第03讲 不等式及性质-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
展开第 3讲：不等式及性质
一、课程标准
1、通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，
2、了解不等式(组)的实际背景．
3、掌握不等式的性质及应用
二、基础知识回顾
1、两个实数比较大小的依据
(1)a－b＞0⇔a＞b.
(2)a－b＝0⇔a＝b.
(3)a－b＜0⇔a＜b.
2、不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔b<a；
(2)传递性：a>b，b>c⇒ac；
(3)可加性：a>b⇔a＋cb＋c；a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；
(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc;
a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； c<0时应变号．
(5)可乘方性：a>b>0⇒anbn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方性：a>b>0⇒ (n∈N，n≥2)．
3、常见的结论
(1)a>b，ab>0⇒<.
(2)a<0<b⇒<.
(3)a>b>0,0<c<d⇒>.
(4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<.
4、两个重要不等式
若a>b>0，m>0，则
(1)<；>(b－m>0)．
(2)>；<(b－m>0)．
三、自主热身、归纳总结
1、若a＝，b＝，则a____b(填“＞”或“＜”)．
【答案】＜
【解析】：易知a，b都是正数，＝＝log89＞1，所以b＞a.
2、已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．
【答案】：(－4,2) (1,18)
【解析】∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y<－2，
∴－4<x－y<2.
由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12,4<2y<6，
∴1<3x＋2y<18.
3、下列四个命题中，为真命题的是( )
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若a>b，c>d，则a－c>b－d
C．若a>|b|，则a2>b2
D．若a>b，则<
【答案】 C
【解析】 当c＝0时，A不成立；2>1，3>－1，而2－3<1－(－1)，故B不成立；a＝2，b＝－1时，D不成立；由a>|b|知a>0，所以a2>b2，故选C．
4、设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：
①>；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c)．
其中所有正确结论的序号是( )
A．① B．①②
C．②③ D．①②③
【答案】D
【解析】由不等式性质及a>b>1，知<，
又c<0，∴>，①正确；
构造函数y＝xc，
∵c<0，∴y＝xc在(0，＋∞)上是单调递减的，
又a>b>1，∴ac<bc，②正确；
∵a>b>1，c<0，∴a－c>b－c>1，
∴logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，③正确．
5、(多选)设b＞a＞0，c∈R，则下列不等式中正确的是( )
A．a＜b B.－c＞－c
C.＞ D．ac2＜bc2
【答案】ABC
【解析】因为y＝x在(0，＋∞)上是增函数，所以a＜b.因为y＝－c在(0，＋∞)上是减函数，所以－c＞－c.因为－＝＞0，所以＞.当c＝0时，ac2＝bc2，所以D不成立．故选A、B、C.
四、例题选讲
考点1、不等式的性质
例1、若＜＜0，给出下列不等式：①＜；②|a|＋b＞0；③a－＞b－；④ln a2＞ln b2.其中正确的不等式是( )
A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
【答案】 C
【解析】方法一 因为＜＜0，故可取a＝－1，b＝－2.
显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A，B，D.
方法二 由＜＜0，可知b＜a＜0.①中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以＜0，＞0.故有＜，即①正确；
②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；
③中，因为b＜a＜0，又＜＜0，则－＞－＞0，
所以a－＞b－，故③正确；
④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2＞ln a2，故④错误.由以上分析，知①③正确.
变式1、设为实数,且,则下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对于A，令，故A错误；
对于B，当时，则，故B错误；
对于C，则，，则，故C错误；
对于D，且，故D正确，故选D。
变式2、已知x，y∈R，且x>y>0，则( )
A．－>0 B．sinx－siny>0
C．x－y<0 D．ln x＋ln y>0
【答案】 C
【解析】 函数y＝x在(0，＋∞)上为减函数，∴当x>y>0时，x<y，即x－y<0，故C正确；函数y＝在(0，＋∞)上为减函数，∴由x>y>0⇒<⇒－<0，故A错误；函数y＝sinx在(0，＋∞)上不单调，当x>y>0时，不能比较sinx与siny的大小，故B错误；x>y>0xy>1ln (xy)>0ln x＋ln y>0，故D错误．
方法总结：判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质，常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：①不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；②不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；③不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等.
考点2、结合不等式比较大小
例2、设a>b>0，试比较与的大小．
解法一(作差法)：
－＝
＝．
因为a>b>0，所以a＋b>0，a－b>0，2ab>0．
所以>0，所以>．
解法二(作商法)：
因为a>b>0，所以>0，>0．
所以＝＝＝1＋>1．
所以>．
变式1、已知等比数列{an}中，a1＞0，q＞0，前n项和为Sn，则与的大小关系为________．
【答案】：＜
【解析】：当q＝1时，＝3，＝5，所以＜.
当q＞0且q≠1时，
－＝－
＝＝＜0，
所以＜.综上可知＜.
变式2、设0<x<1，a>0且a≠1，比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小
解法一：当a>1时，由0<x<1知，
loga(1－x)<0，loga(1＋x)>0，
∴|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|
＝－loga(1－x)－loga(1＋x)＝－loga(1－x2)，
∵0<1－x2<1，
∴loga(1－x2)<0，从而－loga(1－x2)>0，
故|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|．
当0<a<1时，同样可得|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|．
解法二(平方作差)：
|loga(1－x)|2－|loga(1＋x)|2
＝[loga(1－x)]2－[loga(1＋x)]2
＝loga(1－x2)·loga
＝loga(1－x2)·loga>0．
∴|loga(1－x)|2>|loga(1＋x)|2，
故|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|．
变式3、已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意，为奇函数，则，
又由，
又由在上是增函数，
则有，故选D。
方法总结：比较大小的方法
(1)作差法，其步骤：作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论．
(2)作商法，其步骤：作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论．
(3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小．
考点3、运用不等式求代数式的取值范围
例3、设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________.
【答案】[5，10]
【解析】方法一 设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.
于是得解得
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1).
又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，
故5≤f(－2)≤10.
变式、若－<α<β<，则α－β的取值范围是________．
【答案】(－π，0)
【解析】由－<α<，－<－β<，α<β，得－π<α－β<0.
方法总结：利用不等式性质求某些代数式的范围时，一般式利用整体的思想，通过一次性不等式的关系运算求得整体范围。
五、优化提升与真题演练
1、a，b∈R，a＜b和＜同时成立的条件是________．
【答案】a＜0＜b
【解析】若ab＜0，由a＜b两边同除以ab得，＞，即＜；若ab＞0，则＞.
所以a＜b和＜同时成立的条件是a＜0＜b.
2、已知，，则的取值范围是
【答案】
【解析】令
则，
∴，
又，…∴①
，
∴…②
∴①②得．
则．
3、若<<0，则下列结论不正确的是( )
A．a2<b2 B．ab<b2
C．a＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b|
【答案】D
【解析】 ∵<<0，∴b<a<0，∴b2>a2，ab<b2，a＋b<0，∴A，B，C均正确．∵b<a<0，∴|a|＋|b|＝|a＋b|，故D错误．
4、设a>b>1，则下列不等式成立的是( )
A．aln b>bln a B．aln b<bln a
C．aeb<bea D．aeb>bea
【答案】 C
【解析】 观察A，B两项，实际上是在比较和的大小，引入函数y＝，x>1．则y′＝，可见函数y＝在(1，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．函数y＝在(1，＋∞)上不单调，所以函数在x＝a和x＝b处的函数值无法比较大小．对于C，D两项，引入函数f(x)＝，x>1，则f′(x)＝＝>0，所以函数f(x)＝在(1，＋∞)上单调递增，又因为a>b>1，所以f(a)>f(b)，即>，所以aeb<bea．故选C．
5、(2018·全国卷Ⅲ)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则( )
A．a＋b＜ab＜0 B．ab＜a＋b＜0
C．a＋b＜0＜ab D．ab＜0＜a＋b
【答案】B
【解析】解法一：∵a＝log0.20.3＞log0.21＝0，b＝log20.3＜log21＝0，∴ab＜0，排除C.
∵0＜log0.20.3＜log0.20.2＝1，log20.3＜log20.5＝－1，即0＜a＜1，b＜－1，∴a＋b＜0，排除D.
∵＝＝＝log20.2，
∴b－＝log20.3－log20.2＝log2＜1，
∴b＜1＋⇒ab＜a＋b，排除A.故选B.
解法二：易知0＜a＜1，b＜－1，∴ab＜0，a＋b＜0，
∵＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4＜1，即＜1，
∴a＋b＞ab，∴ab＜a＋b＜0，故选B.
6、(2017·山东卷)若a＞b＞0，且ab＝1，则下列不等式成立的是( )
A．a＋＜＜log2(a＋b)
B.＜log2(a＋b)＜a＋
C．a＋＜log2(a＋b)＜
D．log2(a＋b)＜a＋＜
【答案】B
【解析】特值法：令a＝2，b＝，可排除A，C，D.故选B.
7、(2016·北京卷)已知x，y∈R，且x＞y＞0，则( )
A.－＞0 B．sinx－siny＞0
C.x－y＜0 D．lnx＋lny＞0
【答案】C
【解析】函数y＝x在(0，＋∞)上为减函数，∴当x＞y＞0时，x＜y，即x－y＜0，故C正确；
函数y＝在(0，＋∞)上为减函数，
∴由x＞y＞0⇒＜⇒－＜0，故A错误；
函数y＝sinx在(0，＋∞)上不单调，
当x＞y＞0时，不能比较sinx与siny的大小，故B错误；
当x＞0且y＞0时，lnx＋lny＞0⇔lnxy＞0⇔xy＞1，而x＞y＞0A⇒/xy＞1，故D错误．
