高中数学讲义微专题94 极坐标与参数方程 学案

www.ks5u.com微专题94 极坐标与参数方程

    极坐标与参数方程在高考中常以填空或选择的形式出现，在知识上结合解析几何，考查学生曲线方程的转化能力，以及解析几何的初步技能。题目难度不大，但需要学生能够快速熟练的解决问题

一、基础知识：

（一）极坐标：

1、极坐标系的建立：以平面上一点为中心（作为极点），由此点引出一条射线，称为极轴，这样就建立了一个极坐标系

2、点坐标的刻画：用一组有序实数对确定平面上点的位置，其中代表该点到极点的距离，而表示极轴绕极点逆时针旋转至过该点时转过的角度，通常：

3、直角坐标系与极坐标系坐标的互化：如果将极坐标系的原点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴重合，则同一个点可具备极坐标和直角坐标，那么两种坐标间的转化公式为：，由点组成的直角坐标方程与极坐标方程也可按照此法则进行转化，例如：极坐标方程（在转化成时要设法构造 ，然后进行整体代换即可）

（二）参数方程：

1、如果曲线中的变量均可以写成关于参数的函数，那么就称为该曲线的参数方程，其中称为参数

2、参数方程与一般方程的转化：消参法

（1）代入消参：

（2）整体消参：，由可得：

（3）平方消参：利用消去参数

例如：

3、常见图形的参数方程：

（1）圆：的参数方程为：，其中为参数，其几何含义为该圆的圆心角

（2）椭圆：的参数方程为，其中为参数，其几何含义为椭圆的离心角

（3）双曲线：的参数方程为，其中为参数，其几何含义为双曲线的离心角

（4）抛物线：的参数方程为，其中为参数

（5）直线：过，倾斜角为的直线参数方程为，其中代表该点与的距离

注：对于极坐标与参数方程等问题，通常的处理手段是将方程均转化为直角坐标系下的一般方程，然后利用传统的解析几何知识求解

二、典型例题：

例1：已知直线参数方程为，圆的参数方程为，则圆心到直线的距离为____________

思路：将参数方程转化为一般方程：

所以圆心为，到直线的距离为：

答案：

例2：以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，点的极坐标为，曲线的参数方程为，则曲线上的点到点距离的最大值为___________

思路：，故曲线上距离最远的距离为到圆心的距离加上半径，故

答案：

例3：已知在平面直角坐标系中圆的参数方程为：，以为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为，则圆截直线所得弦长为__________

思路：圆的方程为：，对于直线方程，无法直接替换为，需构造再进行转换：

再求出弦长即可：

答案：

例4：已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为_____________

思路：曲线方程为，

联立方程可解得：或（舍）

由可得：   所以，坐标为

答案：

例5：在极坐标系中，直线与曲线相交于两点，且，则实数的值为_____________

思路：先将直线与曲线转化为直角坐标方程：，曲线，所以问题转化为直线与圆相交于，且，利用圆与直线关系可求得圆心到直线距离即，解得或

答案：或

例6：以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为，它与曲线（为参数）相交于两点，则_________

思路：先将两个方程转化为直角坐标系下的普通方程。对于，这种特殊的极坐标方程可以考虑数形结合来确定直线：即，曲线消参后可得：即圆心是，半径为的圆，所以，

答案：

小炼有话说：对于形如的极坐标方程，可以作出图像并根据图像得到直角坐标方程，或者可以考虑对赋予三角函数，然后向直角坐标进行转化：

例7：在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，则两曲线交点间的距离是______________

思路：将转变为直角坐标系的普通方程。，则为直线与双曲线位置关系，联立方程，利用韦达定理求得弦长即可

解：    

的方程为

联立方程可得： 代入消去可得：

设交点  则

答案：

例8：已知曲线的极坐标方程分别为，其中，则曲线交点的极坐标为_______

思路一：按照传统思路，将转变为直角坐标系的普通方程，求出交点坐标后再转换为极坐标

解：

或

将两个点转化为极坐标分别为，因为，所以只有符合条件

思路二：观察到所给方程形式简单，且所求也为极坐标，所以考虑直接进行极坐标方程联立求解

解：代入消去可得：

交点坐标为

小炼有话说：（1）思路一中规中矩，但解题过程中要注意原极坐标方程对的限制条件

（2）思路二有些学生会对联立方程不很适应，要了解到极坐标中的本身是实数，所以关于它们的方程与方程一样，都是实数方程，所以可以用实数方程的方法去解根，只是由于其具备几何含义（尤其）导致方程形式有些特殊（数与三角函数）。但在本题中，通过代入消元还是容易解出的

例9：已知在极坐标系中，为极点，圆的极坐标方程为，点的极坐标为，则的面积为___________

思路一：将转变为直角坐标系方程：

，所以，再求出的直角坐标为，则，因为，所以，且，所以

思路二：本题求出后，发现其极坐标为，而，所以可结合图像利用极坐标的几何含义求解，可得，，所以

答案：
小炼有话说：（1）在思路一中面积的求法用向量求解还可以更为简单：

，所以，代入即可

（2）思路二体现了极坐标本身具备几何特点，即长度（）与角，在解决一些与几何相关的问题时，灵活运用极坐标的几何含义往往能达到出奇制胜的效果

例10：在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（其中为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，设点，曲线交于，求的值

思路一：将转化为直角坐标系下普通方程： ，，联立方程，解出坐标，再求出即可

解：

 设

， 

思路二：本题在思路一的基础上通过作图可发现三点共线，则可以考虑将转变为向量的数量积，即，进而向量坐标化后整体代入即可

解：（前面转化方程，联立方程同思路一）设，

由得

思路三：观察到恰好是直线参数方程的定点，且所求恰好是到的距离，所以联系到直线参数方程中参数的几何含义。只需求得对应参数的乘积即可

解：设，则有，，则有

代入到中可得：

所以是方程的两根，整理可得：

答案：

小炼有话说：（1）思路二体现了处理线段模长乘积时，可观察涉及线段是否具备共线特点，如果具备可以将其转化为向量的数量积，从而简化运算，但要注意与图像结合，看好向量是同向还是反向

（2）思路三体现了对直线参数方程中参数几何含义的巧用。在处理两条曲线（其中一条为参数方程）的交点问题时，可以将参数代换掉另一曲线中的得到关于参数的方程。另外在使用直线参数方程时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正余弦值。否则参数不具备几何含义。例如本题中如果参数方程为，则并不代表点到的距离。

三、历年好题精选

1、已知直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以直角坐标系中的原点为极点，轴的非负半轴为极轴，圆的极坐标方程为，则圆心到直线的距离为________

2、（2015，北京）在极坐标系中，点到直线的距离为______

3、（2015，广东）已知直线的极坐标方程为，点的极坐标为，则点 到直线的距离为_______

4、（2015，新课标II）在直角坐标系中，曲线（为参数，），其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线

（1）求交点的直角坐标

（2）若相交于点，相交于点，求的最大值

5、（2015，陕西）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为

（1）写出的直角坐标方程

（2）为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标

习题答案：

1、答案：

解析：可知直线的方程为：，圆的直角坐标方程为，所以圆心到直线的距离为

2、答案：1

解析：点化为直角坐标系坐标为，直线方程为，从而该点到直线的距离为

3、答案：

解析：直线，转化为直角坐标方程为，点的直角坐标为，则到直线的距离为

4、解析：（1）曲线的直角坐标方程分别为：

联立方程：解得：或

交点的直角坐标为

（2）曲线的极坐标方程为 在极坐标系下

，当时取到

5、解析：（1）

直角坐标方程为整理可得：

（2）设，由（1）可得

等号成立条件为，此时

6、答案：

解析：圆的直角坐标方程为：，设直线方程为：，因为，可知，所以为直径，即过圆心，计算可得：，直线方程为，再转化为极坐标方程为