2021届二轮复习 函数的零点问题 课时作业（全国通用）

第17讲 函数的零点问题

A级——北京朝阳期末保分练

1．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为________．

解析：当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x>1，所以此时方程无解．综上，函数f(x)的零点只有0.

答案：0

2．(2020·南通一中模拟)已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为______．

解析：由已知得f(1)＝0，即＋a＝0，解得a＝－.

答案：－

3．已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和为________．

解析：因为奇函数的图象关于原点对称，所以若f(x)有三个零点，则其和必为0.

答案：0

4．若函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是________．

解析：由x2－ax＋1＝0得a＝x＋，其中x∈.∵函数y＝x＋在上为减函数，在(1,3)上为增函数，∴ymin＝2，ymax＝，∴a∈.

答案：

5．函数f(x)＝ex＋x－2的零点有________个．

解析：∵f(x)在R上单调递增，又f(0)＝1－2<0，f(1)＝e－>0，∴函数f(x)有且只有1个零点．

答案：1

6．(2020·常州一中检测)已知函数f(x)＝－log4x的零点为x0，若x0∈(k，k＋1)，其中k为整数，则k的值为________．

解析：因为f(2)＝1－log42＝>0，f(3)＝－log43＝log4<0，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以k＝2.

答案：2

7．(2020·连云港调研)已知函数f(x)＝－x＋b有一个零点，则实数b的取值范围为________．

解析：由已知，函数f(x)＝－x＋b有一个零点，即函数y＝x－b和y＝的图象有1个交点，如图，其中与半圆相切的直线方程为y＝x＋2，过点(0，)的直线方程为y＝x＋，所以满足条件的b的取值范围是b＝－2或－<b≤ .

答案：{－2}∪(－，]

8．已知函数f(x)＝若f(0)＝－2，f(－1)＝1，则函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为________．

解析：依题意得

由此解得b＝－4，c＝－2.由g(x)＝0得f(x)＋x＝0，

该方程等价于①

或②

解①得x＝2，解②得x＝－1或x＝－2.

因此，函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为3.

答案：3

9．已知函数f(x)＝e|x|＋|x|.若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．

解析：　方程f(x)＝k化为方程e|x|＝k－|x|.令y＝e|x|，y＝k－|x|，y＝k－|x|表示过点(0，k)，斜率为1或－1的平行折线系，折线与曲线y＝e|x|恰好有一个公共点时，有k＝1，如图．若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(1，＋∞)．

答案：(1，＋∞)

10．设函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则实数b的取值范围是________．

解析：当x≤0时，f(x)＝ex(x＋1)，则f′(x)＝ex(x＋1)＋ex＝ex(x＋2)，由f′(x)>0，得函数f(x)的单调递增区间为(－2,0)，由f′(x)<0，得函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－2)，且易知x<－1时，f(x)<0，f(0)＝1.由以上分析，可作出分段函数f(x)的图象如图所示．要使函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，即f(x)＝b有三个不同的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与直线y＝b有三个不同的公共点，结合图象可知，实数b的取值范围是(0,1]．

答案： (0,1]

11．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.

(1)写出函数y＝f(x)的解析式；

(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求实数a的取值范围．

解：(1)设x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝x2＋2x.

又因为f(x)是奇函数，

所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x.

所以f(x)＝

(2)方程f(x)＝a恰有3个不同的解，即y＝f(x)与y＝a的图象有3个不同的交点．

作出y＝f(x)与y＝a的图象如图所示，故若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，只需－1＜a＜1，

故实数a的取值范围为(－1,1)．

12．已知二次函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a，

(1)判断命题：“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；

(2)若y＝f(x)在区间(－1,0)及内各有一个零点，求实数a的取值范围．

解：(1)“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”是真命题．依题意，f(x)＝1有实根，即x2＋(2a－1)x－2a＝0有实根，因为Δ＝(2a－1)2＋8a＝(2a＋1)2≥0对于任意的a∈R恒成立，即x2＋(2a－1)x－2a＝0必有实根，从而f(x)＝1必有实根．

(2)依题意，要使y＝f(x)在区间(－1,0)及内各有一个零点，只需即解得＜a＜.

故实数a的取值范围为.

B级——难点突破练

1．已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f(x)＝－a(x＞0)有且仅有3个零点，则a的取值范围是________．

解析：当0<x<1时，f(x)＝－a＝－a，当1≤x<2时，f(x)＝－a＝－a，当2≤x<3时，f(x)＝－a＝－a，….f(x)＝－a的图象是把y＝的图象进行纵向平移而得到的，画出y＝的图象，通过数形结合可知a∈.

答案：

2．定义在R上的奇函数f(x)满足条件f(1＋x)＝f(1－x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，若函数g(x)＝|f(x)|－ae－|x|在区间[－2 020,2 020]上有4 036 个零点，则实数a的取值范围是________．

解析：∵f(x)满足条件f(1＋x)＝f(1－x)且为奇函数，则f(x)的图象关于x＝1对称，且f(x)＝f(2－x)，f(x)＝－f(－x)，∴－f(－x)＝f(2－x)，即－f(x)＝f(2＋x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)的周期为4.令m(x)＝|f(x)|，n(x)＝ae－|x|，画出m(x)、n(x)的图象如图，可知m(x)与n(x)为偶函数，且要使m(x)与n(x)图象有交点，需a＞0，由题意知要满足g(x)在区间[－2 020，2 020]上有4 036个零点，只需m(x)与n(x)的图象在[0,4]上有两个交点，则可得e＜a＜e3.

答案：(e，e3)

3．已知函数f(x)＝(2－a)x－2(1＋ln x)＋a.

(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在区间上无零点，求实数a的最小值．

解：(1)当a＝1时，f(x)＝x－1－2ln x，

则f′(x)＝1－，其中x∈(0，＋∞)．

由f′(x)＞0，得x＞2，由f′(x)＜0，得0＜x＜2，

故f(x)的单调减区间为(0,2)，单调增区间为(2，＋∞)．

(2)f(x)＝(2－a)x－2(1＋ln x)＋a＝(2－a)(x－1)－2ln x，

令m(x)＝(2－a)(x－1)，h(x)＝2ln x，其中x＞0，

则f(x)＝m(x)－h(x)．

① 当a＜2时，m(x)在上为增函数，h(x)在上为增函数，

结合图象知，若f(x)在上无零点，

则m≥h，即(2－a)≥2ln，

所以a≥2－4ln 2，所以2－4ln 2≤a＜2.

② 当a≥2时，在上，m(x)≥0，h(x)＜0，

所以f(x)＞0，所以f(x)在上无零点．

由①②得a≥2－4ln 2，所以amin＝2－4ln 2.

4．设函数fk(x)＝2x＋(k－1)·2－x(x∈R，k∈Z)．

(1)若fk(x)是偶函数，求k的值；

(2)设函数g(x)＝λf0(x)－f2(2x)－2，若g(x)在x∈[1，＋∞)上有零点，求实数λ的取值范围．

解：(1)因为fk(x)是偶函数，

所以fk(－x)＝fk(x)恒成立，

即2－x＋(k－1)·2x＝2x＋(k－1)·2－x，

即(k－2)(22x－1)＝0恒成立，所以k＝2.

(2)函数g(x)＝λ(2x－2－x)－(22x＋2－2x)－2在x∈[1, ＋∞)上有零点，即λ(2x－2－x)－(22x＋2－2x)－2＝0在x∈[1，＋∞)有解，

因为x∈[1，＋∞)，所以2x－2－x>0，

所以问题等价于λ＝在x∈[1，＋∞)有解．

令p＝2x，则p≥2，令u＝p－，

则u在p∈[2，＋∞)上单调递增，

因此u≥，λ＝.

设r(u)＝＝u＋，

则r′(u)＝1－，令r′(u)＝0，得u＝2，

故r(u)在上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增．

所以函数r(u)在u＝2时取得最小值，且最小值r(2)＝4,

所以r(u)∈[4，＋∞)，

从而满足条件的实数λ的取值范围是[4，＋∞)．