【精品讲义】人教版 八年级下册寒假同步课程（培优版）7特殊的平行四边形1.学生版

模块一 矩形的性质及判定

1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．

2．矩形的性质

矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质：

① 边的性质：对边平行且相等．

② 角的性质：四个角都是直角．

③ 对角线性质：对角线互相平分且相等．

④ 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半．

点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得．

3．矩形的判定

判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形．

判定②：对角线相等的平行四边形是矩形．

判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．

【例1】         矩形具有而平行四边形不具有的性质为（     ）

A．对角线相等                       B．对角相等

C．对角线互相平分                   D．对边相等

【例2】         如图，矩形沿折叠，使点落在边上的点处，如果，

则        

【巩固】矩形中，点为的中点，为上任意一点，交于点，交于点，当满足条件          时，四边形是矩形

【例3】         如图，在四边形中，，，求证：四边形是矩形．

【巩固】如图，已知在四边形中，交于，、、、分别是四边的中点，求证四边形是矩形．

【巩固】如图，在平行四边形中，是的中点，且，

求证：四边形是矩形．

【例4】         设凸四边形的4个顶点满足条件：每一点到其他3点的距离之和都要相等．试判断这个

四边形是什么四边形?请证明你的结论。

【例5】         已知矩形和点，当点在矩形内时，试求证：

【例6】         （西城区抽样测试）如图，将矩形沿翻折，使点落在点处，连接、，过点作，垂足为．

⑴判断是什么图形,并加以证明；

⑵若，．求的长；

⑶四边形中，比较与的大小．

【例7】         如图所示，在矩形和矩形中，若，求证：．

【例8】         已知，如图，矩形中，于，平分交于，求证：．

【例9】         如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连结．

⑴ 求证：．

⑵ 如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论．

【巩固】如图，在中，点是边上的一个动点，过点作直线，若交的平分线于点，交的外角平分线于点

（1）求证：

（2）当点运动到何处时，四边形为矩形？请说明理由！

【例10】     如图，在矩形中，分别是上的点，且. 求证：≌.

【例11】     如图，在矩形中，点是上一点，，，垂足为.线段与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。即                               .(写出一条线段即可)

【例12】     如图，平行四边形中，、、、分别是、、、的平分线，与交于，与交于，证明：四边形是矩形．

【巩固】如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BC，AB=3，BC=4，点P为直线EC上的一点，且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R．
（1）如图1，当点P为线段EC中点时，易证：PR+PQ=（不需证明）．
（2）如图2，当点P为线段EC上的任意一点（不与点E、点C重合）时，其它条件不变，则（1） 中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想

模块二 斜边中线的性质

【例13】     如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则矩形的对角线的长是（  ）

A．  B．    C．   D．

【例14】     矩形的对角线、交于，如果的周长比的周长大，则边的长是         ．

【例15】     如图，矩形中，对角线相交于点，于，于，已知

，且，求的长．

1. 已知，如图，在中，，是边上的高，是的外角平分线，∥交于，试说明四边形是矩形．

2. 如图所示，在中，，将绕点顺时针方向旋转得到点在上，再将沿着所在直线翻转得到连接．

⑴ 求证：四边形是菱形；

⑵ 连接并延长交于连接，请问：四边形是什么特殊平行四边形？为什么？