初一数学.春.直升班.教师版.第13讲 一次函数和几何综合（一）

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第十三讲
一次函数和几何综合（一）
模块一 直线与坐标轴围成的面积
模块二 割补思想和铅锤法
模块三 一次函数和全等综合
模块一：直线与坐标轴围成的面积
1．一条直线和坐标轴围成的面积
（1）求一次函数和坐标轴的交点坐标，即和；
（2）直线和坐标轴围成的面积：．
2．两条直线和坐标轴围成的面积
（1）求两个一次函数的交点，联立方程组，解方程组；
（2）求直线和x轴或y轴的交点，进行面积求解．
模块二：几何中的割补思想和铅锤法
对于平面直角坐标系下的任意图形的面积，都可以采用割补思想。遇到一个比较难处理或不能直接处理的图形的面积，不妨尝试割补，让图像变得规则能够对面积间接的进行求解．
铅锤法：
（1）求三个一次函数两两的交点坐标，联立方程组，解方程组；
（2）铅垂法求三角形面积：．
（实际上铅垂线法也是割补法的一种）
模块三：一次函数和全等综合
模块一
直线与坐标轴围成的面积
（1）求一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标，并求出该一次函数与两坐标轴围成三角形的面积．
（2）已知一次函数的图象与x轴、y轴围成的三角形面积为15，则此一次函数解析式为____________．
（1）设该一次函数与x轴的交点为A，与y轴的交点为B．
令，得，解得，故，；
令，得，故，．
则．
（2）或．
【教师备课提示】这道题主要考查一条直线和坐标轴围成的图形面积：
（1）求一次函数和坐标轴的交点坐标，即和；
（2）直线和坐标轴围成的面积：．
（1）已知两直线和，则它们与y轴所围成的三角形的面积是_____
_____，与x轴围成的三角形面积是__________．
（2）已知直线经过点与点，另一条直线经过点B，且与x轴相交于点．
= 1 \* GB3 ①求直线的解析式；
= 2 \* GB3 ②若的面积为3，求m的值．
（1）3，4；（2） = 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②或．
【教师备课提示】这道题主要考查两条直线和坐标轴围成的图形面积：
求两个一次函数的交点，联立方程组，解方程组；
求直线和x轴或y轴的交点，进行面积求解．
直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，另一条直线过点，且把分成两部分．
（1）若被分成的两部分面积相等，求k和b的值；
（2）若被分成的两部分面积之比为，求k和b的值．
（1）∵、，
∴，，
∴C为OA的中点．，
将和代入，
得，；
（2）本题有两种情形：
过点C作直线交AB于点，或作直线交y轴于点．
∵，
∴，
又∵，
∴点、的纵坐标都为，
易得、．
把和的坐标代入，求得，；
将和的坐标代入，求得，．
【教师备课提示】这道题主要考查分面积比例的问题．
模块二
割补思想和铅锤法
（1）如图4-1，在平面直角坐标系中，四边形各顶点坐标分别为，，，．则四边形ABCD的面积为__________．
（2）如图4-2，在平面直角坐标系中，三角形各顶点坐标分别为，，，则的面积是__________．
图4-1 图4-2
（1）答案：10．过A、C点作x轴垂线，垂足分别为E、F．（“割”）
（2）答案：12．过B、C点作x轴垂线，垂足分别为D、E．（“补”）
则.
【教师备课提示】割补思想：割（割成梯形、三角形）；补（补成矩形、直角梯形）．
（1）如图5-1，已知一次函数的图象经过，两点，则的面积为________.
（2）如图5-2，三个顶点的坐标分别为，，，则三角形的面积为__________．

图5-1 图5-2
（3）已知直线，，，与交于点A，与交于点B，与交于点C，则的面积为__________．
（1）答案：14．使用铅锤法，可以以O点出发（OB为铅锤高），可以以C点出发（作平行于x轴的水平宽），还可以以A点出发（作平行与x轴或y轴的直线，与OC或CO的延长线交于一点，再使用铅锤法），最后一种情况需要讲一下．
（2）铅垂线法得：．
（3）铅垂线法得：12．
【教师备课提示】这道题主要考查三条直线围成的图形面积：
（1）求三个一次函数两两的交点坐标，联立方程组，解方程组；
（2）铅垂法求三角形面积：；
一定要让学生理解并学会灵活运用铅锤法．
如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰，，如果在第二象限内有一点，且的面积与的面积相等，求a的值．
由题意得，，
令，得，解得，故；
令，得，故．∴，，
由勾股定理得，，∴.
法一（割补法）：连PO，，，，
由，得，解得．
法二：（铅锤法）：
思路：可以过P点作x轴平行线（水平宽），求的面积；
可以过P点作y轴平行线，交AB延长线于点D，再运用铅锤法．
【教师备课提示】这道题主要考查含参的面积的计算：（1）这道题注意参数的取值范围，第二象限的点，a值为负数；（2）这道题在解法上也可以采用铅锤法，通过总结发现当我们遇到有动点时一般考虑的是过动点去作铅锤线．
教师备选
在平面直角坐标系中，若四边形ABCD各顶点的坐标已知，探究四边形ABCD面积的求解方法（给出辅助线和思路即可）．
思路：可以割（铅锤法），可以补.
此题方法很多：①分四为三，连接AC，再运用铅锤法；
②分割成四个三角形和一个矩形；
③补成一个大的矩形等等．
【教师备课提示】这道题主要是让学生们开动脑筋，对割补思想更加理解，对铅锤法的运用更加熟悉．
模块三
一次函数和全等综合
（武侯区期末压轴）如图7-1所示，直线AB交x轴于点，交y轴于点．
（1）如图，若C的坐标为，且于点H，AH交OB于点P，试求点P的坐标；
（2）在（1）的条件下，如图7-2，连接OH，求证：；
（3）如图7-3，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连结MD，过点D作交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变，如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
图7-1 图7-2 图7-3
（1）由题意得，．∵于H，
∴，
∴．
在与中，
∴，
∴，则.
（2）过O分别做于M点，于N点，
在四边形OMHN中，，
∴.
在与中，
∴，
，∴HO平分，
∴；
（3）．连接OD，则，
，，∴，
∴
在与中，
，
，
．
【教师备课提示】这道题是经典的一次函数和全等综合的题目，为各个学校必考题．
平面直角坐标系内有两点和，点P在直线AB上运动．
（1）若P点横坐标为，求直线OP的函数解析式；
（2）若点P在第四象限，作于M，作于N，求证：；
（3）若点P在第一象限，仍作直线OP的垂线段BM、AN，试探究线段MN、BM、AN所满足的数量关系式，直接写出结论，并画图说明．

（1）设直线AB函数解析式为

∴，
当x为时，，P的坐标为
∵直线过原点，∴解析式为
（2）由题意可证，
∴，
∴．
（3）如右图，证明
可得结论．
【教师备课提示】这道题实际上是在考查弦图，第三问中还是有一定的难度．
复习巩固
模块一
直线与坐标轴围成的面积
（1）一次函数的图象与两坐标轴围成三角形的面积为____________．
（2）两条直线，与y轴所围成的三角形面积是_________．
（3）已知一次函数图象过点，且与两坐标轴围成的三角形面积为2，则一次函数的解析式为_________．
（1）；（2）9；（3）或．
（实外期末）如图，直线过点，点，直线与x轴交于点C，两直线，相交于点B．
（1）求直线的解析式和点B的坐标；
（2）求的面积．
（1）直线为：；点．
（2）∵点，，，，
（法一）割补法：；
（法二）铅垂线法：设直线BC与y轴的交点E是，
∴．
如图，已知一次函数的图象经过点，轴于B，连接OA．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）设点P为直线上的一点，且在第一象限内，OP平分的面积，求点P的坐标．
（1）；
（2）；
（3）．
模块二
割补思想和铅锤法
如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线与x轴、y轴分别交于C，D两点．设直线，交于点P，求的面积．
．求出A、B、D、P三点坐标，从D点出发，若BD是铅锤高，P点与A点的横坐标之差为水平宽，(水平宽和铅锤高情况不唯一) ．
已知是边长为2的等边三角形，点A，B分别在x轴，y轴上，轴，点在第一象限内，且满足，求a的值．
．可以用铅锤法，也可以连接OP补全图形．
在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD各顶点的坐标分别为，，，，求四边形ABCD面积．
28．此题方法很多：
= 1 \* GB3 ①分四为三，连接AC，再运用铅锤法；
②分割成四个三角形和一个矩形；
③补成一个大的矩形等等．
模块三
一次函数和全等综合
已知：在平面直角坐标系xOy中，点、点B和点C在x轴上（点B在点C的左边），点C在原点的右边，作，垂足为E（点E在线段AC上，且点E与点A不重合），直线BE与y轴交于点D，若．
（1）求点B的坐标；
（2）设OC长为m，的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．
（1）如图，由，
可知，
∴点坐标为；
（2）由（1）可知，∴，，m的取值范围是．
如图，直线分别与x、y轴交于A、B两点，点P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角，连接QA并延长交y轴于点K，当P点运动时，K点的位置是否发现变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由．

不变，如图，过点A作轴于点H
（法一：解析法）设，则点，则直线AQ为：，
∴点K坐标为：
（法二：几何法）易证得，因此，
得到，所以的等腰直角三角形，
得到，所以，．