人教版高中数学必修三（教案）2.2 用样本估计总体（5课时）

第一课时   2.2.1    用样本的频率分布估计总体分布(一)

教学要求：通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点．在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的频率分布估计总体分布.

教学重点：会列频率分布表，画频率分布直方图.

教学难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布.

教学过程：

一、复习准备：

1. 讨论：我们要了解我校学生每月零花钱的情况, 应该怎样进行抽样.

2. 提问：学习了哪些抽样方法？一般在什么时候选取什么样的抽样方法呢?

3. 讨论：通过抽样方法收集数据的目的是什么？（从中寻找所包含的信息，用样本去估计总体）

   指出两种估计手段：一是用样本的频率分布估计总体的分布，二是用样本的数字特征（平均数、标准差等）估计总体的数字特征.

二、讲授新课：

1、教学频率分布直方图的作法：

① 引例：确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费. 如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢 ？为了了较为合理地确定出这个标准，需要做哪些工作？

② 讨论：如何采用抽样调查的方式，得到本市的居民月均用水量？

③ 给出100位居民的月均用水量表，讨论：如何分析数据？

   分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，或者用紧凑的表格改变数据的排列方式，作图可以达到两个目的，一是从数据中提取信息，二是利用图形传递信息

④ 频率分布的概率：频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小. 一般用频率分布直方图反映样本的频率分布.

⑤ 作频率分布直方图的步骤：

  求极差（数据组中最大值与最小值的差距）； 决定组距与组数（强调取整）；将数据分组；列频率分布表（包括分组、频数累计、频数、频率）；作频率分布直方图（在频率分布表的基础上绘制，横坐标为样本数据尺寸，纵坐标为频率/组距.）

⑥ 例：作出教材P56页 居民月均用水量的频率分布直方图.

   （师生共同按步骤完成）

⑦ 讨论：纵坐标为何取频率/组距？ （用矩形面积表示频率）

   结论：用矩形面积表示频率，总面积为1.

   注：频率分布表列出的是在名个不同区间内取值的频率，直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率.

2、分析对比频率分布直方图：

① 将组距确定为1，作出教材P56页 居民月均用水量的频率分布直方图.

② 讨论：谈谈两种组距下，你对图的印象？ 同一个样本数据，绘制出来的分布图是唯一的吗？

   （当取不同的组距，得到不同形状的图形，不同的图形给人的感觉也不同. ）

③ 讨论： 频率分布图有没有保留我们收集的数据？根据月均用水量的频率分布直方图，你能得到一些怎样的结论？（集中范围、变化趋势、直观表明分布特征、用样本推测总体）

④ 思考：如果当地政府希望使85%以上的居民每月的用水量不超出标准，根据频率分布表2-2和频率分布直方图2.2-1，你能对制定月用水量标准提出建议吗？ （3t）

⑤ 练习：P61页第3题的数据，若要绘制成频率图，你打算分几组、极值是多少、组距多少?

3. 小结：处理样本数据，绘制频率分布直方图的五个步骤. 理解面积表示频率.

三、巩固练习： 1. 练习：作P61 3题数据的频率分布直方图.  2. 作业： P61  1题.

第二课时   2.2.1    用样本的频率分布估计总体频率分布 (二)

教学要求：通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点．在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的频率分布估计总体分布，

教学重点：学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图.

教学难点：体会用样本估计总体的思想，会用样本的频率分布估计总体分布

教学过程：

一、复习准备：

1. 讨论：绘制频率分布直方图有哪几个步骤呢？
2. 练习：给出一个频率分布直方图，进行一些分析.

  （如何表示频率？面积和？集中范围？变化趋势？）

二、讲授新课：

1、教学频率分布折线图及茎叶图：

① 定义频率分布折线图：画好频率分布图后，我们把频率分布直方图中各小长方形上端连接起来，得到的图形.

② 定义总体密度曲线：在样本频率分布直方图中，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线. 它能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息.

  注：频率折线图是随着样本而变化的，因此并不能由频率折线图得到准确的总体密度曲线. 当样本容量不断增加，分组的组距不断缩小，频率分布折线图会越来越接近一条光滑的曲线即总体密度曲线，它由（a,b）的阴影部分的面积，直观反映总体在范围（a,b）内取值的百分比.

③ 讨论：对于任何一个总体，它的密度曲线是不是一定存在？它的密度曲线是否可以被非常准确地画出来？

   （实际上，尽管有些总体密度曲线是客观存在的，但一般很难想函数图象那样准确地画出来，我们只能用样本的频率分布对它进行估计，一般来说，样本容量越大，这种估计就越精确．）

④ 提问：目前有哪些方式可以发现样本的规律？

   （分布表、直方图、折线图都能帮助发现样本数据的规律）

⑤ 定义茎叶图： 当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图.

   注：茎叶是一种形象的说法，表明两部分数据间的关系，茎是指数据中用来分组的依据数，叶是指被分到这组的数.

⑥ 出示例：试将下列两组数据制作出茎叶图.

 甲得分：13 ，51，23，8，26，38，16，33，14，25，39，

 乙得分：49，24，12，31，60，31，44，36，15，37，25，36，39，

   （▲ 师生共同按制作茎叶图的方法进行操作）

⑦ 讨论：用茎叶图处理样本数据有何好处，什么时候用茎叶图会比较方使？

  （茎叶图不仅能够保留原始数据，数据可以随时记录，随时添加，方便记录, 而且能够展示数据的分布情况，但其仅适用于样本数据较少时，否则枝叶会太长. 茎叶图中数据的茎和叶的划分，可根据数据的特点灵活地决定.）

2、练习： 教材 P61第3题.

3、小结： 不易知一个总体的分布情况时，往往从总体中抽取一个样本，用样本的频率分布去估计总体的频率分布，样本容量越大，估计就越精确. 目前有：频率分布表、直方图、茎叶图.

三、巩固练习：

1. 练习：试制作本班男同学身高的茎叶图.   2. 作业：P72 1、2题，只作图.

第三课时    2.2.2  用样本的数字特征估计总体数字特征(一)

教学要求：正确理解样本数据分布直方图的意义和作用，从样本频率分布直方图中提取基本的数字特征（如众数、中位数、平均数），并做出合理的解释. 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识.

教学重点：从样本频率分布直方图中提取基本的数字特征（如众数、中位数、平均数）.

教学难点：对比初中所学众数、中位数、平均数的概念.

教学过程：

一、复习准备：

1. 提问：作样本频率分布直方图的基本步骤是怎样的？

2. 讨论：如何通过样本的频率分布直方图分析出一些规律？（给出一个图，试着分析）

3. 已知数据：10,11,12,12,13,13,13,14,15， 根据初中所学的知识，试求中位数、众数、平均数.

  复习：初中学习的中位数、众数、平均数概念？（样本众数：样本观测值中出现次数最多的数；样本中位数：将一组数据从按大小依次排列，处在最中间的一个数据；平均数.）

  讨论：如何通过样本的数字特征来了解总体的数字特征？

  引入：这节课学习如何通过频率分布直方图分析数字特征（中位数、众数、平均数）.

二、讲授新课：

1、教学众数、中位数、平均数的估计：

① 讨论：结合教材月平均用水量的频率分布直方图，如何估计众数？（注意哪段范围的数最多）

② 估计众数：频率分布直方图面积最大的方条的横轴中点数字. （最高矩形的中点）

③ 思考：从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是2.25t，翻回到课本第56页看看原来抽样的数据，有没有2.25 这个数值呢？根据众数的定义，2.25怎么会是众数呢？为什么？

   （结论：这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失的原因，而2.25是由样本数据的频率分布直方图得来的，所以存在一些偏差。）

④ 讨论：结合教材月平均用水量的频率分布直方图，如何估计中位数？（注意中位数分离标准）

⑤ 估计中位数：中位数把频率分布直方图分成左右两边面积相等.

   原因：在样本数据中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数。因此，在频率分布直方图中，矩形的面积大小正好表示频率的大小，即中位数左边和右边的直方图的面积应该相等。由此可以估计出中位数的值为2.02。

⑥ 思考：2.02这个中位数的估计值，与样本的中位数值2.0不一样，你能解释其中的原因吗？

  （同上：样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了）

⑦ 讨论：平均数的理解？ （平均数描述了数据的平均水平，是一组数据的重心，定量地反映了数据的集中趋势所处的水平. ）

⑧ 估计平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.

2、比较众数、中位数、平均数：

① 讨论：中位数是否受极端值的影响？ 在某些情况下这是一个优点，但是它对极端值的不敏感有时也会成为缺点，试举例说明吗？

② 小结：它们都是对数据中心位置的描述，可以作为总体相应特征的估计. 样本众数易计算，但只能表达样本数据中的很少一部分信息，不一定唯一；中位数仅利用了数据中排在中间数据的信息，与数据的排列位置有关；平均数受样本中的每一个数据的影响，绝对值越大的数据，对平均数的影响也越大．三者相比，平均数代表了数据更多的信息，描述了数据的平均水平，是一组数据的“重心”.

3、小结：如何通过频率分布直方图估计数字特征； 为何与实际计算有误差；三特征对比.

三、巩固练习： 1、练习：课本P61页第一题. 由我们绘得的频率分布直方图求这组数据的平均数、中位数、众数.  2、作业：预习教材P64~69

第四课时    2.2.2  用样本的数字特征估计总体数字特征(二)

教学要求：正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差. 能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释. 会用样本的数字特征估计总体的数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识.

教学重点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。

教学难点：能应用相关知识解决简单的实际问题。

教学过程：

一、复习准备：

1. 提问：如何通过频率分布直方图估计数字特征（中位数、众数、平均数）？

2. 在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕

  甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；

  乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.

 观察上述样本数据，试比较两个运动员的水平？

    （平均数公式：；或.）

3. 讨论：判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？ → 引入课题（标准差、方差）

二、讲授新课：

1、教学标准差与方差：

① 讨论：频率分布直方图能否反映数据的离散程度？

  （极差反映了数据的变化的幅度. → 去掉最高分、最低分的统计策略）

② 定义标准差：样本数据到平均数的平均距离，也是我们统计中经常用到的量.

 “平均距离”，用s表示， ，其中为样本数据的平均数. 由于含有绝对值，运算不方便，用计算标准差.

  意义：标准差用来表示稳定性，标准差越大，数据的离散程度就越大，也就越不稳定. 同时，几乎包含了所有样本数据.

③ 练习：计算复习题2中所给数据的标准差. （笔算、计算器算）

④习惯用标准差的平方——方差来表示数据的分散程度，即. 两者都是描述一组数据围绕平均数波动的大小，实际应用中比较广泛的是标准差.

⑤ 练习：计算复习题2中所给数据的方差. （笔算）；  教材P67页 例1,比较平均数与标准差.

2、教学例题：

① 出示例2：教材P68页 . （学生用计算器计算——老师分析——总结方法）

 方法点拔：在应用平均数与方差解决实际问题时，先比较平均数，再看方差（或标准差）

② 练习：P70第2、3题.

3. 小结：处理样本数据特征进而估计总体的数据特征，我们主要从平均数与方差（或标准差）两个方向去分析. 先比较平均数，再看方差（或标准差）.

三、巩固练习：

1. 练习：教材 P73第7题.

2. 作业：教材 P73第6题.

第五课时   2.2.    用样本估计总体（练习课）

教学要求：复习列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，用样本的数字特征来了解总体的数字特征．在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，进而处理实际问题.

教学重点：用样本频率分布及数字特征估计总体.

教学难点：理解根据样本估计总体.

教学过程：

一、复习准备：

1. 提问：作频率分布直方图的步骤？样本数字特征的估计及求法？

2. 讨论：如何通过样本的数字特征来了解总体的数字特征？

二、案例分析

1. 教学典型例题：

①   提问：用样本估计总体,样本的选取必需科学实际.若我们要了解某批产品(有级别之分)的质量情况,那应采用什么抽样方式呢?

② 练习:已知样本7,10,14,8,7,12,11,10,8,10,13,10,8,11,8,9,1,29,13,12,那么这组样本数据落在8.5——11.5范围内的概率是多少?

  用样本的分布估计总体的优劣:(在正常范围内,数据越集中,可估计总体的数据就越集中)

③ 出示例1：已知某班学生在一次数学考试中的成绩如下:

92,88,76,91,68,94,65,58,81,73,69,75,96,81,86,8092,77,73,64,63,87,89,71,90,74,69,88,53,85,31,48,22,64,69,79,80,63,61,43,.

(1)    列出频率分布表

(2)    画出频率分布的直方图;

(3)    估计不及格和优秀率(80以上)

 前面我们已经学习了绘制样本的频率分布直方图,能否从中找出样本数据的中位数、众数？

 注：由频率分布直方图得到的众数、中位数、平均数与实际数据计算有时是不一样的.

④ 出示例2: 现有两种玉米.甲\乙, 测得它们的高度分别为

  甲:  25,41,40,37,22,14,19,39,21,42

  乙:  27,16,44,27,44,16,40,40,16,40

  试比较哪种玉米长得整齐?

  分析：从样本的数据的收集,我们只需分析数据的离散程度就行了,而离散程度的度量就是所说的数据的方差.因此我们只需比较两组数据的方差即可.

2、教学如何用样本估计总体：

① 用样本的特征估计总体的特征

   极差反映了数据的变化的幅度.

   平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数据的平均水平。用样本平均数估计总体平均数。

   标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度。 用样本标准差估计总体标准差。样本容量越大，估计就越精确

② 阅读：教材P70 生产过程中的质量控制.

   思想：3个标准差内的最小可能之假设检验思想.

3. 小结：用样本估计总体的两个手段（用样本的频率分布估计总体的分布；用样本的数字特征估计总体的数字特征），需要从总体中抽取一个质量较高的样本，才能不会产生较大的估计偏差，且样本容量越大，估计的结果也就越精确.

三、巩固练习：

1. 练习：教材 P92第6题.     2. 作业：教材 P92第7题.