核心素养系列（五）数学抽象与数学运算-活用抛物线焦点弦的四个结论 试卷

核心素养系列（五）

数学抽象与数学运算——活用抛物线焦点弦的四个结论

1.数学抽象素养水平表现为能够在得到的数学结论的基础上形成新命题，能够针对具体的问题运用数学方法解决问题，而新命题、新结论有助于数学运算，两者相辅相成，本课时抛物线的焦点弦问题的四个常用结论即为具体表现之一.

2.设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

(1)x1·x2＝.

(2)y1·y2＝－p2.

(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α是直线AB的倾斜角).

(4)为定值(F是抛物线的焦点).

类型一　活用x1·x2＝，y1·y2＝－p2.

【典例1】 (2020·武汉调研)已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若＝－12，则抛物线C的方程为(　　)

A.x2＝8y    B.x2＝4y

C.y2＝8x    D.y2＝4x

【素养指导】设出A，B坐标→数量积运算→活用结论→确定p的值→求抛物线方程

【答案】C

【解析】设抛物线为，直线AB，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2，

得＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－p2＝－12，得p＝4(舍负)，

即抛物线C的方程为y2＝8x，故选C

【素养点评】该种类型题目通过抛物线的特殊性质，脱离于传统的联立方程组求解，较为迅速的得到结果，体现了模式化的认识特征，将特殊的概念结论广泛地、抽象地应用于数学题目，体现了数学抽象的素养；代入数值进行计算，体现了数学运算的素养.

【素养专练】（2020·四川泸县五中高三月考（文））抛物线的焦点为，过焦点且倾斜角为的直线与抛物线相交于两点，则(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】抛物线，即，，所以，故选D.

类型二　活用|AB|＝x1＋x2＋p＝

【典例2】(2020·厦门外国语模拟)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)

A.   B.

C.   D.

【素养指导】抛物线方程求p→活用结论求→原点到AB的距离→求三角形面积

【答案】C

【答案】2

【解析】,设，的中点的横坐标为7，

类型三　活用+＝为定值

【典例3】过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　)

A．4　　　　　　　B.              C．5           D．6

【素养指导】活用结论求→求|BF|，|AF|→|AB|

【答案】B

【解析】因为|AF|＝2|BF|，解得|BF|＝，|AF|＝3，

故|AB|＝|AF|＋|BF|＝.

【素养点评】该题将求弦长问题，通过焦半径与p之间的关系，转化为焦半径问题，体现了数学抽象的素养；通过焦半径结论代入计算，体现了数学运算的素养.

【素养专练】 (2020·益阳、湘潭调研)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为(　　)

A.5   B.6               C.    D.

【答案】C

【解析】如图，，因为，|AF|＝4，所以|BF|＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝.

【解析】由2p＝3，及|AB|＝，

得|AB|＝＝＝12.

原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin 30°＝，

故S△AOB＝|AB|·d＝×12×＝.

【素养点评】该题通过抛物线弦长公式的结论的拓展，将复杂的面积问题抽象为长度，距离问题，体现了数学抽象的素养；在通过倾斜角斜率、联立方程坐标运算，体现了数学运算的素养.

【素养专练】（2020·辽宁丹东高三二模（理））经过抛物线的焦点，倾斜角为的直线与交于，两点，若线段的中点的横坐标为7，那么__________．