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    黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2021届高三上学期期末考试 数学(理) (含答案)

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    一、选择题(每题5分,共60分)

    1. 设集合,则 (  )

    A.             B.           C         D 

    2. ,其中 为虚数单位,则   (     )

    A.                 B.              C.             D.

    3. 若抛物线的焦点是双曲线的一个焦点,则= (    ) 

    A.              B. 8               C. 16               D. 32

    4. 数列在各项为正数的等比数列,若,则(  )

    A27              B81             C243              D729

    5.已知直三棱柱,若,是棱中点,则直线与直线所成角的余弦值为(     )

    A            B           C          D

    6. 已知角的终边上有一点,的值为(  

    A             B          C           D

    7.设是空间中两条不同的直线,是空间中三个不同的平面,给出下列四个命题:(1)若,则;(2)若,则;(3)若,则;(4,则.其中正确命题的序号是(   

       A.(1)(2        B.(2)(3        C.(3)(4     D.(1)(4

    8.的(   )条件

    A. 充分不必要       B. 必要不充分       C. 充要         D.既不充分也不必要

    9.已知函数有两个极值点,则的取值范围是(    

    A.            B          C D

    10. ,给出下列四个结论: .其中正确结论有  (    )

    A.             B.            C.          D.

    11.已知是双曲线的左、右焦点,过的直线与双曲线的左支交于点,若则离心率的取值范围为(  

    A.            B.             C.         D.

    12. 已知函数与函数图像交点分别为:,则  

    A-2             B0               C2             D4

    二、填空题(每题5分,共20分)

    13.曲线在点处的切线方程为.

    14.已知向量,若,则.

    15.若过点的直线将圆的周长分为2:1两部分,则直线的斜率为.

    16已知数列满足,则                       .

    三、解答题(17题10分,18-22题每题12分,共70分)

    17.(本小题满分10分)已知函数.

    (1)画出函数在区间上的图像;

    (2)将函数的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数的图像,求函数图像的对称轴和增区间.

     

     

    18.(本小题满分12分)已知三个内角所对的边分别是,

    .

    1)求角;

    2)若,a>b)的值.

     

     

     

    1. (本小题满分12分)已知数列的前项和为.

    1证明:数列为等差数列;

    2求数列的前项和为.

     

     

     

    1. (本小题满分12分)在长方体中,,分别在棱上,且.

    1求证:平面

    2若二面角的余弦值为,求棱的长.

     

     

     

     

    21.(本小题满分12分)椭圆的左右焦点分别为,直线,若椭圆过点.

    1)求椭圆的方程;

    2)若为椭圆的左、右顶点,为椭圆上一动点,设直线分别交直线于点,则以线段为直径的圆是否恒过定点,若是,求出该定点坐标;若不恒过定点,说明理由.

     

     

    22. (本小题满分12分)设函数(其中

    1)当 时,求函数的单调区间

    2)当 时,求函数上的最大值

     

     

     

    答案

    一、选择题(每题5分,共60分)

    1. 设集合,则 ( B )

    A.             B.           C         D 

    2. ,其中 为虚数单位,则   (  B   )

    A.                 B.              C.             D.

    3. 若抛物线的焦点是双曲线的一个焦点,则= (   C ) 

    A.              B. 8               C. 16               D. 32

    4. 数列在各项为正数的等比数列,若,则( C )

    A27              B81             C243              D729

    5.已知直三棱柱,若,是棱中点,则直线与直线所成角的余弦值为(  B   )

    A            B           C          D

    6. 已知角的终边上有一点,的值为(D  

    A             B          C            D

    7.设是空间中两条不同的直线,是空间中三个不同的平面,给出下列四个命题:(1)若,则;(2)若,则;(3)若,则;(4,则.其中正确命题的序号是(  A

      A.(1)(2     B.(2)(3       C.(3)(4         D.(1)(4

    8.的( B  )条件

    A. 充分不必要       B. 必要不充分 C. 充要    D.既不充分也不必要

    9.已知函数有两个极值点,则的取值范围是(  B  

    A.       B      C      D

    10. ,给出下列四个结论: .其中正确结论有  (  B   )

     A.                B.              C.              D.

    11.已知是双曲线的左、右焦点,过的直线与双曲线的左支交于点,若则离心率的取值范围为( A 

    A.            B.           C.       D.

    12. 已知函数与函数图像交点分别为:,则D

    A-2           B0            C2             D4

    二、填空题(每题5分,共20分)

    13.曲线在点处的切线方程为.y=4x-4

    14.已知向量,若,则.5

    15.若过点的直线将圆的周长分为2:1两部分,则直线的斜率为.

    17已知数列满足,则                       .

    三、解答题(17题10分,18-22题每题12分,共70分)

    17.(本小题满分10分)已知函数.

    (1)画出函数在区间上的图像;

    (2)将函数的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数的图像,求函数图像的对称轴和增区间.

    解:(1)列表

    (2)

    对称轴为:

    增区间为:

    18.(本小题满分12分)已知三个内角所对的边分别是,

    .

    1)求角;

    2)若,a>b)的值.

    18.解:(1)由正弦定理得:

    由余弦定理:

    (2)      由正弦定理:.

    由余弦定理:

    因为 a>b,所以

    1. (本小题满分12分)已知数列的前项和为.

    3证明:数列为等差数列;

    4求数列的前项和为.

    19.解:(1)由已知,

    时,

    时,符合上式

    是以13为首项,-3为公差的等差数列.

    2

    1. (本小题满分12分)在长方体中,,分别在棱上,且.

    3求证:平面

    4若二面角的余弦值为,求棱的长.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    21.(本小题满分12分)椭圆的左右焦点分别为,直线,若椭圆过点.

    1)求椭圆的方程;

    2)若为椭圆的左、右顶点,为椭圆上一动点,设直线分别交直线于点,则以线段为直径的圆是否恒过定点,若是,求出该定点坐标;若不恒过定点,说明理由.

     

    21.解: 由已知:   

                              

    椭圆过点

    联立①②得:

    椭圆方程为

    已知

    都有斜率

          

                           

    代入得:

    方程:

    方程:

     

                     

    由对称性可知,若存在定点,

    则该定点必在轴上,

    设该定点为

    则:

     

    存在定点以线段为直径的圆恒过该定点.

     

     

    22. (本小题满分12分)设函数(其中

    1)当 时,求函数的单调区间

    2)当 时,求函数上的最大值

          

     

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