江西省丰城中学、高安二中等六校2021届高三1月联考 数学（理） (含答案) 试卷

www.ks5u.com丰城中学、高安二中、上高二中、樟树中学、新余一中、宜春中学2021届六校联考理科数学试卷命题人：上高二中 审题人：上高二中  2021年元2日本试卷总分值为150分   考试时长120分钟考试范围：高考范围一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若复数，则复数的虚部为（    ）A．－1 B．1 C．－i D．i2．已知集合，，则（    ）A． B．C． D．3．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖．依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑．如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为，则侧棱与底面外接圆半径的比为（    ）A． B． C． D．4．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到抛物线准线距离之和的最小值是（    ）A． B． C． D． 5．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其线性相关系数比较，正确的是（    ）A． B．C． D．6．已知函数，则在处的切线方程为（    ）A．  B． C． D． 7．函数的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（    ）A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个长度单位 D．向左平移个长度单位8．在的展开式中，的系数是（    ）A．20 B． C． D．9．若，则（    ）A． B．或 C．或 D．10．在三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球的表面积是（    ）A． B． C． D． 11．已知点为直线上的动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，，则点到直线的距离的最大值为（    ）A． B． C． D．12．已知函数，若对于任意的，函数在内都有两个不同的零点，则实数的取值范围为（    ）．A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，满足约束条件，则的最小值为______．14．设向量，满足，，且，则__________.15．设，分别是双曲线的左､右焦点，若双曲线右支上存在一点，使，为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为__________.16．在三棱锥中，已知，，，，则三棱锥ABCD体积的最大值是______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17．已知数列中，，（1）求证：是等差数列；（2）若，且数列，数列的前项和为，求的取值范围. 18．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD中点，以AE为折痕把△ADE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．（1）证明：AE⊥PB；（2）若直线PB与平面ABCE所成的角为，求二面角A﹣PE﹣C的余弦值． 19．为了实现中华民族伟大复兴之梦，把我国建设成为富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国，党和国家为劳动者开拓了宽广的创造性劳动的舞台.借此“东风”，某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间和降低夜间温度两种不同方案.为比较两种方案下产量的区别，该农场选取了40间大棚（每间一亩），分成两组，每组20间进行试点.第一组采用延长光照时间的方案，第二组采用降低夜间温度的方案.同时种植该蔬菜一季，得到各间大棚产量数据信息如下图：（1）如果你是该农场的负责人，在只考虑亩产量的情况下，请根据图中的数据信息，对于下一季大棚蔬菜的种植，说出你的决策方案并说明理由；（2）已知种植该蔬菜每年固定的成本为6千元/亩.若采用延长光照时间的方案，光照设备每年的成本为0.22千元/亩；若采用夜间降温的方案，降温设备的每年成本为0.2千元/亩.已知该农场共有大棚100间（每间1亩），农场种植的该蔬菜每年产出两次，且该蔬菜市场的收购均价为1千元/千斤.根据题中所给数据，用样本估计总体，请计算在两种不同的方案下，种植该蔬菜一年的平均利润；（3）农场根据以往该蔬菜的种植经验，认为一间大棚亩产量超过5.25千斤为增产明显.在进行夜间降温试点的20间大棚中随机抽取3间，记增产明显的大棚间数为，求的分布列及期望. 20．已知椭圆的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与圆相切于点，且交椭圆于两点，射线于椭圆交于点，设的面积与的面积分别为.①求的最大值；②当取得最大值时，求的值. 21. 定义在的函数（其中R）.（1）若，求的最大值；（2）若函数在处有极小值，求实数a的取值范围. （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（Ⅰ）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；（Ⅱ）已知点设直线与曲线相交于两点，求的值. 23．已知函数.（1）当时，解不等式；（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围.
丰城中学、高安二中、上高二中、樟树中学、新余一中、宜春中学2021届六校联考理科数学试卷答案BBAC,BDAD,BCDA13． 2       14．    15．      16． 17.解：（1），，，是以为首项，2为公差的等差数列.（2）由（1）可得，所以，因为，所以是递增数列，的最小值为，又因为18．（1）连接BD，设AE的中点为O，∵AB∥CE，AB＝CECD，∴四边形ABCE为平行四边形，∴AE＝BC＝AD＝DE，∴△ADE，△ABE为等边三角形，∴OD⊥AE，OB⊥AE，折叠后，又OP∩OB＝O，∴AE⊥平面POB，又PB⊂平面POB，∴AE⊥PB．（2）在平面POB内作PQ⊥平面ABCE，垂足为Q，则Q在直线OB上，∴直线PB与平面ABCE夹角为∠PBO，又OP＝OB，∴OP⊥OB，∴O、Q两点重合，即PO⊥平面ABCE，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0，），E（，0，0），C（1，，0），∴（，0，），（，，0），设平面PCE的一个法向量为（x，y，z），则，即，令x得（，﹣1，1），又OB⊥平面PAE，∴（0，1，0）为平面PAE的一个法向量，设二面角A﹣EP﹣C为α，则|cosα|＝|cos|，由图可知二面角A﹣EP﹣C为钝角，所以cosα． 19．（1）第一组数据平均数为千斤/亩，第二组数据平均数为千斤/亩，可知第一组方法较好，所以采用延长光照时间的方法；（（2）（i）对于采用延长光照时间的方法：每亩平均产量为千斤.∴该农场一年的利润为千元.（ii）对于采用降低夜间温度的方法：每亩平均产量为千斤，∴该农场一年的利润为千元.因此，该农场若采用延长光照时间的方法，预计每年的利润为426千元；若采用降低夜间温度的方法，预计每年的利润为424千元.（3）由图可知，增产明显的大棚间数为5间，由题意可知，的可能取值有0，1，2，3，；；；.所以的分布列为0123 所以.20．解：（1）由题意设椭圆的上下顶点为，左焦点为，则是等边三角形，所以，则椭圆方程为，将代入椭圆方程，可得，解得，所以椭圆方程为（2）①由直线与圆相切得，则，设，将直线代入椭圆方程得，，，因为，所以，且，所以设点到直线的距离为，所以的面积为，当，得时等号成立，所以的最大值为1②设，由直线与圆相切于点，可得，则，可得，所以，因为，所以，所以21. （1）若，则，求导得，令，得；令，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以取得极大值也是最大值，.（2），其中，令，则，当时，，则函数在上单调递减，又，所以时，，单调递增；时，，单调递减，即在处有极大值，与题干矛盾，故不符合题意；当时，令，则，显然，则在上单调递减，而.①若，，故当时，，此时单调递减，所以，故在单调递减，显然在处不可能有极小值，故不满足题意；②若时，，故当时，，此时单调递增，所以时，，即在单调递减，由（1）知，，即，则，所以，因为，，所以存在使得，则时，，即单调递增，所以时，，即在单调递增，所以在单调递减，在单调递增，故在处取得极小值.综上所述，若在处有极小值，则.22．由可得直线的直角坐标方程为由曲线的参数方程，消去参数可得曲线的普通方程为.易知点在直线上，直线的参数方程为(为参数).将直线的参数方程代入曲线的普通方程，并整理得.设是方程的两根，则有.23．（1）当时，原不等式可化为.①当时，则，所以；②当时，则，所以；⑧当时，则，所以.综上所述：当时，不等式的解集为或.（2）由，则，由题可知：在恒成立，所以，即，即，所以故所求实数的取值范围是.