高中 数学 期末专区 高二上册 期末专题03 直线与圆、圆与圆位置关系（知识点串讲）
展开专题03 直线与圆、圆与圆的位置关系（知识点串讲）
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重难点突破
知识点一 圆的标准方程与一般方程
定义 | 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 | |
标准 方程 | (x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r＞0) | 圆心C：(a，b) |
半径：r | ||
一般 方程 | x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0) | 圆心： |
半径：r＝ | ||
例1.（成都七中2020年高二上半期考试）圆经过三点：，，.
（1）求圆的方程；
（2）求圆与圆:的公共弦的长.
【变式训练1-1】．（成都七中2020年高二上半期考试）如果实数x,y满足，那么的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】．（四川成都华西中学2020年高二11月月考）在平面直角坐标系中，曲线围成的图形的面积为
知识点二 直线与圆的位置关系（相交、相切与相离）
(1)三种位置关系：相交、相切、相离．
(2)圆的切线方程的常用结论
①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2；
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；
③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
例2.（四川成都华西中学2020年高二11月月考）已知圆，
（1）求过点的圆的切线方程；
（2）直线过点且被圆截得的弦长最短时，求直线的方程；
（3）过点的直线与圆于不同的两点、，线段的中点的轨迹为，直线与曲线只有一个交点，求的值.
【变式训练2-1】．（2020湖南衡阳二中高二月考）已知过点P(2,2) 的直线与圆相切, 且与直线垂直, 则（ ）
A． B．1 C．2 D．
【变式训练2-2】．（四川成都华西中学2020年高二11月月考），且有四个子集，则的取值范围是_______．
知识点三 圆的综合应用
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0).
方法 位置关系 | 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 | 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 |
外离 | d>r1＋r2 | 无解 |
外切 | d＝r1＋r2 | 一组实数解 |
相交 | |r1－r2|<d<r1＋r2 | 两组不同的实数解 |
内切 | d＝|r1－r2|(r1≠r2) | 一组实数解 |
内含 | 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) | 无解 |
例3.（四川成都华西中学2020年高二11月月考）圆与圆的公切线条数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练3-1】．（成都七中2020年高二上半期考试）圆：与圆：的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
【变式训练3-2】．如图，已知圆，圆．过原点的直线与圆，的交点依次是，，．
（1）若，求直线的方程；
（2）若线段的中点为，求点的轨迹方程．
专题03 直线与圆、圆与圆的位置关系（知识点串讲）
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重难点突破
知识点一 圆的标准方程与一般方程
定义 | 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 | |
标准 方程 | (x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r＞0) | 圆心C：(a，b) |
半径：r | ||
一般 方程 | x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0) | 圆心： |
半径：r＝ | ||
例1.（成都七中2020年高二上半期考试）圆经过三点：，，.
（1）求圆的方程；
（2）求圆与圆:的公共弦的长.
【答案】（1） （2）．
【解析】
设圆方程为：.∵圆过，，，
∴解得，，，
∴圆方程为：.
（2）圆的一般方程为：，两圆方程相减，得相交弦所在直线为：.∴到直线距离，
∴相交弦长.
【变式训练1-1】．（成都七中2020年高二上半期考试）如果实数x,y满足，那么的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】 D．
【解析】
由得，∴表示圆上的点（x,y）与坐标原点(0,0）连线的斜率，故当连线与圆切于第一象限时斜率最大，设设倾斜角为，此时,从而,∴,故选D．
【变式训练2-1】．（四川成都华西中学2020年高二11月月考）在平面直角坐标系中，曲线围成的图形的面积为
【答案】
【解析】因为，所以（1）即，
得；（2）即，得；
（3）即，得；（4）
即，得，所以曲线围成的图形是四个半径为的圆，面积为。
知识点二 直线与圆的位置关系（相交、相切与相离）
(1)三种位置关系：相交、相切、相离．
(2)圆的切线方程的常用结论
①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2；
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；
③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
例2.（四川成都华西中学2020年高二11月月考）已知圆，
（1）求过点的圆的切线方程；
（2）直线过点且被圆截得的弦长最短时，求直线的方程；
（3）过点的直线与圆于不同的两点、，线段的中点的轨迹为，直线与曲线只有一个交点，求的值.
【答案】（1）（2）（3）或
【解析】
（1）由圆得，即表示以为圆心，以为半径的圆，当切线的斜率不存在时，切线方程为符合题意.
当切线的斜率存在时，设切线斜率为，则切线方程为，即所以，圆心到切线的距离等于半径，即，
解得，，所以切线方程为，即.
综上可得，圆的切线方程为或
（2）当直线时，弦长最短，此时直线方程为.
（3）因为点在圆上，依题意，得，设点，且为线段的中点，所以，所以，所以化简得，，由于点在圆内，去除点，所以，
因为直线与曲线只有一个交点，所以圆心到直线的距离或，所以或.
【变式训练2-1】．（2020湖南衡阳二中高二月考）已知过点P(2,2) 的直线与圆相切, 且与直线垂直, 则（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】C
【解析】设过点的直线的斜率为，则直线方程，即，由于和圆相切，故，得，由于直线与直线，因此，解得，故答案为C.
【变式训练2-2】．（四川成都华西中学2020年高二11月月考），且有四个子集，则的取值范围是_______．
【答案】 ．
【解析】
A集合中点所在方程为，即椭圆的上半部分
B集合中点所在方程为，即过定点的动直线
有四个子集即直线与半椭圆有两个交点
如图，临界情况为直线过椭圆右顶点和直线与椭圆相切，分别记为，，对应的斜率
分别为，，则，联立，得，
令可得，或（舍）
故直线应在，之间，即，．
知识点三 圆的综合应用
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0).
方法 位置关系 | 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 | 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 |
外离 | d>r1＋r2 | 无解 |
外切 | d＝r1＋r2 | 一组实数解 |
相交 | |r1－r2|<d<r1＋r2 | 两组不同的实数解 |
内切 | d＝|r1－r2|(r1≠r2) | 一组实数解 |
内含 | 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) | 无解 |
例3.（四川成都华西中学2020年高二11月月考）圆与圆的公切线条数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】 B．
【解析】
两圆圆心距为5，两圆半径，，∵，∴两圆相交，公切线条数为．故选B．
【变式训练3-1】．（成都七中2020年高二上半期考试）圆：与圆：的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
【答案】 C．
【解析】
由题意得，两圆半径分别为，，而两圆的圆心距为，故选C．
【变式训练3-2】．如图，已知圆，圆．过原点的直线与圆，的交点依次是，，．
（1）若，求直线的方程；
（2）若线段的中点为，求点的轨迹方程．
【解析】（1）设直线的方程为：，，到直线的距离为，，
由条件，即，
所以，整理，得，解得或.
所以直线的方程为：或.
（2）设，则由消去，得
解得，．其中．
所以.
由消去，得，
解得，.其中
所以.
设，则，消去，得：. （挖去点和）
