初一数学.春.直升班.教师版.第10讲 平面直角坐标系

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第十讲
平面直角坐标系
模块一 平面直角坐标系的概念
模块二 平面直角坐标系中点的变换
模块三 两个公式
模块一：平面直角坐标系的概念
1．有序数对：
有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记作．
注意：有序数对是有顺序的，可以准确地表示出平面内一个点的位置，和表示的意义是不同的．
2．平面直角坐标系：
两条互相垂直的共原点数轴组成．水平的数轴叫做横轴（x轴），取向右为正方向；竖直的数轴叫做纵轴（y轴），取向上为正方向；两轴公共的原点为坐标原点．
注意：同一数轴上的单位长度是一样的，一般情况下两轴上的单位长度也相同．
3．点的坐标：
如下图，由点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足A在x轴上的坐标是a，垂足B在y轴上的坐标是b，则点P的坐标为，其中a为点P的横坐标，b为点P的纵坐标．
4．象限和坐标轴：
（1）第一象限内的点的坐标满足：，；
（2）第二象限内的点的坐标满足：，；
（3）第三象限内的点的坐标满足：x＜0，；
（4）第四象限内的点的坐标满足：，.
（5）x轴上的点的坐标满足：；
（6）y轴上的点的坐标满足：；
注意：两条坐标轴上的点不属于任何一个象限．
5．坐标系中的特殊直线：
（1）与x轴平行的直线：所有点的纵坐标都相等，即直线为；
（2）与y轴平行的直线：所有点的横坐标都相等，即直线为．
（3）一、三象限角平分线：横坐标与纵坐标相等，且直线为；
（4）二、四象限角平分线：横坐标与纵坐标互为相反数，且直线为．
6．点到特殊直线的距离：
（1）点到x轴的距离为；到直线（m为常数）的距离为；
（2）点到y轴的距离为；到直线（n为常数）的距离为．
模块二：平面直角坐标系中点的变换
1．坐标系中的平移：
（1）将点向右（或向左）平移a个单位可得对应点或．
（2）将点向上（或向下）平移b个单位可得对应点或．
总结：点的左右平移横坐标满足左减右加，点的上下平移纵坐标满足上加下减．
2．坐标系中的对称：
（1）点关于x轴的对称点是，即横坐标不变，纵坐标互为相反数．
（2）点关于y轴的对称点是，即纵坐标不变，横坐标互为相反数．
总结：点关于哪条坐标轴对称则哪个坐标不变，另外一个坐标变为原来的相反数．
（3）点关于坐标原点的对称点是，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．
（4）点关于点的对称点是．
（5）点关于的对称点是．
（6）点关于的对称点是．
（7）点关于一三象限的平分线的对称点为．
（8）点关于二四象限的平分线的对称点为．
模块三：两个公式
（1）中点公式：若、，则AB中点C坐标为：；
（2）两点距离公式：已知两点：、，则．
（都可以由这两个点来构造直角三角形进行推导，中点公式用中位线，距离公式用勾股定理推导）
模块一
平面直角坐标系的概念
（1）点在第一象限，则a的范围为__________．
（2）已知点在第二象限，则点在第_________象限．
（3）已知点在第三象限且它的坐标都是整数，则该点的坐标__________．
（4）点，若在x轴上，则该点坐标为__________；若在y轴上，则该点坐标为__________．
（5）已知点在第一象限，点在第四象限，若a，b都为整数，则__________．
（1）；（2）四；
（3）∵，∴，∴点的坐标为；
（4），；（5）7或8．
【教师备课提示】这道题主要考查四个象限和坐标轴上点的横纵坐标的关系．
（1）点在第一象限坐标轴夹角平分线上，那么点的坐标为__________．
（2）已知点在第二、四象限的角平分线上，则的值为_________．
（3）已知点在坐标轴夹角平分线上，则点的坐标为__________．
（4）过点且与x轴平行的直线是_________，与y轴平行的直线是__________．
（5）线段AB的长度为3并且平行于x轴，已知点A坐标为，则点B的坐标为__________．
（6）若过点P和点的直线平行于x轴，过点P和的直线平行于y轴，则点P的坐标为__________．
（1）；（2）；（3）或；（4），；
（5）或；（6）．
【教师备课提示】这道题主要考查平面直角坐标系中特殊的直线．
（1）点到横轴的距离为__________，到纵轴的距离为__________．
（2）点A到x轴的距离为1，到y轴的距离为3，该点坐标为__________．
（3）若x轴上的点P到y轴的距离为3，则点P坐标为（ ）．
A． B．或 C． D．或
（4）点到直线的距离为_________，到直线的距离为_________．
（5）在平面直角坐标系中，点到直线的距离为3，则a的值为（ ）
A．5 B． C．5或 D．或1
（6）点到直线的距离为1，求M的坐标．
（1）4，3；（2）、、、；（3）B；（4）4，2；（5）C；
（6），∴，∴点M的坐标为或．
【教师备课提示】这道题主要考查点到特殊直线的距离．
（1）在一三象限的角平分线上有一点到x轴距离为2，则该点坐标为__________．
在二四象限的角平分线上有一点到x轴距离为4，则该点坐标为__________．
（2）已知点到x轴、y轴的距离相等，那么该点坐标为__________．
（1）或；或；
（2）或．
【教师备课提示】这样的题对孩子们刚开始学的时候还是容易弄混的，相对较综合，考查角平分线上点，需多练习．
模块二
平面直角坐标系中点的变换
（1）点向上平移个单位，再向右平移个单位得到点，点的坐标为__________．
（2）点向下平移个单位，再向左平移个单位得到点，则A的坐标为__________．
（3）在平面直角坐标系中有一个已知点A，现在x轴向下平移3个单位，y轴向左平移2个单位，单位长度不变，得到新的坐标系，在新的坐标系下点A的坐标为，在旧的坐标系下，点A的坐标为__________．
（1）；（2）；（3）．
【教师备课提示】这道题主要考查点的上下左右平移．
（1）如图6-1，在平面直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移得到的，左边图案中左、右眼睛的坐标分别是，，右边图案中左眼的坐标是，则右边图案中右眼的坐标是_______．
（2）如图，把图6-2中的经过平移得到（如图6-3），如果图6-2中上一点P的坐标为，那么平移后在图2中的对应点的坐标为__________．

图6-1 图6-2 图6-3
（1）左眼坐标由变为，由此可知由左图得到右图是向上平移2个单位，向右平移7个单位，从而得到右眼平移后的坐标为．
（2）；向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到．
【教师备课提示】这道题主要考查整个图形的平移，则所有点的平移规律都是一样的．
（1）点关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
（2）点关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
（3）在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是__________．
（1）D；（2）B；（3）．
【教师备课提示】这道题主要考查基本的关于x轴、y轴和原点的对称．
（1）已知点的坐标满足方程，则点P关于x轴的对称点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2）点和点关于y轴对称，则__________，__________．
（3）（嘉祥半期）在直角坐标系中，已知点，点Q是点P关于x轴的对称点，将点Q向右平移4个单位得到点R，则点R的坐标是__________．
（4）已知点关于x轴的对称点在第一象限，求a的取值范围．
（5）点关于直线的对称点为_______，关于直线的对称点为_______．
（1）C；
（2）2，3；
（3）；
（4）；
（5），．
【教师备课提示】这道题主要考查点的对称，相对要综合．
如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．
（1）实验与探究：由图观察易知关于直线l的对称点的坐标为，请在图中分别标明；，关于直线l的对称点、的位置，并写出他们坐标：__________，__________．
（2）归纳与发现：结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点关于第一、三象限的角平分线l的对称点的坐标为__________（不必证明）．
（1），；（2）．
【教师备课提示】这道题主要考查关于一三象限的角平分线的对称点，建议老师讲解时带着孩子做这道题时总结（顺便提及一下二四象限的角平分线的对称点情况）．
模块三
两个公式
（1）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是__________．
（2）在同一直角坐标系中，点A坐标、点B坐标，则线段AB的长度为__________．
（3）若点、，则线段AB的中点坐标是__________．
（4）线段AB的中点坐标，且已知，则点B坐标是__________．
（5）点关于点对称的点是 ．
（6）已知点，点，则线段MN的中点到原点的距离为__________．
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
【教师备课提示】主要记住两点间距离公式和中点坐标公式．两个公式都可以由已知的两个点构造直角三角形进行推导，中点公式用三角形中位线，距离公式用勾股定理推导．
复习巩固
模块一
平面直角坐标系的概念
（1）点在第一象限，则a的取值范围是__________．
（2）在直角坐标系中，点在第四象限，则x的取值范围是__________．
（3）点在（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（1）；（2）；（3）B．
（1）已知，则的坐标为________，在第_______象限．
（2）如果点在第二象限，那么点在第_________象限．
（3）已知点在第二象限，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（4）已知点在y轴上，则该点坐标为__________．
（1），在第四象限；（2）三；（3）D；（4）．
（1）若点在第二象限的角平分线上，则__________．
（2）点在第三象限的角平分线上，则__________．
（3）若点M在第一、三象限的角平分线上，且点M到x轴的距离为2，则点M的坐标是（ ）
A． B． C．或 D．或
（4）点A的坐标为，点B的坐标为，则线段AB所在的直线与x轴的位置关系是__________．
（5）已知：，点C在x轴上，且．则点C的坐标为__________．
（6）已知：点A坐标为，过A作AB//x轴，则B点纵坐标为（ ）
A．2 B． C． D．无法确定
（1）3；（2）；（3）C；（4）垂直；（5）或；（6）B．
（1）点到x轴距离为__________，到y轴距离为__________．
（2）若点到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则这样的点P有（ ）
A．1个 B．4个 C．3个 D．2个
（3）已知点，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是______．
（4）点到直线的距离为__________，到直线的距离为__________．
（5）如果点M在第三象限，且点M到x轴距离为3，到y轴的距离为4，求点M的坐标．
（6）如果点M到x轴距离为3，到y轴的距离为4，求点M的坐标．
（1）4，5；（2）B；（3）或；（4）1，5；
（5）；（6），，，．
模块二
平面直角坐标系中点的变换
（1）将点先向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，则得到点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
（2）点A向左平移3个单位，再向下平移1个单位到点，则点A的坐标为______．
（3）在平面直角坐标系中，将三角形各点的纵坐标都减去3，横坐标保持不变，所得图形与原图形相比（ ）
A．向右平移了3个单位 B．向左平移了3个单位
C．向上平移了3个单位 D．向下平移了3个单位
（1）D；（2）；（3）D．
（1）在平面直角坐标系中，点与点B关于y轴对称，则点B的坐标是（ ）
A． B． C． D．
（2）已知点，，如果，，那么点P，Q（ ）
A．关于原点对称 B．关于x轴对称
C．关于y轴对称 D．关于对称
（3）已知：，则关于原点对称的点为__________．
（4）已知点与点关于x轴对称，则_______，______．
（1）Ｃ；（2）A；（3）；（4），；
（5）由，解得．
模块三
两个公式
（1）在直角坐标系中，点C坐标，点D坐标，则线段CD的长度为____
______．
（2）在平面直角坐标系中，点A坐标，点B坐标；若点C与点A关于y轴对称，则点B与点C之间的距离是__________．
（3）若点，，则线段MN的中点坐标是__________．
（4）已知点，点，点C与点A关于x轴对称，点M为线段AC的中点，则点M到点B的距离为__________．
（1）；（2）；（3）；（4）．