初中数学九年级竞赛讲义：第26讲-开放性问题评说

第二十六讲   开放性问题评说

    一个数学问题的构成含有四个要素：题目的条件、解题的依据、解题的方法、题目的结论，如果题目所含的四个要素是解题者已经知道，或者结论虽未指明，但它是完全确定的，这样的问题就是封闭性的数学问题．

    开放性问题是相对于封闭性问题而言，从所呈现问题的方式看，有下列几种基本形式：

    1．条件开放题

    称条件不充分或没有确定已知条件的开放性问题为条件开放题，解题时需执果寻因，根据结论和已有的已知条件，寻找使得结论成立的其他条件．

    2．结论开放题

    称结论不确定或没有确定结论的开放性问题为结论开放题，解题时需由因导果，由已知条件导出相应结论．

    3．判断性开放题

称判定几何图形的形状大小、图形的位置关系、方程(组)的解的情况或判定具有某种性质的数学对象是否存在的开放题问题称为判断性开放题，解题的基本思路是：由已知条件及知识作出判断，然后加以证明．

【例题求解】

【例1】 如图，⊙O与⊙O1外切于点T，PT为其内公切线，AB为其外公切线，且A、B为切点，AB与PT相交于点P，根据图中所给出的已知条件及线段，请写出一个正确结论，并加以证明．                                          

思路点拨 为了能写出更多的正确结论，我们可以从以下几分角度作探索，线段关系，角的关系、三角形的关系及由此推出的相应结论．

注：明确要求将数学开放性题作为中考试题，还是近一二年的事情．开放性问题没有明确的目标和解题方向，留有极大的探索空间．

  解开放性问题，不具有定向的解题思路，解题时总要有合情合理、实事求是的分析，要把归纳与演绎协调配合起来，把直觉发现与逻辑推理相互结合起来，把一般能力和数学能力  同时发挥出来．杭州市对本例评分标准是以正确结论的难易程度为标准灵活打分，分值直接反映考生的能力及创新性． 

【例2】 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，A是BD的中点，过A点的切线与CB的延长线交于点E．

    (1)求证：AB·DA=CO·BE；

    (2)若点E在CB延长线上运动，点A在BD上运动，使切线EA变为割线EFA，其他条件不变，问具备什么条件使原结论成立? (要求画出示意图，注明条件，不要求证明) 

思路点拨  对于(2)，能画出图形尽可能画出图形，要使结论AB·DA=CD·BE成立，即要证△ABE∽△CDA，已有条件∠ABE=∠CDA，还需增加等角条件，这可由多种途径得到．

注：许多开放性问题解题思路也是开放的(多角度、多维度思考)，探索的条件或结论并不惟一．故解开放性问题，应尽可能深入探究，发散思维，提高思维的品质，切忌入宝山而空返．

【例3】(1)如图1，若⊙O1与⊙O2外切于A，BC是⊙O1与⊙O2外公切线，B、C为切点，求证：AB⊥AC．

    (2)如图2，若⊙O1与⊙O2外离，BC是⊙O1与⊙O2的外公切线，B、C为切点，连心线O1 O2分别交⊙O1、⊙O2于M、N，BM、CN的延长线交于P，则BP与CP是否垂直?证明你的结论．

(3)如图3，若⊙O1与⊙O2相交，BC是⊙O1与⊙O2的公切线，B、C为切点，连心线O1 O2分别交⊙O1、⊙O2于M、N，Q是线段MN上一点，连结BQ、CQ，则BQ与CQ是否垂直?证明你的结论．

思路点拨  本例是在基本条件不变的情况下，通过运动改变两圆的位置而设计的，在运动变化中，结论可能改变或不变，关键是把(1)的证法类比运用到(2)、(3)问题中．

注：开放性问题还有以下呈现方式：

   (1)先提出特殊情况进行研究，再要求归纳猜测和确定一般结论；

 (2)先对某一给定条件和结论的问题进行研究，再探讨改变条件时其结论应发生的变化，或改变结论时其条件相应发生的变化．

【例4】 已知直线 (>0)与轴、轴分别交于A、C两点，开口向上的抛物线过A、C两点，且与轴交于另一点B．

    (1)如果A、B两点到原点O的距离AO、BO满足AO＝3BO，点B到直线AC的距离等于，求这条直线和抛物线的解析式；

    (2)是否存在这样的抛物线，使得tan∠ACB=2，且△ABC外接圆截得轴所得的弦长等于5？若存在，求出这样的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

思路点拨  (1)通过“点B到直线AC的距离等于”，利用等积变换求出A、B两点的距离；(2)先假设存在这样的抛物线，再由条件推理计算求得，最后加以验证即可．

注：解存在性开放问题的基本方法是假设求解法，即假设存在→演绎推理→得出结论(合理或矛盾)．

【例5】 如图，这些等腰三角形与正三角形的形状有差异，我们把它与正三角形的接近程度称为“正度”．在研究“正度”时，应保证相似三角形的“正度”相等．

    设等腰三角形的底和腰分别为、，底角和顶角分别为、．要求“正度”的值是非负数．

    同学甲认为：可用式子来表示“正度”，的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；

同学乙认为：可用式子来表示“正度”，的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形．

  探究：（1）他们的方案哪个较为合理，为什么?

        (2)对你认为不够合理的方案，请加以改进(给出式子即可)；

       （3）请再给出一种衡量“正度”的表达式．          

思路点拨  通过阅读，正确理解“正度”这个新概念，同时也要抓住“在研究‘正度’时，应保证相似三角形的‘正度’相等”这句话的实质，可先采取举实例加深对“正度”的理解，再判断方案的合理性并改进方法．

注：（1）解结论开放题往往要充分利用条件进行大胆而合理的猜想，通过观察、比较、联想、猜测、推理和截判断等探索活动，发现规律，得出结论．

   （2） 阅读是学习的重要途径，在这种阅读型研究性问题中，涌现了许多介绍新的知识和新的研究方法的问题，能极大地开阔我们的视野．

（3）研究性学习是课程改革的一个亮点，研究性学习是美国芝加哥大学教授施瓦布在《作为探究的科学教学》的演讲时提出的．他主张引导学生直接用科学研究的方式进行教学，即设定情境、提出问题、分析问题、设计实验、验证假设、分析结果、得出结论．研究性问题是近年中考中出现的一种新题型，它要求我们适应新情况，通过实践，增强探究和创新意识，学习科学研究方法．

学力训练

1．如图，是四边形ABCD的对称轴，如果AD∥BC，有下列结论：

    ①AB∥CD，②AB=BC；③AB⊥BC；④AO=OC．

    其中正确的是             ．

(把你认为正确的结论的序号都填上)                  

2．如图，是一个边长为的小正方形与两个长、宽分别为、的小矩形ABCD，则整个图形可表达出一些有关多项式分解因式的等式，请你写出其中任意三个等式：①         ；②             ；③               ．

3．有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：

  甲：对称轴是直线；

  乙：与轴两个交点的横坐标都是整数；

  丙：与轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．

  请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：                     ．

4．如图，已知AB为⊙O的直径，直线与⊙O相切于点D，AC⊥于C，AC交⊙O于点E，DF⊥AB于F．

   (1)图中哪条线段与BF相等?试证明你的结论；

   (2)若AE=3，CD=2，求⊙O的直径．

5．在一个服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料(如图)．现找出其中的一种，测得∠C=90°，AC=BC=4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABC的边上，且扇形的弧与△ABC的其他边相切，请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径(只要求画出图形，并直接写出扇形半径)．

6．如图，抛物线与x轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)( x1<0<x2)，与y轴交于点C(0，-2)，若OB=4OA，且以AB为直径的圆过C点．

    (1)求此抛物线的解析式；

    (2)若点D在此抛物线上，且AD∥CB．

    ①求D点的坐标；

    ②在x轴下方的抛物线上，是否存在点P使得△APD的面积与四边形ACBD的面积相等?若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

7．给定四个命题：①sinl5°与sin75°的平方和为1；②函数的最小值为-10；③；④，则x=10”，其中错误的命题的个数是          ．

8．①在实数范围内，一元二次方程的根为；②在△ABC中，若AC2+BC2>AB2，则△ABC是锐角三角形；③在△ABC和△AB1C1中，、、分别为△ABC的三边，、、分别为△AB1C1的三边，若>，>，>，则△ABC的面积大S于△AB1C1的面积S1．以上三个命题中，真命题的个数是(    )

    A．0         B．1       C．2        D．3

9．已知：AB是⊙O的直径，AP、AQ是⊙O的两条弦，如图1，经过B做⊙O的切线，分别交直线AP、AQ于点M、N．可以得出结论AP·AM＝AQ·AN成立．

    (1)若将直线向上平行移动，使直线与⊙O相交，如图2所示，其他条件不变，上述结论是否成立?若成立，写出证明，若不成立，说明理由；

    (2)若将直线继续向上平行移动，使直线与⊙O相离，其他条件不变，请在图3上画出符合条件的图形，上述结论成立吗?若成立，写出证明；若不成立，说明理由．

10．如图，已知圆心A(0，3)， A与轴相切，⊙B的圆心在轴的正半轴上，且⊙B与⊙A外切于点P，两圆的公切线MP交轴于点M，交轴于点N．

（1）若sin∠OAB=，求直线MP的解析式及经过M、N、B三点的抛物线的解析式；

(2)若A的位置大小不变，⊙B的圆心在轴的正半轴上移动，并使⊙B与⊙A始终外切，过M作⊙B的切线MC，切点为C在此变化过程中探究：

①四边形OMCB是什么四边形，对你的结论加以证明；

②经过M、N、B点的抛物线内是否存在以BN为腰的等腰三角形?若存在，表示出来；若不存在，说明理由．                                    (山西省中考题)

11．有一张矩形纸片ABCD，E、F、分别是BC、AD上的点(但不与顶点重合)，若EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，设AB=，AD=，BE=．

    (1)求证：AF=EC；

    (2)用剪刀将该纸片沿直线EF剪开后，再将梯形纸片ABEF沿AB对称翻折，平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，一腰落在DC的延长线上，拼接后，下方梯形记作EE'B'C．

  ①当为何值时，直线E'E经过原矩形的一个顶点?

②在直线E'E经过原矩形的一个顶点的情形下，连结BE'，直线BE'与EF是否平行?你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，试探究当与有何种数量关系时，它们就垂直?

12．(1)证明：若取任意整数时，二次函数总取整数值，那么，、、都是整数．   

(2)写出上述命题的逆命题，且证明你的结论．    

13．已知四边形ABCD的面积为32，AB、CD、AC的长都是整数，且它们的和为16．

    (1)这样的四边形有几个?

(2)求这样的四边形边长的平方和的最小值．      

参考答案