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初中8.3 实际问题与二元一次方程组导学案
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这是一份初中8.3 实际问题与二元一次方程组导学案，共7页。学案主要包含了教学目标，教法指导，教学过程等内容，欢迎下载使用。
【教学目标】
知识技能:①能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程组；解决问题
过程方法:①通过应用题得教学活动中，让学生再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用.
②通过方程组刻画现实世界的中数学模型；提高同学的兴趣。
情感态度价值观:①在解决实际问题的探索过程中，发展同学们的推理能力，培养学生分析问题，解决问题的能力。
②在数学活动中体会数学的价值，增加同学的学习兴趣。
【教法指导】
本节课是人教版九年制义务教育七年级下册第八章《二元一次方程组》的第三节内容，本节课是在学生对二元一次方程有一定的了解上，使其与实际问题联系，让学生体会道生活处处有数学。逐步引导学生通过方程组去反映现实世界中等量关系，体会代数方法的优越性，更直观的了解世界。通过应用题得学习，培养学生分析、解决问题的能力，体会二元一次方程组的应用价值，感受数学文化。
【教学过程】
☆导入新课☆
前面我们结合实际问题，学习了用方程组表示问题中的条件以及如何解方程组．本节我们继续探究如何用方程组解决实际问题．
☆探究新知☆
养牛场原有30只母牛和15只小牛，1天约需用饲料675 kg；一周后又购进12只母牛和5只小牛，这时1天约需用饲料940 kg.饲养员李大叔估计平均每只母牛1天约需饲料18~20 kg，每只小牛1天约需饲料7~8 kg.你能否通过计算检验他的估计？（同学思考、讨论）
答： 判断李大叔的估计是否正确的方法有两种：
①先假设李大叔的估计正确，再根据问题中给定的数量关系来检验．（估算的运用）
②根据问题中给定的数量关系求出平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料量，再来判断李大叔的估计是否正确．（方程的应用）
同学们思考讨论，觉得那种方法更简捷点呢？
答：比较探究后发现用方法二较简便．
选择第二种方法，该如何解答问题呢？
答；设平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料xkg和ykg.
找出等量关系列方程组
解这个方程组，得
这就是说，平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料20kg和5kg.饲养员李大叔对母牛的食量估计正确，对小牛的食量估计不正确
思考讨论：以上问题还能列出不同的方程组吗？结果是否一致？
答：设平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料xkg和ykg.
找出等量关系列方程组
解这个方程组，得
结果一致的．
通过对例题的学习，你能总结出列二元一次方程解决实际问题的步骤吗？
答：列方程组解应用题有以下几个步骤：①找出已知量、未知量和相等关系； ②用两个字母表示问题中的两个未知数； ③依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组；④解方程组，得到方程组的解； ⑤检验求得的未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解； ⑥写出答案。总结为六个字：审、 设、列、解、验、答。
如图，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地．公路运价为1. 5元/(t·km)，铁路运价为1.2元/(t·km)，这两次运输共支出公路运费15 000元，铁路运费97 200元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
要求“这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？”我们必须知道什么？
答：销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关．因此，我们必须知道产品的数量和原料的数量．
思考：本题涉及的量较多，且比较复杂，我们能否直观简洁的把各种关系表达出来呢？
答：因为本题涉及的量较多，在这种情况下常用列表的方式来处理，根据题意列表如下：
列出上表后，你会填写吗？
答：根据题意填写如下：
填写完表格后，你发现等量关系了吗？如何列方程组并求解？
答：列方程：
①
先化简，得
②
③
由①，得
y=1000-2x
代入② ，解得
x=300
代入③ ，得
Y=400
所以
解答出产品跟原料的数量，这个实际问题的答案是什么呢？
答：销售款：8 000×300=2 400 000；
原料费：1 000×400=400 000；
运输费：15 000+97 200=112 200．
这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1 887 800元．
这个题目为什么不设直接未知数解答呢？
答：因为直接将所求的结果当作未知数无法列出方程，所以选择设间接未知数产品跟原材料的数量．
☆尝试应用☆[来源:学#科#网Z#X#X#K]
某班有40名同学去看演出，购买甲、乙两种票共用去370元，其中甲种票每张10元，乙种票每张8元，设购买了甲种票x张，乙种票y张，由此可列出方程组：________________.
【答案】﹛x+y=40,10x+8y=370.
考点：二元一次方程组的应用。
☆能力提升☆[来源:ZXXK]
为了响应“足球进校园”的目标，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买2个A品牌的足球和3个B品牌的足球共需380元；购买4个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需360元．
（1）求A，B两种品牌的足球的单价．
（2）求该校购买20个A品牌的足球和2个B品牌的足球的总费用．
【答案】（1）一个A品牌的足球需90元，则一个B品牌的足球需100元；（2）1900．
【解析】
分析：怎样能求出A、B足球的单价呢？（1）设一个A品牌的足球需x元，则一个B品牌的足球需y元，根据“购买2个A品牌的足球和3个B品牌的足球共需380元；购买4个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需360元”列出方程组并解答；如何求出总费用呢？（2）把（1）中的数据代入求值即可．
解：（1）设一个A品牌的足球需x元，则一个B品牌的足球需y元，依题意得：，解得：．
答：一个A品牌的足球需90元，则一个B品牌的足球需100元；
（2）依题意得：20×90+2×100=1900（元）．
答：该校购买20个A品牌的足球和2个B品牌的足球的总费用是1900元．
考点：二元一次方程组的应用．
☆课堂小结☆
列方程组解应用题有以下几个步骤：①审：找出已知量、未知量和相等关系； ②设：用两个字母表示问题中的两个未知数； ③列：依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组；④解：解方程组，得到方程组的解； ⑤验：检验求得的未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解； ⑥答：写出答案.
当题目设计的量比较多，且将所求的结果当作未知数无法列出方程时，考虑选择设间接未知数．
（3）二元一次方程组的实际应用
☆课堂提高☆
1．一副三角板按如图方式摆放，且∠1比∠2大50°，若设∠1=x°，∠2=y°．则可得到的方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
考点：1．由实际问题抽象出二元一次方程组；2．余角和补角．
2．现有1角、5角硬币各10枚，从中取出16枚，共计4元，问1角、5角硬币各取多少枚？设1角、5角硬币各取x枚、y枚，可列方程 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：根据硬币的枚数和总钱数两个等量关系，可列方程组，第一个x+y=16，第二个为x+5y=40，因此可知方程组为.
考点：列二元一次方程组解决实际问题
3．如图的天平中各正方体的质量相同，各小球质量相同，若使两架天平都平衡，则下面天平右端托盘上正方体的个数为____．
【答案】5
考点：实际问题与二元一次方程组
4．现有八个大小相同的矩形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，则每个小矩形的面积是____．
【答案】60
【解析】
试题分析：设小矩形的宽是x，长是y，根据图1可得到长和宽的一个方程，根据图2也可得到一个方程，从而可列出方程组求解．[来源:ZXXK]
解：设小矩形的宽是x，长是y，
，
解得：．
小矩形的面积为：6×10=60．
故答案为：60．
考点：实际问题与二元一次方程组
5．如图，商店里把一些塑料凳整齐地叠放在一起，当有11张塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是_____．
【答案】53cm
，
解得：，
故11张塑料凳整齐地叠放在一起时的高度为：3×11+20=53cm，
故答案为：53cm．
考点：实际问题与二元一次方程组
6.有若干只鸡和兔关在一个笼子里，从上面数，有30个头；从下面数，有84条腿，问笼中各有几只鸡和兔？
【答案】笼子里鸡有18只，兔有12只．
【解析】
试题分析：设这个笼中的鸡有x只，兔有y只，根据“从上面数，有30个头；从下面数，有84条腿”列出方程组，解方程组即可．
试题解析：设这个笼中的鸡有x只，兔有y只，[来源:学+科+网]
根据题意得：，
解得；
答：笼子里鸡有18只，兔有12只．
考点：二元一次方程组的应用
产品x吨
原料y吨
合计
公路运费（元）
铁路运费（元）
价值（元）
产品x吨
原料y吨
合计
公路运费（元）
1.5*20x
1.5*10y
1.5(20x+10y)
铁路运费（元）
1.2*110x
1.2*120y
1.2(110x+120y)
价值（元）
8000x
1000y
【教学目标】
知识技能:①能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程组；解决问题
过程方法:①通过应用题得教学活动中，让学生再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用.
②通过方程组刻画现实世界的中数学模型；提高同学的兴趣。
情感态度价值观:①在解决实际问题的探索过程中，发展同学们的推理能力，培养学生分析问题，解决问题的能力。
②在数学活动中体会数学的价值，增加同学的学习兴趣。
【教法指导】
本节课是人教版九年制义务教育七年级下册第八章《二元一次方程组》的第三节内容，本节课是在学生对二元一次方程有一定的了解上，使其与实际问题联系，让学生体会道生活处处有数学。逐步引导学生通过方程组去反映现实世界中等量关系，体会代数方法的优越性，更直观的了解世界。通过应用题得学习，培养学生分析、解决问题的能力，体会二元一次方程组的应用价值，感受数学文化。
【教学过程】
☆导入新课☆
前面我们结合实际问题，学习了用方程组表示问题中的条件以及如何解方程组．本节我们继续探究如何用方程组解决实际问题．
☆探究新知☆
养牛场原有30只母牛和15只小牛，1天约需用饲料675 kg；一周后又购进12只母牛和5只小牛，这时1天约需用饲料940 kg.饲养员李大叔估计平均每只母牛1天约需饲料18~20 kg，每只小牛1天约需饲料7~8 kg.你能否通过计算检验他的估计？（同学思考、讨论）
答： 判断李大叔的估计是否正确的方法有两种：
①先假设李大叔的估计正确，再根据问题中给定的数量关系来检验．（估算的运用）
②根据问题中给定的数量关系求出平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料量，再来判断李大叔的估计是否正确．（方程的应用）
同学们思考讨论，觉得那种方法更简捷点呢？
答：比较探究后发现用方法二较简便．
选择第二种方法，该如何解答问题呢？
答；设平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料xkg和ykg.
找出等量关系列方程组
解这个方程组，得
这就是说，平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料20kg和5kg.饲养员李大叔对母牛的食量估计正确，对小牛的食量估计不正确
思考讨论：以上问题还能列出不同的方程组吗？结果是否一致？
答：设平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料xkg和ykg.
找出等量关系列方程组
解这个方程组，得
结果一致的．
通过对例题的学习，你能总结出列二元一次方程解决实际问题的步骤吗？
答：列方程组解应用题有以下几个步骤：①找出已知量、未知量和相等关系； ②用两个字母表示问题中的两个未知数； ③依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组；④解方程组，得到方程组的解； ⑤检验求得的未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解； ⑥写出答案。总结为六个字：审、 设、列、解、验、答。
如图，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地．公路运价为1. 5元/(t·km)，铁路运价为1.2元/(t·km)，这两次运输共支出公路运费15 000元，铁路运费97 200元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
要求“这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？”我们必须知道什么？
答：销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关．因此，我们必须知道产品的数量和原料的数量．
思考：本题涉及的量较多，且比较复杂，我们能否直观简洁的把各种关系表达出来呢？
答：因为本题涉及的量较多，在这种情况下常用列表的方式来处理，根据题意列表如下：
列出上表后，你会填写吗？
答：根据题意填写如下：
填写完表格后，你发现等量关系了吗？如何列方程组并求解？
答：列方程：
①
先化简，得
②
③
由①，得
y=1000-2x
代入② ，解得
x=300
代入③ ，得
Y=400
所以
解答出产品跟原料的数量，这个实际问题的答案是什么呢？
答：销售款：8 000×300=2 400 000；
原料费：1 000×400=400 000；
运输费：15 000+97 200=112 200．
这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1 887 800元．
这个题目为什么不设直接未知数解答呢？
答：因为直接将所求的结果当作未知数无法列出方程，所以选择设间接未知数产品跟原材料的数量．
☆尝试应用☆[来源:学#科#网Z#X#X#K]
某班有40名同学去看演出，购买甲、乙两种票共用去370元，其中甲种票每张10元，乙种票每张8元，设购买了甲种票x张，乙种票y张，由此可列出方程组：________________.
【答案】﹛x+y=40,10x+8y=370.
考点：二元一次方程组的应用。
☆能力提升☆[来源:ZXXK]
为了响应“足球进校园”的目标，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买2个A品牌的足球和3个B品牌的足球共需380元；购买4个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需360元．
（1）求A，B两种品牌的足球的单价．
（2）求该校购买20个A品牌的足球和2个B品牌的足球的总费用．
【答案】（1）一个A品牌的足球需90元，则一个B品牌的足球需100元；（2）1900．
【解析】
分析：怎样能求出A、B足球的单价呢？（1）设一个A品牌的足球需x元，则一个B品牌的足球需y元，根据“购买2个A品牌的足球和3个B品牌的足球共需380元；购买4个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需360元”列出方程组并解答；如何求出总费用呢？（2）把（1）中的数据代入求值即可．
解：（1）设一个A品牌的足球需x元，则一个B品牌的足球需y元，依题意得：，解得：．
答：一个A品牌的足球需90元，则一个B品牌的足球需100元；
（2）依题意得：20×90+2×100=1900（元）．
答：该校购买20个A品牌的足球和2个B品牌的足球的总费用是1900元．
考点：二元一次方程组的应用．
☆课堂小结☆
列方程组解应用题有以下几个步骤：①审：找出已知量、未知量和相等关系； ②设：用两个字母表示问题中的两个未知数； ③列：依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组；④解：解方程组，得到方程组的解； ⑤验：检验求得的未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解； ⑥答：写出答案.
当题目设计的量比较多，且将所求的结果当作未知数无法列出方程时，考虑选择设间接未知数．
（3）二元一次方程组的实际应用
☆课堂提高☆
1．一副三角板按如图方式摆放，且∠1比∠2大50°，若设∠1=x°，∠2=y°．则可得到的方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
考点：1．由实际问题抽象出二元一次方程组；2．余角和补角．
2．现有1角、5角硬币各10枚，从中取出16枚，共计4元，问1角、5角硬币各取多少枚？设1角、5角硬币各取x枚、y枚，可列方程 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：根据硬币的枚数和总钱数两个等量关系，可列方程组，第一个x+y=16，第二个为x+5y=40，因此可知方程组为.
考点：列二元一次方程组解决实际问题
3．如图的天平中各正方体的质量相同，各小球质量相同，若使两架天平都平衡，则下面天平右端托盘上正方体的个数为____．
【答案】5
考点：实际问题与二元一次方程组
4．现有八个大小相同的矩形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，则每个小矩形的面积是____．
【答案】60
【解析】
试题分析：设小矩形的宽是x，长是y，根据图1可得到长和宽的一个方程，根据图2也可得到一个方程，从而可列出方程组求解．[来源:ZXXK]
解：设小矩形的宽是x，长是y，
，
解得：．
小矩形的面积为：6×10=60．
故答案为：60．
考点：实际问题与二元一次方程组
5．如图，商店里把一些塑料凳整齐地叠放在一起，当有11张塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是_____．
【答案】53cm
，
解得：，
故11张塑料凳整齐地叠放在一起时的高度为：3×11+20=53cm，
故答案为：53cm．
考点：实际问题与二元一次方程组
6.有若干只鸡和兔关在一个笼子里，从上面数，有30个头；从下面数，有84条腿，问笼中各有几只鸡和兔？
【答案】笼子里鸡有18只，兔有12只．
【解析】
试题分析：设这个笼中的鸡有x只，兔有y只，根据“从上面数，有30个头；从下面数，有84条腿”列出方程组，解方程组即可．
试题解析：设这个笼中的鸡有x只，兔有y只，[来源:学+科+网]
根据题意得：，
解得；
答：笼子里鸡有18只，兔有12只．
考点：二元一次方程组的应用
产品x吨
原料y吨
合计
公路运费（元）
铁路运费（元）
价值（元）
产品x吨
原料y吨
合计
公路运费（元）
1.5*20x
1.5*10y
1.5(20x+10y)
铁路运费（元）
1.2*110x
1.2*120y
1.2(110x+120y)
价值（元）
8000x
1000y
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