式，
（2）．．
．
【点睛】
本题考查由与的关系求通项公式，考查裂项相消法求和．由与的关系求通项公式，一般都是利用得出的递推式，变形过程中要注意结果对是否适用．
33．（2020·江苏高二期中）已知数列的前n项和为，，，.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设数列的前n项和为，已知，若不等式对于恒成立，求实数m的最大值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）利用可得数列的递推关系，，然后可证明是等比数列；
（2）由（1）求出，即得，利用错位相减法求得，不等式对于恒成立，转化为恒成立，求出的最小值即可得结论．
【详解】
（1）由，
得（），
两式相减得，所以（），
因为，所以，，.
所以是以1为首项，2为公比的等比数列.
（2）由，又由（1）可知，得，
∴，则，
两式相减得，
所以.
由恒成立，即恒成立，
又，
故当时，单调递减；当时，；
当时，单调递增；当时，；
则的最小值为，所以实数m的最大值是.
【点睛】
本题考查由求，考查等比数列的证明，等比数列的通项公式，考查错位相减法求和以及数列不等式恒成立问题．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题．
34．（2020·长沙市湖南师大第二附属中学有限公司高三月考）已知等差数列的前项和为，数列为正项等比数列，且，，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，设的前项和为，求.
【答案】（1），.（2）
【分析】
（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）由a1＝3，an＝2n+1得Sn＝n（n+2）．则n为奇数，cn．“分组求和”，利用“裂项求和”、等比数列的前n项和公式即可得出．
【详解】
（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
∵，，，，∴
∴或，且是正项等比数列，
∴，，
∴，.
（2）由（1）知
∴
∴
=
=.
【点睛】
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“分组求和”、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
35．（2020·江苏省江阴市第一中学高二期中）设数列的前项和为，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：，的前项和为，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由得：，两式相减可得的递推关系，从而证明是等比数列，得其通项公式；
（2）求出，由等差数列的前项和公式得，然后用裂项相消法求和．
【详解】
解：（1）由得：，
相减得，，.
又，即，可得数列.
是以1为首项3为公比的等比数列，.
.
（2）由（1）知，，.
则，.
【点睛】
本题考查求等比数列的通项公式，考查由求的方法，考查等差数列的前项和公式，考查裂项相消法求数列的和．错位相减法、裂项相消法、分组（并项）求和法、倒序相加法是数列求得的几种特殊方法，需记住它们的应用的条件．
36．（2020·山西省长治市第二中学校高三月考（理））已知等差数列的前项和为，，，数列满足，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）()；()；（2）().
【分析】
（1）根据等差数列的通项公式、前n项和公式，结合已知条件求、即可得通项公式，由数列的递推式得及，即可得的通项公式；（2）根据（1）所得通项公式，应用错位相减法求其前项和.
【详解】
（1）数列的首项为，公差为，
由题意: ，解得：，
，，
又，所以，；
（2）由（1）知：
，
，
，
，
的表达式为.
【点睛】
本题考查了数列，根据等差数列的公式、累乘法求数列通项公式，并应用错位相减法求数列前n项和，属于基础题.
37．（2020·武威第六中学高三月考（文））已知数列的前项和为，且，正项等比数列满足，.
（1）求数列与的通项公式；
（2）设，求数列前项和.
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）由即可求通项公式，再结合已知求的通项公式；（2）根据（1）的结论有，应用错位相减法求前项和即可.
【详解】
（1）当时，.
当时，也适合上式，
∴，即有，.
设数列的公比为，则，又，有，
∴.
（2）由（1）可知，，
所以.……①
.……②
由①-②得，，
所以.
【点睛】
本题考查了由的关系求通项公式，利用错位相减法求前项和，等比数列基本量公比、前n项和公式的应用，属于基础题.
38．已知数列、满足：，为等比数列，且，，.
（1）试判断数列是否为等差数列，并说明理由；
（2）求数列的前n项和.
【答案】（1）数列不是等差数列，理由见解析；（2）
【分析】
（1）由已知首先求出，由为等比数列，求得，可判断数列是否为等差数列；
（2）由（1）可得可求得数列的通项公式，用累加法求得，然后再用分组求和法求得和．
【详解】
解：（1）数列不是等差数列
理由如下：
由，且，，得：
所以 又因为数列为等比数列，
所以可知数列的首项为4，公比为2.
所以，∴
显然
故数列不是等差数列
（2）结合（1）知，等比数列的首项为4，公比为2.
故， 所以
因为，，，∴
∴（）
令，…，
累加得
∴
又满足上式 ， ∴
所以
．
【点睛】
本题考查等差数列的判断，考查累加法求通项公式，分组求和法，掌握等差等比数列的通项公式和前项和公式是解题基础．
39．（2018·江西省信丰中学高二月考（文））数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n(n+1)(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足：，求数列{bn}的通项公式；
(3)令(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Tn.
【答案】（1） ；(2);（3） .
【分析】
（1）数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n（n+1）（n∈N*），n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1．n=1时，a1=S1=2，即可得出;（2）数列{bn}满足：an=，可得n≥2时，an﹣an﹣1==2．n=1时，=a1=2，可得b1;（3）cn===n•3n+n，令数列{n•3n}的前n项和为An，利用错位相减法即可得出An．进而得出数列{cn}的前n项和Tn．
【详解】
（1）∵数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n（n+1）（n∈N*），
∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n（n+1）﹣n（n﹣1）=2n．
n=1时，a1=S1=2，对于上式也成立．
∴an=2n．
（2）数列{bn}满足：an=+++…+，∴n≥2时，an﹣an﹣1==2．
∴bn=2（3n+1）．
n=1时，=a1=2，可得b1=8，对于上式也成立．
∴bn=2（3n+1）．
（3）cn===n•3n+n，
令数列{n•3n}的前n项和为An，则An=3+2×32+3×33+…+n•3n，
∴3An=32+2×33+…+（n﹣1）•3n+n•3n+1，
∴﹣2An=3+32+…+3n﹣n•3n+1=﹣n•3n+1，
可得An=．
∴数列{cn}的前n项和Tn=+．
【点睛】
本题考查了数列递推关系、错位相减法、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.
40．已知数列的前项和为，且与的等差中项是，，函数.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，记数列的前项和为，试比较与的大小.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【分析】
（1）由已知得，用代换得，两式相减得数列是等比数列，可得通项公式；
（2）求出，然后用裂项相消法求得和，然后可得只要比较与312的大小即可．由此易得大小关系．
【详解】
（1）∵与的等差中项是，故，成等差数列.∴，①
当时，，②，①-②，得，
∴.∴.当时，由①得，∴.∴.
∴是以1为首项，3为公比的等比数列.∴.
（2）∵，∴.
∴.
∴
.比较与的大小，只需比较与312的大小即可.
.∵，
∴当且时，，即；
当时，，即；
当且时，，即.
【点睛】
本题考查求等差数列的通项公式，考查裂项相消法求数列的和，错位相减法、裂项相消法、分组（并项）求和法，倒序相加法是数列的几种重要方法，需掌握．
41．（2020·河北高三月考）已知数列满足，.
（1）求证数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，证明：.
【答案】（1）证明见解析；；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由递推关系整理得：得证，进一步得通项公式；
（2）裂项求和可证.
【详解】
（1）由题，两边同时除以，得，
又，∴是首项为，公差为的等差数列，
∴，∴.
（2）由（1）.
∴.
∵，∴，即.
【点睛】
由递推关系变式寻找一个相关数列成等差或等比数列，进而得出所要求的数列的通项公式也是求数列通项的常用方法；裂项求和是数列求和的基本方法.
42．（2020·安徽高一期末（理））已知等差数列满足，，数列的前项和为满足.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）若，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）根据题设条件，列出方程组求得的值，即可得到得出数列的通项公式，再利用数列的递推关系，得到数列是首项为1，公比为2的等比数列，即可求出数列的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，利用乘公比错位相减法，即可求解．
【详解】
（Ⅰ）设等差数列的公差为，
因为，，可得，解得，
所以，
对于数列，当时，，解得.
当时，，，
两式相减，得，即，
所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得.
令，
当时，.
当时，，
则.
两式相减，得
，
得，而时也符合该式，所以，
故题中不等式可化为.（*），
当时，不等式（*）可化为，解得；
当时，不等式（*）可化为，此时；
当时，不等式（*）可化为，因为数列是递增数列，所以，
综上，实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.
43．设是数列的前n项和，已知，
⑴求数列的通项公式；
⑵设，求数列的前项和．
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）利用可证得数列为等比数列，从而可求得通项公式；（2）通过（1）可得，分为为奇数和为偶数两种情况分别求出.
【详解】
（1）因为，所以当时，
两式相减得， 所以
当时，，，则
所以数列为首项为，公比为的等比数列， 故
（2）由（1）可得
所以
故当为奇数时，
当为偶数时，
综上
【点睛】
本题考查等比数列通项公式的求解、数列前项和的求解问题，在解决含的数列求和的问题时，要注意进行为奇数和偶数两种情况的讨论.
44．（2020·贵州高三其他模拟（理））已知数列是公差不为0的等差数列，首项，且成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据条件“成等比数列”列关于公差的方程，解得结果，（2）根据分组求和法，将原数列的和分为等差与等比数列的和.
【详解】
(1)设数列{an}的公差为d，由已知得，a＝a1a4，
即(1＋d)2＝1＋3d，解得d＝0或d＝1.
又d≠0，∴d＝1，可得an＝n.
(2)由(1)得bn＝n＋2n，
∴Tn＝(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋…＋(n＋2n)
＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(2＋22＋23＋…＋2n)＝＋2n＋1－2.
【点睛】
本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和. 分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如 ），符号型（如 ），周期型 （如 ）
45．已知等差数列 满足：，且 ，， 成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 为数列 的前 项和，是否存在正整数 ，使得 ？若存在，求 的最小值；若不存在，说明理由.
【答案】(1) 通项公式为 或;(2) 当 时，不存在满足题意的正整数 ；当 时，存在满足题意的正整数 ，其最小值为.
【详解】
（1）依题意，成等比数列，
故有，
∴，解得或.
∴或.
（2）当 时，不存在满足题意的正整数 ；
当，∴.
令，即，
解得或（舍去），
∴最小正整数.
46．（2017·江西高二期末（文））在等差数列中，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若成等比数列，求数列的前项和.
【答案】(1) 或;(2) .
【解析】
试题分析：（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为，列方程组求出，由此求得数列的通项公式；（2）根据第一问的结论和成等比数列，判断，化简，这是等差数列乘以等比数列，用错位相减法求其前项和.
试题解析：
（1）
得到，解得或
当时：，此时；
当时，，此时；
或
（2）由成等比数列，可知
则
两式相减得到
故
47．（2020·黑龙江哈师大青冈实验中学高二开学考试）已知数列{an}满足，a1+．
（1）求a1，a2的值
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设bn＝，数列{bn}的前n项和为Sn，求证：∀n∈N*，＜1．
【答案】（1）a1＝1．a2＝4；（2）；（3）证明见解析.
【分析】
（1）直接利用递推关系式求出结果；
（2）a1+①，当n≥2时，②，两式相减即可求出数列的通项公式；
（3）根据题意＝，利用裂项相消法在数列求和中的应用和放缩法的应用求出结果．
【详解】
（1）数列{an}满足，a1+①．
当n＝1时，a1＝1．
当n＝2时，，解得a2＝4．
（2）当n≥2时，②，
①﹣②得：＝n，
所以（适合）．
故．
（3）根据题意＝，
所以＝1﹣＜1，
当n＝1时，．
且函数为增函数，
所以∀n∈N*，＜1．
【点评】
本题主要考查数列的通项公式的求法及应用，考查裂项相消法在数列求和中的应用，考查函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力．
48．（2020·陕西咸阳市实验中学高二月考（理））已知数列满足,，求数列的通项公式和前项和为.
【答案】，.
【分析】
（1）时可得，时，已知式中用替换，得，两式相减可得，然后写出通项公式．验证是否相符．
（2），时，中从到的和用等比数列的前项和公式计算．验证是否相符．
【详解】
解: (1) 当时, ，解得；
当时,
两式相减得
综上得
（2）显然；
当时,
综上得
【点睛】
本题考查求数列的通项公式与前项和，求数列通项公式方法是类比已知求的方法，求和方法是分类讨论，分组求和．
49．（2020·湖北高二月考）已知数列中，，
（1）求证：是等比数列，并求的通项公式；
（2）数列中，，求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析，；（2）.
【分析】
（1）根据等比数列的定义证明，由等比数列通项公式可得；
（2）求出，用错位相减法求和．
【详解】
解：
（1），
，
，，
，
，
是以为首项，4为公比的等比数列，
，
∴．
（2），
①
②
得
【点睛】
本题考查等比数列的证明与通项公式，考查错位相减法求和．数列求和有几种常用方法：公式法，错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法，倒序相加法．
50．（2020·安徽高三月考（文））已知正项数列满足：，，.
（1）判断数列是否是等比数列，并说明理由；
（2）若，设，，求数列的前项和.
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）.
【分析】
（1）把已知等式左边因式分解，由数列为正项数列得，但需对讨论，，不是等比数列，否则是等比数列；
（2）由（1）求得，即可得，用分组求和法求和．
【详解】
解：（1）∵，
又是正项数列，可得，∴，
∴当时，数列不是等比数列；
当时，易知，故，
所以数列是等比数列，首项为，公比为2.
（2）由（1）知，，，
∴.
【点睛】
本题考查等比数列的判断，考查分组求和法，数列中由递推公式不能说明数列是等比数列，加上条件才可得是等比数列．
51．（2020·广东佛山一中高一月考）已知数列满足，，数列满足.
（1）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）数列的前项和为，设，求数列的前40项和.
【答案】（1）证明见解析，；（2）；（3）.
【分析】
（1）由题意，即可得，即可得数列是等差数列，进而可得其通项公式；
（2）由题意，利用错位相减法即可得解；
（3）由题意，利用分组求和法与等差数列前n项和公式即可得数列的前40项和.
【详解】
（1），，
，
，，
又，，
数列是首项为1，公差为的等差数列，；
（2）由（1）得，，
，
，
两式相减得
，
；
（3）由题意，，
数列的前40项和
，
数列的前40项和为.
【点睛】
本题考查了等差数列的证明及应用，考查了分组求和法与错位相减法求数列前n项和的应用，属于中档题.
52．（2020·重庆市云阳高级中学校高三月考）正项等差数列满足，且____________成等比数列，的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
在①，，②，，③，，，这三个条件中任选一个，补充在上面横线处，然后解答此题.
【答案】选择见解析；（1）；（2）.
【分析】
（1）若选①，则由已知解得或(舍)，选②由已知解得或(舍)，选③，由已知解得或(舍)，从而求得通项
（2）求出.得，利用裂项相消法求得结果.
【详解】
解：（1）设数列的公差为，若选①，则由已知得，化简得，，解得或(舍)，选②，则由已知得化简得，，解得或(舍)，若选③，则由已知得，化简得，，解得或(舍)，
所以（）
（2）因为.
所以，
所以
.
【点睛】
本题考查等差数列通项公式及裂项相消求和，属于基础题.
53．（2020·四川省绵阳第一中学高三开学考试）已知公差不为零的等差数列中，，且成等比数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）解方程组即得，即得数列的通项公式；（Ⅱ）利用裂项相消法求数列的前项和．
【详解】
（Ⅰ）由题意： ,
化简得，因为数列的公差不为零，，
故数列的通项公式为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
故数列的前项和．
【点睛】
本题主要考查等差数列通项的求法，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
54．（2020·天津耀华中学高三月考）已知数列满足:，，N*且≥.
（1）求证: 数列为等差数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）设，求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【分析】
（1）由递推式得，进而有，由等差数列定义即可证明为等差数列；（2）由（1）的结论即可求的通项公式；（3）根据新数列与关系得，用裂项相消法求的前项和.
【详解】
（1）证明：
又
∴数列是以首项为，公差为的等差数列
（2）由（1）得，
（3）解：
【点睛】
本题考查了根据递推关系证明等差数列，由所得数列求原数列的通项公式，最后由新数列与已知数列的关系求新数列通项，结合裂项相消法求新数列的前n项和.
55．（2020·吉林长春市实验中学高一期末（理））在等比数列中,,且,又的等比中项为16.
（1）求数列的通项公式:
（2）设,数列的前项和为,是否存在正整数,使得对任意恒成立.若存在,求出正整数的最小值;若不存在,请说明理由.
【答案】（1）（2）3.
【解析】
试题分析：
（1）由题意可得，又，故，由此可得等比数列的公比，因此可得．（2）由（1）得，所以，从而，求和可得，所以可得，故存在满足题意得，且的最小值为3．
试题解析：
（1）设等比数列的公比为，
∵的等比中项为16．
∴，
又，
，
∴，
∴．
（2）由（1）得，
∴数列为等差数列，且．
∴，
∴，
∴
，
∴，
∴存在满足题意得，且的最小值为3．
点睛：用裂项法求和的原则及规律
（1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
（2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项，消项后的剩余部分具有对称性．
四、填空题
56．（2020·安徽省太和第一中学高三月考（理））已知数列的前项和为，且，则数列的前项和______．
【答案】
【分析】
令，可得.由时得出是等比数列，求出后用错位相减法求得和．
【详解】
令，可得.
又由已知可得，当时，，
两式相减，,,又，∴，，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，所以，
所以，，
两式相减，得
，
得.
故答案为：．
【点睛】
本题考查由数列的前项求数列的通项公式，考查错位相减法求和，.属于中档题．错位相减法、裂项相消法、分组（并项）求和法、倒序相加法是数列求和的几种特殊方法．需掌握它们的应用．
57．（2020·全国高三月考（文））已知首项为1的数列的前项和为，若，则数列的前项和______.
【答案】
【分析】
根据求数列通项，分析时求解数列通项得到，整理可得，即可求出通项公式，代入数列的通项中进行列项整理，最后利用裂项相消法即可求出数列的前项和.
【详解】
∵，∴，
∴，
∴，即，
∴，
即，故，
则，
故.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了利用递推公式求解通项公式，考查了裂项相消法求和问题，属于中档题.
58．（2020·华东师范大学第三附属中学高一期末）已知等比数列的公比为，它的前项积为，且满足，，，给出以下四个命题：① ；② ；③ 为的最大值；④ 使成立的最大的正整数为4031；则其中正确命题的序号为________
【答案】②③
【分析】
利用等比数列的性质，可得，得出，进而判断②③④，即可得到答案.
【详解】
①中，由等比数列的公比为，且满足，，，
可得，所以，且 所以是错误的；
②中，由等比数列的性质，可得，所以是正确的；
③中，由，且，，所以前项之积的最大值为，所以是正确的；
④中，，
所以正确.
综上可得，正确命题的序号为②③.
故答案为：②③.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的性质的应用，其中解答中熟记等比数列的性质，合理推算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
59．（2020·安徽省太和中学高二期末（文））已知数列，的前项和分别为，，，且，则____．
【答案】
【解析】
所以
60．（2017·河南高二期末（文））已知数列满足则的最小值为__________.
【答案】
【分析】
先利用累加法求出an＝33+n2﹣n，所以，设f（n），由此能导出n＝5或6时f（n）有最小值．借此能得到的最小值．
【详解】
解：∵an+1﹣an＝2n，∴当n≥2时，an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2[1+2+…+（n﹣1）]+33＝n2﹣n+33
且对n＝1也适合，所以an＝n2﹣n+33．
从而
设f（n），令f′（n），
则f（n）在上是单调递增，在上是递减的，
因为n∈N+，所以当n＝5或6时f（n）有最小值．
又因为，，
所以的最小值为
故答案为
【点睛】
本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性．
专题十一 等差数列与等比数列
一、单选题
1．（2020·正阳县高级中学高二月考（理））已知数列的各项均为正数，，，若数列的前项和为5，则（ ）
A．119 B．121 C．120 D．122
【答案】C
【分析】
根据题设条件化简得到，结合等差数列的通项公式，求得，进而得到，结合裂项法，求得数列的前项和，列出方程，即可求解.
【详解】
由题意，数列的各项均为正数，，，
可得，所以数列是以4首项，公差为4的等差数列，
所以，可得，
又由，
前项和，
令，解得.
故选：C.
【点睛】
裂项求和的方法与注意点：
1、裂项相消法求和：把数列的通项公式拆成两项的差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得数列的前项和；
2、使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，且不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点.
2．已知为数列的前项和，且满足，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据数列前前项和的性质可得 由此可得结果.
【详解】
由题数列的前项和满足，则
故选C.
【点睛】
本题考查数列前前项和的性质，属基础题.
3．（2020·浙江高三开学考试）已知数列满足：，且，则下列说法错误的是（ ）
A．存在，使得为等差数列 B．当时，
C．当时， D．当时，是等比数列
【答案】C
【分析】
当，两边同时取倒数可得为等差数列；当时，，可知；
当时，求可判断；当时，求作比较即可.
【详解】
当，两边同时取倒数可得，，所以为等差数列，A正确；
当时，，，可知，B正确；
当时， ，C错误
当时，，D.正确.
故选:C
【点睛】
此题考查如何用递推关系判断数列相关性质，属于中档题.
4．（2020·全国高三专题练习（文））已知等差数列的前项和为，，，则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设等差数列的首项为，公差为.
∵，
∴
∴
∴，则
∴数列的前项和为
故选B.
点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
5．已知等差数列满足，，数列满足，记数列的前n项和为，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数t的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由等差数列基本量法求出通项公式，用裂项相消法求得，求出的最大值，然后利用关于的不等式是一次不等式列出满足的不等关系求得其范围．
【详解】
设等差数列公差为，则由已知得，解得，∴，
，
∴，
易知数列是递增数列，且，
∴若对于任意的，，不等式恒成立，即，又，∴，解得或．
故选：B．
【点睛】
本题考查求等差数列的通项公式，考查裂项相消法求数列的和，考查不等式恒成立问题，解题关键是掌握不等式恒成立问题的转化与化归思想，不等式恒成立首先转化为求数列的单调性与最值，其次转化为一次不等式恒成立．
6．（2017·马山县教师进修学校（马山县金伦中学）高三期末（文））已知数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意得， ，则 ，即 ，故选A.
7．（2020·江苏省镇江中学高三开学考试）已知函数的图象过点，令，记数列的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由，解得，可得，因此，利用裂项相消法即可求解．
【详解】
函数的图象过点，则，解得，得,
，
则，
故选：B．
【点睛】
本题考查幂函数的定义，考查累加求和方法的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
8．（2020·江苏高二单元测试）定义为个正数的“快乐数”.若已知正项数列的前项的“快乐数”为，则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据“快乐数”定义可得数列的前项和；利用与关系可求得数列的通项公式，从而得到，采用裂项相消法可求得结果.
【详解】
设为数列的前项和
由“快乐数”定义可知：，即
当时，
当且时，
经验证可知满足
数列的前项和为：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查根据求解数列的通项公式、裂项相消法求解数列的前项和；关键是能够准确理解“快乐数”的定义，得到；从而利用与的关系求解出数列的通项公式.
9．（2020·江苏高二单元测试）数列{an}满足a1=1，对任意n∈N*都有an+1=an+n+1，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题意可得n≥2时，an-an-1=n，再由数列的恒等式：an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1），运用等差数列的求和公式，可得an，求得==2（-），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和．
【详解】
解：数列{an}满足a1=1，对任意n∈N*都有an+1=an+n+1，
即有n≥2时，an-an-1=n，
可得an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）
=1+2+3+…+n=n（n+1），也满足上式
==2（-），
则=2（1-+-+…+-）
=2（1-）=．
故选B．
【点睛】
本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．
10．（2019·黑龙江哈师大青冈实验中学高二开学考试）已知等差数列的前项和为，则数列的前2019项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设等差数列的公差为，由，，可得，，联立解得，，可得．利用裂项求和方法即可得出．
【详解】
设等差数列的公差为，，，
，，
联立解得：，
．
．
则数列的前2019项和．
故选．
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查学生的转化能力和计算求解能力，属于中档题．
11．已知是公比为整数的等比数列，设，，且，记数列的前项和为，若，则的最小值为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】B
【分析】
设是公比为q，根据已知条件有求得，数列的前项和为即可求的最小值
【详解】
令是公比为q，由，
∴，又
即，又，知：
∵的前项和为，则
∴时，，
解得
故选：B
【点睛】
本题考查了数列，由数列的递推关系及已知条件求公比，进而根据新数列的前n项和及不等式条件求的最小值
12．（2020·四川省珙县中学高一月考）在数列中，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用累加法求得通项公式，
【详解】
由已知，，，，，
∴时，，
∴．
故选：A．
【点睛】
本题考查累加法求数列通项公式，考查裂项相消法求数列的和．已知，可用累加法求通项公式，已知可用累乘法求通项公式．
二、多选题
13．（2020·博兴县第三中学高三月考）记数列{an}的前n项和为Sn，若存在实数H，使得对任意的n∈N+，都有
B．若{an}是等差数列，且{an}是“和有界数列”，则公差d=0
C．若{an}是等比数列，且公比
【分析】
求出等差数列和等比数列的前项和，然后根据定义判断．
【详解】
是等差数列，公差为，则，
A．，则，若，则时，，{an}不是“和有界数列”，A错；
B．若{an}是“和有界数列”，则由知，即，B正确；
C．{an}是等比数列，公比是，则，若，则时，，根据极限的定义，一定存在，使得，对于任意成立，C正确；
D．若，，则，∴，{an}是“和有界数列”，D错．
故选：BC．
【点睛】
本题考查数列新定义，考查等差数列和等比数列的前项和公式及数列的极限，解题关键是正确理解新定义“和有界数列”，把问题转化为转化，考查了学生的转化与化归能力，逻辑思维能力．
第II卷（非选择题）
三、解答题
14．（2020·江苏南通·高三期中）已知等差数列的首项为，公差为，前n项的和为 ，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项的和为Tn，求Tn.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由，列出方程组，求得，即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）化简，结合裂项法，即可求解.
【详解】
（1）由题意,等差数列中，因为，
可得，因为，可得，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）可得，
所以.
【点睛】
裂项求和的方法与注意点：
1、把数列的通项公式拆成两项的差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得数列的前项和；
2、使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，且不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点.
15．（2020·咸阳市高新一中高三月考（理））已知数列是递增的等差数列，，若成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和，求.
【答案】（1）； （2）.
【分析】
（1）设等差数列的公差为，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解；
（2）由（1）求得，结合“裂项法”即可求解.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，
因为，若成等比数列，
可得，解得，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）可得，
所以.
【点睛】
关于数列的裂项法求和的基本策略：
1、基本步骤：
裂项：观察数列的通项，将通项拆成两项之差的形式；
累加：将数列裂项后的各项相加；
消项：将中间可以消去的项相互抵消，将剩余的有限项相加，得到数列的前项和.
2、消项的规律：
消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.
16．（2020·黑龙江哈尔滨三中高三期中（理））数列中，，.
（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为.求证：.
【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由，化简得到，根据等比数列的定义，得到数列为等比数列，进而求得.
（2）由（1）求得，结合裂项法，求得数列的前项和为，即可作出证明.
【详解】
（1）由题意，数列中，，，
可得，即，
又由，可得，所以是以2为首项2为公比的等比数列，
由等比数列的通项公式，可得，所以.
（2）由（1）可得，所以，
数列的前项和为
，
又因为，所以，所以，
即.
【点睛】
关于裂项法求和的基本策略：
1、基本步骤：
裂项：观察数列的通项，将通项拆成两项之差的形式；
累加：将数列裂项后的各项相加；
消项：将中间可以消去的项相互抵消，将剩余的有限项相加，得到数列的前项和.
2、消项的规律：
消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.
17．（2020·贵州省思南中学高三期中（文））等比数列中，，且2，，成等差数列，
（1）求的通项公式；
（2）数列满足，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）设数列的公比为，由题意可得，且，即可得到关于q的二次方程，即可求出q的值，代入公式，即可求得的通项公式；
（2）根据题意，利用等差数列前n项和公式，即可求出，进而可求得的表达式，利用裂项相消求和法，即可求得.
【详解】
（1）设数列的公比为，
因为2，，成等差数列，
所以，即，
又，所以，
解得或（舍），
所以.
（2）因为，
所以，则，
所以
.
【点睛】
本题考查等差中项、等差数列前n项和的应用，等比数列通项公式的求法，裂项相消法求和等知识，关键点在于仔细审题，根据题中条件及等差、等比数列的公式，进行求解，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.
18．（2020·湖南高三月考）设数列的前项和为，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，，，，组成一个项的等差数列，记其公差为，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）时，,两式相减得，数列是首项为，公比为的等比数列，求得 .
（2），代入得，利用错位相减法求和得解.
【详解】
（1）因为 所以，当时，
两式相减得，，即当时，
又当时，，而，则，满足上式，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以 .
（2）依题意可知，，
由（1）得，，即，
则，
，
两式相减得，
即，
所以，
【点睛】
本题考查利用与求通项及利用错位相减法求和，属于基础题.
19．（2020·陕西高二月考）已知等差数列的前n项和为，的通项公式为．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ），.
【分析】
（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为d，结合已知条件求、d，进而得到通项公式；
（Ⅱ）由已知有，利用错位相减法，求前n项和.
【详解】
（Ⅰ）设等差数列的公差为d，
由，可得．①
由，可得．②
联立①②，解得，，
等差数列的通项公式为，．
（Ⅱ）由，有，
故，
，
上述两式相减，得
．
∴．
【点睛】
本题考查了数列，利用已知条件求通项公式基本量，进而求得通项公式，应用错位相减法求前n项和，属于基础题.
20．（2020·天津高三其他模拟）已知数列的前项和为，，数列为等比数列，且，分别为数列第二项和第三项.
（1）求数列与数列的通项公式；
（2）若数列，求数列的前项和.
【答案】（1）;，（2）
【分析】
（1）由数列的通项和的关系，求得数列的通项公式，再结合等比数列的通项公式，联立方程组，求得数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式，得到答案.
（2）由（1）可得，利用 “裂项法”和“乘公比错位相减法”，即可求解数列的前项和，得到答案.
【详解】
（1）由题意，数列的前项和为，
当时，
当时∴，
当时也满足上式
所以数列的通项公式为.
设数列的首项为，公比为，则，
∴，，∴，.
（2）由（1）可得，所以
设前项和为成，前项和为，
∴
∴，
∵
∴
∴
【点睛】
本题主要考查了等差、等比数列的通项公式的求解，以及“裂项法”和“乘公比错位相减法”求解数列的前项和，其中解答中熟记数列的通项和的关系，熟练应用“裂项法”和“乘公比错位相减法”，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
21．（2020·重庆高二月考）已知数列，，为数列的前项和，，，
.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明为等差数列.
（3）若数列的通项公式为，令.为的前项的和，求.
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【详解】
试题分析：（1）根据题意得到两式作差得到，根据等比数列的公式得到；（2）由题意得到，可得是公差为，首项为的等差数列. （3）由，由错位相减得到数列之和.
解析：
（1）当时，
当时， ，
综上，是公比为，首项为的等比数列，.
（2），，，
综上，是公差为，首项为的等差数列.
（3）由（2）知：
两式相减得：
，.
点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.
22．（2020·重庆市第三十七中学校高二月考）已知数列的前项和为，且满足
（1）求数列的通项公式；
（2）设，令，求.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据数列的递推关系式，化简得，再结合等比数列的定义，即可求得其通项公式；
（2）由（1）代入求得，得到，利用“裂项法”，即可求解.
【详解】
（1）由，得，
则当时，，得
当时，，
整理得
所以是等比数列，且公比为，首项，
所以，即数列的通项公式.
（2）由（1）及，可得
所以，可得，
所以.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的定义及通项公式的求解，以及“裂项法”求和的应用，其中解答中熟练利用数列的递推关系式和等比数列的定义，以及合理利用“裂项法”是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
23．（2020·海原县第一中学高二月考）已知等差数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
【答案】（1）； （2）.
【分析】
（1）由，列出方程组，求得，即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）求得，结合“裂项法”求和，即可求解.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，
因为，可得，解得，
所以数列的通项公式.
（2）由（1）知，
可得，
所以数列的前项和：
.
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，以及“裂项法”求和的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前项和公式，以及合理利用“裂项法”求和是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
24．（2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二开学考试（理））已知数列满足，.
（1）证明是等比数列，并求的通项公式；
（2）若数列满足，为数列的前项和，求.
【答案】（1）证明见解析；；（2）.
【分析】
（1）由递推关系直接构造新的等比递推关系，进而求出数列的通项公式.
（2）先用（1）的结论，再用错位相减法求出数列的和.
【详解】
（1）数列满足，，
整理得，（常数），
所以是以3为首项，公比为3的等比数列
，得.
（2）数列满足，
所以数列的通项公式为，
所以①，
②，
①②得：，
整理得.
【点睛】
本题考查数列的通项公式求法，错位相减法求和，同时考查式的运算能力，属于基础题.
25．（2019·广东高二期末（文））已知数列是等比数列，首项，公比，其前项和为，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2).
【解析】
试题分析：
（1）由题意可得，整理计算有：，据此可得数列的公比为，通项公式.
（2）结合（1）的结果知， 其通项公式为等差数列与等比数列相乘的形式，错位相减可得前n项和为.
试题解析：
（1）因为，，成等差数列，
所以，
所以，
所以，因为数列是等比数列，所以，
又，所以，所以数列的通项公式.
（2）由（1）知，
，
，
所以
.
故.
点睛：一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．
26．（2020·苏州市相城区望亭中学高二月考）已知等差数列的公差d大于0，且满足，．数列满足．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求取得最大值时的值．
【答案】（1），；（2）．
【分析】
（1）列方程解出和，得通项公式，由已知式，写出，相减后可求得，同时注意；
（2）作商比较，得的单调性，从而可得最大值．
【详解】
（1）由题意，∵，∴可解得，
∴，
又由已知，
由式得时有式，
两式相减得，，＝1不适用，
∴．
（2），则，
∵，∴时，，是递增数列，时，，是递减数列，
∴是最大，时，最大．
【点睛】
本题考查等差数列、等比数列的通项公式，通项公式不能用一个式子表示时要写成分段函数形式，考查数列的单调性，作商比较是确定数列单调性的常用方法．
27．（2020·四川省珙县中学高一月考）已知等差数列的首项为1，公差，且是与的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由题设条件，结合等差数列的通项公式，得到，求得，即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）知，求得，结合“裂项法”，即可求解.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，且，
因为是与的等比中项，所以，即，
又由，即，整理得，解得或，
因为，所以.
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，
所以，
所以.
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式的求解，等比中项公式的应用，以及“裂项法”求和，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式，以及熟练应用“裂项法”求和是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
28．（2020·湖北沙市中学高二期末）已知等差数列{an}满足a1+a4+a7＝0，a3+a6+a9＝﹣18，前n项和为Sn．
（1）求S9
（2）记bn＝|an|，求数列{bn}的前9项和T9．
【答案】（1）27（2）63
【分析】
(1)根据等差数列的等和性与基本量法求解即可.
(2)根据(1)中,再去绝对值分析与的关系计算即可.
【详解】
（1）等差数列{an}满足a1+a4+a7＝0,a3+a6+a9＝﹣18,
可得3a4＝0,即a4＝0,3a6＝﹣18,即a6＝6,
可得公差d3,a1＝a4﹣3d＝﹣9,
则S9＝9×（﹣9）9×8×3＝27；
（2）bn＝|an|＝|﹣9+3（n﹣1）|＝|3n﹣12|,n≤4时,an≤0,n≥5时,an＞0,
可得T9＝S9﹣S4﹣S4＝27﹣2（﹣36+6×3）＝63．
【点睛】
本题主要考查了根据等差数列的性质与基本量法求解等差数列前项和的问题.同时也考查了带绝对值的等差数列的求和问题,需要分绝对值中的正负去绝对值,属于基础题.
29．（2020·石嘴山市第三中学高三月考（文））已知等比数列是首项为的递减数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
(1)由已知等式结合通项公式解出公比，再结合递减数列取舍，即可得数列的通项公式.
(2)用错位相减法求和.
【详解】
（1）由，得，解得或.
数列为递减数列，且首项为，.
.
（2），
.
两式相减得
，
.
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式，错位相减法求数列的和.若数列满足且，分别是等差数列和等比数列，则可以用错位相减法求数列的前项和.
30．（2020·霍邱县第二中学高一月考）等比数列的各项均为正数，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设 ，求数列的前项和.
【答案】（1） （2）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）设出等比数列的公比q，由，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式代入设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到bn的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{}的前n项和
试题解析：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q,由＝9a2a6得＝9,所以q2＝．
由条件可知q＞0,故q＝．由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1,所以a1＝．
故数列{an}的通项公式为an＝．
（Ⅱ）bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－．
故．
所以数列的前n项和为
考点：等比数列的通项公式；数列的求和
31．（2020·全国高二月考（理））设数列的前项和为，，且对任意正整数，点都在直线上.
（1）求的通项公式；
（2）若，求的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由在上有递推式，即可得，说明此等量关系在上都成立，则可求的通项公式；（2）结合（1）知，利用错位相减法求的前项和.
【详解】
（1）由点在直线上，有，
当时，，
两式相减得，即，，
又当时，而，解得，满足，
即是首项，公比的等比数列，
∴的通项公式为.
（2）由（1）知，，则
，
.
两式相减得
所以.
【点睛】
本题考查了应用与的递推关系求通项公式，由新数列与已知数列关系求通项，再利用错位相减法求前n项和.
32．（2020·陕西西安中学高二月考（理））已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设时，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由得出的递推式，得其从第二项起等比数列，从而可得通项公式；
（2）求出，用裂项相消法求．
【详解】
（1）由已知得得到．
∴数列是以为首项，以为公比的等比数列．又，
．
又不适合上式，
（2）．．
．
【点睛】
本题考查由与的关系求通项公式，考查裂项相消法求和．由与的关系求通项公式，一般都是利用得出的递推式，变形过程中要注意结果对是否适用．
33．（2020·江苏高二期中）已知数列的前n项和为，，，.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设数列的前n项和为，已知，若不等式对于恒成立，求实数m的最大值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）利用可得数列的递推关系，，然后可证明是等比数列；
（2）由（1）求出，即得，利用错位相减法求得，不等式对于恒成立，转化为恒成立，求出的最小值即可得结论．
【详解】
（1）由，
得（），
两式相减得，所以（），
因为，所以，，.
所以是以1为首项，2为公比的等比数列.
（2）由，又由（1）可知，得，
∴，则，
两式相减得，
所以.
由恒成立，即恒成立，
又，
故当时，单调递减；当时，；
当时，单调递增；当时，；
则的最小值为，所以实数m的最大值是.
【点睛】
本题考查由求，考查等比数列的证明，等比数列的通项公式，考查错位相减法求和以及数列不等式恒成立问题．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题．
34．（2020·长沙市湖南师大第二附属中学有限公司高三月考）已知等差数列的前项和为，数列为正项等比数列，且，，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，设的前项和为，求.
【答案】（1），.（2）
【分析】
（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）由a1＝3，an＝2n+1得Sn＝n（n+2）．则n为奇数，cn．“分组求和”，利用“裂项求和”、等比数列的前n项和公式即可得出．
【详解】
（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
∵，，，，∴
∴或，且是正项等比数列，
∴，，
∴，.
（2）由（1）知
∴
∴
=
=.
【点睛】
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“分组求和”、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
35．（2020·江苏省江阴市第一中学高二期中）设数列的前项和为，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：，的前项和为，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由得：，两式相减可得的递推关系，从而证明是等比数列，得其通项公式；
（2）求出，由等差数列的前项和公式得，然后用裂项相消法求和．
【详解】
解：（1）由得：，
相减得，，.
又，即，可得数列.
是以1为首项3为公比的等比数列，.
.
（2）由（1）知，，.
则，.
【点睛】
本题考查求等比数列的通项公式，考查由求的方法，考查等差数列的前项和公式，考查裂项相消法求数列的和．错位相减法、裂项相消法、分组（并项）求和法、倒序相加法是数列求得的几种特殊方法，需记住它们的应用的条件．
36．（2020·山西省长治市第二中学校高三月考（理））已知等差数列的前项和为，，，数列满足，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）()；()；（2）().
【分析】
（1）根据等差数列的通项公式、前n项和公式，结合已知条件求、即可得通项公式，由数列的递推式得及，即可得的通项公式；（2）根据（1）所得通项公式，应用错位相减法求其前项和.
【详解】
（1）数列的首项为，公差为，
由题意: ，解得：，
，，
又，所以，；
（2）由（1）知：
，
，
，
，
的表达式为.
【点睛】
本题考查了数列，根据等差数列的公式、累乘法求数列通项公式，并应用错位相减法求数列前n项和，属于基础题.
37．（2020·武威第六中学高三月考（文））已知数列的前项和为，且，正项等比数列满足，.
（1）求数列与的通项公式；
（2）设，求数列前项和.
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）由即可求通项公式，再结合已知求的通项公式；（2）根据（1）的结论有，应用错位相减法求前项和即可.
【详解】
（1）当时，.
当时，也适合上式，
∴，即有，.
设数列的公比为，则，又，有，
∴.
（2）由（1）可知，，
所以.……①
.……②
由①-②得，，
所以.
【点睛】
本题考查了由的关系求通项公式，利用错位相减法求前项和，等比数列基本量公比、前n项和公式的应用，属于基础题.
38．已知数列、满足：，为等比数列，且，，.
（1）试判断数列是否为等差数列，并说明理由；
（2）求数列的前n项和.
【答案】（1）数列不是等差数列，理由见解析；（2）
【分析】
（1）由已知首先求出，由为等比数列，求得，可判断数列是否为等差数列；
（2）由（1）可得可求得数列的通项公式，用累加法求得，然后再用分组求和法求得和．
【详解】
解：（1）数列不是等差数列
理由如下：
由，且，，得：
所以 又因为数列为等比数列，
所以可知数列的首项为4，公比为2.
所以，∴
显然
故数列不是等差数列
（2）结合（1）知，等比数列的首项为4，公比为2.
故， 所以
因为，，，∴
∴（）
令，…，
累加得
∴
又满足上式 ， ∴
所以
．
【点睛】
本题考查等差数列的判断，考查累加法求通项公式，分组求和法，掌握等差等比数列的通项公式和前项和公式是解题基础．
39．（2018·江西省信丰中学高二月考（文））数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n(n+1)(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足：，求数列{bn}的通项公式；
(3)令(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Tn.
【答案】（1） ；(2);（3） .
【分析】
（1）数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n（n+1）（n∈N*），n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1．n=1时，a1=S1=2，即可得出;（2）数列{bn}满足：an=，可得n≥2时，an﹣an﹣1==2．n=1时，=a1=2，可得b1;（3）cn===n•3n+n，令数列{n•3n}的前n项和为An，利用错位相减法即可得出An．进而得出数列{cn}的前n项和Tn．
【详解】
（1）∵数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n（n+1）（n∈N*），
∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n（n+1）﹣n（n﹣1）=2n．
n=1时，a1=S1=2，对于上式也成立．
∴an=2n．
（2）数列{bn}满足：an=+++…+，∴n≥2时，an﹣an﹣1==2．
∴bn=2（3n+1）．
n=1时，=a1=2，可得b1=8，对于上式也成立．
∴bn=2（3n+1）．
（3）cn===n•3n+n，
令数列{n•3n}的前n项和为An，则An=3+2×32+3×33+…+n•3n，
∴3An=32+2×33+…+（n﹣1）•3n+n•3n+1，
∴﹣2An=3+32+…+3n﹣n•3n+1=﹣n•3n+1，
可得An=．
∴数列{cn}的前n项和Tn=+．
【点睛】
本题考查了数列递推关系、错位相减法、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.
40．已知数列的前项和为，且与的等差中项是，，函数.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，记数列的前项和为，试比较与的大小.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【分析】
（1）由已知得，用代换得，两式相减得数列是等比数列，可得通项公式；
（2）求出，然后用裂项相消法求得和，然后可得只要比较与312的大小即可．由此易得大小关系．
【详解】
（1）∵与的等差中项是，故，成等差数列.∴，①
当时，，②，①-②，得，
∴.∴.当时，由①得，∴.∴.
∴是以1为首项，3为公比的等比数列.∴.
（2）∵，∴.
∴.
∴
.比较与的大小，只需比较与312的大小即可.
.∵，
∴当且时，，即；
当时，，即；
当且时，，即.
【点睛】
本题考查求等差数列的通项公式，考查裂项相消法求数列的和，错位相减法、裂项相消法、分组（并项）求和法，倒序相加法是数列的几种重要方法，需掌握．
41．（2020·河北高三月考）已知数列满足，.
（1）求证数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，证明：.
【答案】（1）证明见解析；；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由递推关系整理得：得证，进一步得通项公式；
（2）裂项求和可证.
【详解】
（1）由题，两边同时除以，得，
又，∴是首项为，公差为的等差数列，
∴，∴.
（2）由（1）.
∴.
∵，∴，即.
【点睛】
由递推关系变式寻找一个相关数列成等差或等比数列，进而得出所要求的数列的通项公式也是求数列通项的常用方法；裂项求和是数列求和的基本方法.
42．（2020·安徽高一期末（理））已知等差数列满足，，数列的前项和为满足.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）若，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）根据题设条件，列出方程组求得的值，即可得到得出数列的通项公式，再利用数列的递推关系，得到数列是首项为1，公比为2的等比数列，即可求出数列的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，利用乘公比错位相减法，即可求解．
【详解】
（Ⅰ）设等差数列的公差为，
因为，，可得，解得，
所以，
对于数列，当时，，解得.
当时，，，
两式相减，得，即，
所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得.
令，
当时，.
当时，，
则.
两式相减，得
，
得，而时也符合该式，所以，
故题中不等式可化为.（*），
当时，不等式（*）可化为，解得；
当时，不等式（*）可化为，此时；
当时，不等式（*）可化为，因为数列是递增数列，所以，
综上，实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.
43．设是数列的前n项和，已知，
⑴求数列的通项公式；
⑵设，求数列的前项和．
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）利用可证得数列为等比数列，从而可求得通项公式；（2）通过（1）可得，分为为奇数和为偶数两种情况分别求出.
【详解】
（1）因为，所以当时，
两式相减得， 所以
当时，，，则
所以数列为首项为，公比为的等比数列， 故
（2）由（1）可得
所以
故当为奇数时，
当为偶数时，
综上
【点睛】
本题考查等比数列通项公式的求解、数列前项和的求解问题，在解决含的数列求和的问题时，要注意进行为奇数和偶数两种情况的讨论.
44．（2020·贵州高三其他模拟（理））已知数列是公差不为0的等差数列，首项，且成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据条件“成等比数列”列关于公差的方程，解得结果，（2）根据分组求和法，将原数列的和分为等差与等比数列的和.
【详解】
(1)设数列{an}的公差为d，由已知得，a＝a1a4，
即(1＋d)2＝1＋3d，解得d＝0或d＝1.
又d≠0，∴d＝1，可得an＝n.
(2)由(1)得bn＝n＋2n，
∴Tn＝(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋…＋(n＋2n)
＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(2＋22＋23＋…＋2n)＝＋2n＋1－2.
【点睛】
本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和. 分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如 ），符号型（如 ），周期型 （如 ）
45．已知等差数列 满足：，且 ，， 成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 为数列 的前 项和，是否存在正整数 ，使得 ？若存在，求 的最小值；若不存在，说明理由.
【答案】(1) 通项公式为 或;(2) 当 时，不存在满足题意的正整数 ；当 时，存在满足题意的正整数 ，其最小值为.
【详解】
（1）依题意，成等比数列，
故有，
∴，解得或.
∴或.
（2）当 时，不存在满足题意的正整数 ；
当，∴.
令，即，
解得或（舍去），
∴最小正整数.
46．（2017·江西高二期末（文））在等差数列中，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若成等比数列，求数列的前项和.
【答案】(1) 或;(2) .
【解析】
试题分析：（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为，列方程组求出，由此求得数列的通项公式；（2）根据第一问的结论和成等比数列，判断，化简，这是等差数列乘以等比数列，用错位相减法求其前项和.
试题解析：
（1）
得到，解得或
当时：，此时；
当时，，此时；
或
（2）由成等比数列，可知
则
两式相减得到
故
47．（2020·黑龙江哈师大青冈实验中学高二开学考试）已知数列{an}满足，a1+．
（1）求a1，a2的值
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设bn＝，数列{bn}的前n项和为Sn，求证：∀n∈N*，＜1．
【答案】（1）a1＝1．a2＝4；（2）；（3）证明见解析.
【分析】
（1）直接利用递推关系式求出结果；
（2）a1+①，当n≥2时，②，两式相减即可求出数列的通项公式；
（3）根据题意＝，利用裂项相消法在数列求和中的应用和放缩法的应用求出结果．
【详解】
（1）数列{an}满足，a1+①．
当n＝1时，a1＝1．
当n＝2时，，解得a2＝4．
（2）当n≥2时，②，
①﹣②得：＝n，
所以（适合）．
故．
（3）根据题意＝，
所以＝1﹣＜1，
当n＝1时，．
且函数为增函数，
所以∀n∈N*，＜1．
【点评】
本题主要考查数列的通项公式的求法及应用，考查裂项相消法在数列求和中的应用，考查函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力．
48．（2020·陕西咸阳市实验中学高二月考（理））已知数列满足,，求数列的通项公式和前项和为.
【答案】，.
【分析】
（1）时可得，时，已知式中用替换，得，两式相减可得，然后写出通项公式．验证是否相符．
（2），时，中从到的和用等比数列的前项和公式计算．验证是否相符．
【详解】
解: (1) 当时, ，解得；
当时,
两式相减得
综上得
（2）显然；
当时,
综上得
【点睛】
本题考查求数列的通项公式与前项和，求数列通项公式方法是类比已知求的方法，求和方法是分类讨论，分组求和．
49．（2020·湖北高二月考）已知数列中，，
（1）求证：是等比数列，并求的通项公式；
（2）数列中，，求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析，；（2）.
【分析】
（1）根据等比数列的定义证明，由等比数列通项公式可得；
（2）求出，用错位相减法求和．
【详解】
解：
（1），
，
，，
，
，
是以为首项，4为公比的等比数列，
，
∴．
（2），
①
②
得
【点睛】
本题考查等比数列的证明与通项公式，考查错位相减法求和．数列求和有几种常用方法：公式法，错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法，倒序相加法．
50．（2020·安徽高三月考（文））已知正项数列满足：，，.
（1）判断数列是否是等比数列，并说明理由；
（2）若，设，，求数列的前项和.
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）.
【分析】
（1）把已知等式左边因式分解，由数列为正项数列得，但需对讨论，，不是等比数列，否则是等比数列；
（2）由（1）求得，即可得，用分组求和法求和．
【详解】
解：（1）∵，
又是正项数列，可得，∴，
∴当时，数列不是等比数列；
当时，易知，故，
所以数列是等比数列，首项为，公比为2.
（2）由（1）知，，，
∴.
【点睛】
本题考查等比数列的判断，考查分组求和法，数列中由递推公式不能说明数列是等比数列，加上条件才可得是等比数列．
51．（2020·广东佛山一中高一月考）已知数列满足，，数列满足.
（1）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）数列的前项和为，设，求数列的前40项和.
【答案】（1）证明见解析，；（2）；（3）.
【分析】
（1）由题意，即可得，即可得数列是等差数列，进而可得其通项公式；
（2）由题意，利用错位相减法即可得解；
（3）由题意，利用分组求和法与等差数列前n项和公式即可得数列的前40项和.
【详解】
（1），，
，
，，
又，，
数列是首项为1，公差为的等差数列，；
（2）由（1）得，，
，
，
两式相减得
，
；
（3）由题意，，
数列的前40项和
，
数列的前40项和为.
【点睛】
本题考查了等差数列的证明及应用，考查了分组求和法与错位相减法求数列前n项和的应用，属于中档题.
52．（2020·重庆市云阳高级中学校高三月考）正项等差数列满足，且____________成等比数列，的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
在①，，②，，③，，，这三个条件中任选一个，补充在上面横线处，然后解答此题.
【答案】选择见解析；（1）；（2）.
【分析】
（1）若选①，则由已知解得或(舍)，选②由已知解得或(舍)，选③，由已知解得或(舍)，从而求得通项
（2）求出.得，利用裂项相消法求得结果.
【详解】
解：（1）设数列的公差为，若选①，则由已知得，化简得，，解得或(舍)，选②，则由已知得化简得，，解得或(舍)，若选③，则由已知得，化简得，，解得或(舍)，
所以（）
（2）因为.
所以，
所以
.
【点睛】
本题考查等差数列通项公式及裂项相消求和，属于基础题.
53．（2020·四川省绵阳第一中学高三开学考试）已知公差不为零的等差数列中，，且成等比数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）解方程组即得，即得数列的通项公式；（Ⅱ）利用裂项相消法求数列的前项和．
【详解】
（Ⅰ）由题意： ,
化简得，因为数列的公差不为零，，
故数列的通项公式为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
故数列的前项和．
【点睛】
本题主要考查等差数列通项的求法，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
54．（2020·天津耀华中学高三月考）已知数列满足:，，N*且≥.
（1）求证: 数列为等差数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）设，求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【分析】
（1）由递推式得，进而有，由等差数列定义即可证明为等差数列；（2）由（1）的结论即可求的通项公式；（3）根据新数列与关系得，用裂项相消法求的前项和.
【详解】
（1）证明：
又
∴数列是以首项为，公差为的等差数列
（2）由（1）得，
（3）解：
【点睛】
本题考查了根据递推关系证明等差数列，由所得数列求原数列的通项公式，最后由新数列与已知数列的关系求新数列通项，结合裂项相消法求新数列的前n项和.
55．（2020·吉林长春市实验中学高一期末（理））在等比数列中,,且,又的等比中项为16.
（1）求数列的通项公式:
（2）设,数列的前项和为,是否存在正整数,使得对任意恒成立.若存在,求出正整数的最小值;若不存在,请说明理由.
【答案】（1）（2）3.
【解析】
试题分析：
（1）由题意可得，又，故，由此可得等比数列的公比，因此可得．（2）由（1）得，所以，从而，求和可得，所以可得，故存在满足题意得，且的最小值为3．
试题解析：
（1）设等比数列的公比为，
∵的等比中项为16．
∴，
又，
，
∴，
∴．
（2）由（1）得，
∴数列为等差数列，且．
∴，
∴，
∴
，
∴，
∴存在满足题意得，且的最小值为3．
点睛：用裂项法求和的原则及规律
（1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
（2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项，消项后的剩余部分具有对称性．
四、填空题
56．（2020·安徽省太和第一中学高三月考（理））已知数列的前项和为，且，则数列的前项和______．
【答案】
【分析】
令，可得.由时得出是等比数列，求出后用错位相减法求得和．
【详解】
令，可得.
又由已知可得，当时，，
两式相减，,,又，∴，，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，所以，
所以，，
两式相减，得
，
得.
故答案为：．
【点睛】
本题考查由数列的前项求数列的通项公式，考查错位相减法求和，.属于中档题．错位相减法、裂项相消法、分组（并项）求和法、倒序相加法是数列求和的几种特殊方法．需掌握它们的应用．
57．（2020·全国高三月考（文））已知首项为1的数列的前项和为，若，则数列的前项和______.
【答案】
【分析】
根据求数列通项，分析时求解数列通项得到，整理可得，即可求出通项公式，代入数列的通项中进行列项整理，最后利用裂项相消法即可求出数列的前项和.
【详解】
∵，∴，
∴，
∴，即，
∴，
即，故，
则，
故.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了利用递推公式求解通项公式，考查了裂项相消法求和问题，属于中档题.
58．（2020·华东师范大学第三附属中学高一期末）已知等比数列的公比为，它的前项积为，且满足，，，给出以下四个命题：① ；② ；③ 为的最大值；④ 使成立的最大的正整数为4031；则其中正确命题的序号为________
【答案】②③
【分析】
利用等比数列的性质，可得，得出，进而判断②③④，即可得到答案.
【详解】
①中，由等比数列的公比为，且满足，，，
可得，所以，且 所以是错误的；
②中，由等比数列的性质，可得，所以是正确的；
③中，由，且，，所以前项之积的最大值为，所以是正确的；
④中，，
所以正确.
综上可得，正确命题的序号为②③.
故答案为：②③.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的性质的应用，其中解答中熟记等比数列的性质，合理推算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
59．（2020·安徽省太和中学高二期末（文））已知数列，的前项和分别为，，，且，则____．
【答案】
【解析】
所以
60．（2017·河南高二期末（文））已知数列满足则的最小值为__________.
【答案】
【分析】
先利用累加法求出an＝33+n2﹣n，所以，设f（n），由此能导出n＝5或6时f（n）有最小值．借此能得到的最小值．
【详解】
解：∵an+1﹣an＝2n，∴当n≥2时，an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2[1+2+…+（n﹣1）]+33＝n2﹣n+33
且对n＝1也适合，所以an＝n2﹣n+33．
从而
设f（n），令f′（n），
则f（n）在上是单调递增，在上是递减的，
因为n∈N+，所以当n＝5或6时f（n）有最小值．
又因为，，
所以的最小值为
故答案为
【点睛】
本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性．
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