高中数学教案必修三：2.4 线性回归方程（1）

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教学目标：

1. 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系；

2. 在两个变量具有线性相关关系时，会在散点图中作出线性直线，会用线性回归方程进行预测；

3. 知道最小二乘法的含义，知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，了解（线性）相关系数的定义．

教学重点：

散点图的画法，回归直线方程的求解方法．

教学难点：

回归直线方程的求解方法．

教学方法：

引导发现、合作探究．

教学过程：

一、创设情景，揭示课题

客观事物是相互联系的．过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系．比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学是“因”，物理是“果”，或者反过来说 事实上数学和物理成绩都是“果”，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度．所以说，函数关系存在着一种确定性关系，但还存在着另一种非确定性关系——相关关系．

二、学生活动

提出问题：两个变量之间的常见关系有几种？

（1）确定性的函数关系，变量之间的关系可以用函数表示；

（2）相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表示．

说明：不要认为两个变量间除了函数关系，就是相关关系，事实是，两个变量间可能毫无关系．比如地球运行的速度与某个人的行走速度就可认为没有关系．

某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：

如果某天的气温是，你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？

   从下图可以看出，这些点散布在一条直线的附近,故可用一个线性函数近似地表示热茶销量与气温之间的关系.

   选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系？

   我们有多种思考方案：

（1）选择能反映直线变化的两个点,例如取这两点的直线；

（2）取一条直线,使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数基本相同；

（3）多取几组点,确定几条直线方程,再分别算出各条直线斜率、截距的平均值,作为所求直线的斜率、截距；

    ……

怎样的直线最好呢?

三、建构数学

1．最小平方法：

   用方程为的直线拟合散点图中的点，应使得该直线

与散点图中的点最接近．那么，怎样衡量直线与图中六

个点的接近程度呢？

我们将表中给出的自变量的六个值带入直线方程,得到相应的六个的值:

.这六个值与表中相应的实际值应该越

接近越好.所以,我们用类似于估计平均数时的思想,考虑离差的平方和

说明： 是直线与各散点在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平

方和,可以用来衡量直线与图中六个点的接近程度,所以,设法取的

值,使达到最小值.这种方法叫做最小平方法(又称最小二乘法)（method of

least square）.

    先把看作常数,那么是关于的二次函数.易知,当时,

取得最小值.同理, 把看作常数,那么是关于的二次函数.当

时, 取得最小值.因此,当时，取的最小值，由此解得

.所求直线方程为.当

时,,故当气温为时,热茶销量约为杯.

2．线性相关关系：

像这样能用直线方程近似表示的相关关系叫做线性相关关系(liner correlation).

3．线性回归方程：

一般地,设有个观察数据如下：

当使取得最小值时,就

称为拟合这对数据的线性回归方程（linear regression equation）,

该方程所表示的直线称为回归直线．

上述式子展开后，是一个关于的二次多项式，应用配方法，可求出使为最小值时的的值．即

结论：,（*）  , 

说明：公式（*）的推导比较复杂，这里不作要求．

四、数学运用

例题　下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动

车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系，如果具有线性相关关系，求出线

性回归方程；如果不具有线性相关关系，说明理由．

1．下面是我国居民生活污水排放量的一组数据（单位：10 t）试分别估计1996年和2004年我国居民生活污水排放量．

2.一个工厂在某年里每月产品的总成本y(单位：万元)与月产量（单位：万件）之间有如下一组数据：

（1）画出散点图；

（2）求线性回归方程．

五、归纳整理，整体认识

1．对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数的计算公式，算出．由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误．

2.求线性回归方程的步骤：

①计算平均数；②计算的积，求；③计算；④将结果代入公式求；⑤用 求；⑥写出回归方程

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