冀教版八年级下册22.3 三角形的中位线获奖课件ppt

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A,B两地被一建筑物隔开不能直接到达,A,B两地的距离应如何测量?通过本节课的学习我们将有一种新的方法来测量A,B两地的距离.　　
方法:先选定能直接到达A,B两地的点C,再分别取AC,BC的中点D,E,量出DE的长,就可以求出A,B两地的距离,你知道其中的道理吗?
活动1　三角形的中位线
在三角形ABC中,若D是BC的中点,则AD是三角形ABC的中线.若E,F分别是AB,AC的中点,则EF是三角形的中位线.1.如何用语言表述三角形的中位线?2.一个三角形有几条中位线?请指出来.
三角形的中线与三角形的中位线的区别:三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段.三角形的中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段.
【观察猜想】三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段,那么它与第三边具有怎样的数量关系和位置关系呢?
如图所示,DE为△ABC的中位线,DE与BC具有怎样的数量关系和位置关系呢?
方法一(测量法):1.任意画一个三角形并画出它的一条中位线.2.分别量出中位线和第三边的长度.3.量出所画图形中一组同位角的度数.4.你发现了什么?
方法二(裁剪拼接法):1.剪一个三角形,记作△ABC.2.分别找到边AB和AC的中点D,E,连接DE.3.沿DE把△ABC剪成两部分.4.把剪成的两部分图形重新拼接.5.新拼接的四边形是什么特殊的四边形?
拼接的过程如图所示,将△ADE绕点E旋转180°后得到△CFE,于是拼接成四边形BCFD,那么四边形BCFD是什么特殊的四边形呢?试着说明理由.
思考:DE与BC之间的位置关系和数量关系是怎样的?
三角形的中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.
图所示,在△ABC中,D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,AC=12,BC=16.求四边形DECF的周长.
分析:可由三角形的中位线定理得到DF∥EC,DE∥FC,从而证出四边形DECF是平行四边形,然后根据平行四边形的性质求解.
解:∵D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,∴DF∥EC,DE∥FC,∴四边形DECF是平行四边形,
∴CE=DF= BC=8,CF=DE= AC=6,∴所求四边形DECF的周长为28.
(教材第131页例题)已知:如图所示,在四边形ABCD中,AD=BC,P为对角线BD的中点,M为DC的中点,N为AB的中点.求证△PMN是等腰三角形.
分析:要证△PMN是等腰三角形就是要证三条边中有两条边相等,可借助三角形的中位线定理进行证明.
证明:在△ABD中,∵N,P分别为AB,BD的中点,∴PN= AD.同理PM= BC.
又∵AD=BC,∴PN=PM.∴△PMN是等腰三角形.
分析:因为四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形,所以连接AC或BD,构造利用“三角形的中位线定理”的基本图形后,此题便可得证.
已知:如图所示,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,求证四边形EFGH是平行四边形.
证明:连接AC(如图所示),
∵G,H分别是CD,DA的中点,∴HG∥AC,HG= AC(三角形的中位线定理).
同理EF∥AC,EF= AC.∴HG∥EF,且HG=EF.∴四边形EFGH是平行四边形.
【结论】　顺次连接四边形四条边的中点,所得的四边形是平行四边形.
1.(2016·厦门中考)如图所示,DE是△ABC的中位线,过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F,则下列结论正确的是(　　)A.EF=CFB.EF=DEC.CFDE
解析:∵DE是△ABC的中位线,∴E为AC的中点,∴AE=EC.∵CF∥BD,∴∠ADE=∠F.在△ADE和△CFE中, ∴△ADE≌△CFE(AAS),∴DE=FE.故选B.
2.(2016·河南中考)如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,AB=10,DE垂直平分AC交AB于点E,则DE的长为(　　)A.6B.5C.4D.3
解析:∵在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=8,AB=10,∴BC=6.又∵DE垂直平分AC交AB于点E,∴DE是△ACB的中位线,∴DE= BC=3.故选D.
3.(2016·陕西中考)如图所示,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6.若DE是△ABC的中位线,延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F,则线段DF的长为(　　)A.7B.8C.9D.10
解析:在Rt△ABC中,∵∠ABC=90°,AB=8,BC=6,∴AC= =10,∵DE是△ABC的中位线,∴DE∥BM,DE= BC=3,∴∠EFC=∠FCM.∵∠FCE=∠FCM,∴∠EFC=∠ECF,∴EC=EF= AC=5,∴DF=DE+EF=3+5=8.故选B.
4.如图所示,平行四边形ABCD中,AD=10,点P为BC上任意一点,分别连接AP,DP,E,F,G,H分别为AB,AP,DP,DC的中点,则EF+GH的值为(　　)
A.10B.5 C.2.5D.无法确定
解析:在平行四边形ABCD中,BC=AD=10.∵E,F,G,H分别为AB,AP,DP,DC的中点,∴EF是△ABP的中位线,GH是△DPC的中位线,∴EF+GH= BP+ PC= BC=5.故选B.
5.如图所示,等边三角形ABC的边长是2,D,E分别为AB,AC的中点,延长BC至点F,使CF= BC,连接CD和EF.(1)求证DE=CF;(2)求EF的长.
解析:(1)直接利用三角形的中位线定理得出DE= BC,进而得出DE=FC;(2)利用平行四边形的判定与性质得出DC=EF,进而利用等边三角形的性质以及勾股定理求出EF的长.
证明:(1)∵D,E分别为AB,AC的中点,∴DE∥BC,且DE= BC.∵延长BC至点F,使CF= BC,∴DE∥FC,即DE=CF.
解:(2)∵DE∥FC,∴四边形DEFC是平行四边形,∴DC=EF.∵D为AB的中点,AB=2,∴AD=BD=1,CD⊥AB.在Rt△CBD中,BC=2,
6.在△ABC中,AD平分∠BAC,BD⊥AD,垂足为D,过点D作DE∥AC,交AB于E. (1)求证AE=DE; (2)若AB=8,求线段DE的长.
解析:(1)欲证明AE=DE,只需证明∠EAD=∠EDA;(2)证明DE为直角三角形ABD斜边的中线,即可解决问题.
证明:(1)∵AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠CAD.∵DE∥AC,∴∠EDA=∠CAD,∴∠EAD=∠EDA,∴AE=DE.
解:(2)由(1)知,∠EAD=∠EDA.∵BD⊥AD,∴∠EBD+∠EAD=∠BDE+∠EDA=90°,∴∠EBD=∠BDE,∴DE=BE.
又由(1)知AE=DE,∴DE= AB= ×8=4.
7.如图所示,在△ABC中,AB=4,AC=3,AD,AE分别是△ABC的角平分线和中线,过点C作CG⊥AD于F,交AB于G,连接EF,求线段EF的长.
解析:首先证明△AGF≌△ACF,则AG=AC=3,GF=CF,证得EF是△BCG的中位线,由三角形的中位线定理即可求解.
解:∵AD是△ABC的角平分线,∴∠GAF=∠CAF.
在△AGF和△ACF中,
∴△AGF≌△ACF,∴AG=AC=3,GF=CF.∴BG=AB-AG=4-3=1.
又∵AE是△ABC的中线,∴BE=CE,∴EF是△BCG的中位线,∴EF= BG= .
8.已知直角三角形ABC中,∠B=90°,AB=8,BC=6,BM为中线,△BMN为等腰三角形(点N在AB边或AC边上,且不与顶点重合),求S△BMN.
解析:先根据勾股定理求得AC的长,然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得BM= AC=5,通过作辅助线利用三角形的面积公式求解.
解:在直角三角形ABC中,AC= =10.∵BM为中线,∴BM=CM=AM= AC=5.
当N在AB边上时,且BM=BN=5,过点M作MG⊥AB于点G.∵M是AC的中点,且MG∥BC,∴MG是△ABC的中位线,∴MG= BC= ×6=3,
= BN·MG= ×5×3= .
当N在AC边上时,过点B作BD⊥AC于点D,则BD= =4.8.
在直角三角形BMD中,DM= =1.4.
则 = BD·DM= ×4.8×1.4=3.36.
∵△BMN是等腰三角形,