初中数学九年级竞赛讲义：第01讲-走进追问求根公式
展开第一讲 走进追问求根公式
形如（）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。
求根公式内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。
【例题求解】
【例1】满足的整数n有 个。
思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。
【例2】设、是二次方程的两个根，那么的值等于（ ）
A、一4 B、8 C、6 D、0
思路点拨：求出、的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如，。
【例3】 解关于的方程。
思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分及两种情况讨论。
【例4】 设方程，求满足该方程的所有根之和。
思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解。
【例5】 已知实数、、、互不相等，且， 试求的值。 思路点拨：运用连等式，通过迭代把、、用的代数式表示，由解方程求得的值。
注：一元二次方程常见的变形形式有：
(1)把方程（）直接作零值多项式代换；
(2)把方程（）变形为，代换后降次；
(3)把方程（）变形为或，代换后使之转化关系或整体地消去。
解合字母系数方程时，在未指明方程类型时，应分及两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如。
走进追问求根公式学历训练
1、已知、是实数，且，那么关于的方程的根为 。
2、已知，那么代数式的值是 。
3、若，，则的值为 。
4、若两个方程和只有一个公共根，则( )
A、 B、 C、 D、
5、当分式有意义时，的取值范围是( )
A、 B、 C、 D、且
6、方程的实根的个数是( ) A、0 B、1 C、2 D、3
7、解下列关于的方程：
(1)； (2)； (3)。
8、已知，求代数式的值。
9、是否存在某个实数m，使得方程和有且只有一个公共的实根?如果存在，求出这个实数m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由。注： 解公共根问题的基本策略是：当方程的根有简单形式表示时，利用公共根相等求解，当方程的根不便于求出时，可设出公共根，设而不求，通过消去二次项寻找解题突破口。
10、若，则＝ 。
11、已知、是有理数，方程有一个根是，则的值为 。
12、已知是方程的一个正根。则代数式的值为 。
13、对于方程，如果方程实根的个数恰为3个，则m值等于( )
A、1 B、2 C、 D、2．5
14、自然数满足，这样的的个数是( )
A、2 B、1 C、3 D、4
15、已知、都是负实数，且，那么的值是( )
A、 B、 C、 D、
16、已知，求的值。
17、已知m、n是一元二次方程的两个根，求的值。
18、在一个面积为l的正方形中构造一个如下的小正方形：将正方形的各边等分，然后将每个顶点和它相对顶点最近的分点连结起来，如图所示，若小正方形面积为，求的值。
19、已知方程的两根、也是方程的根，求、的值。
20、如图，锐角△ABC中，PQRS是△ABC的内接矩形，且S△ABC=S矩形PQRS，其中为不小于3的自然数．求证：需为无理数。
参考答案
