高中数学讲义微专题33 向量的模长问题代数法（含模长习题）

www.ks5u.com微专题33 向量的模长问题——代数法

一、基础知识：

    利用代数方法处理向量的模长问题，主要采取模长平方——数量积和坐标两种方式

1、模长平方：通过可得：，将模长问题转化为数量积问题，从而能够与条件中的已知向量（已知模长，夹角的基向量）找到联系。要注意计算完向量数量积后别忘记开方

2、坐标运算：若，则。某些题目如果能把几何图形放入坐标系中，则只要确定所求向量的坐标，即可求出（或表示）出模长

3、有关模长的不等问题：通常考虑利用“模长平方”或“坐标化”得到模长与某个变量间的函数关系，从而将问题转化为求函数最值问题

二、典型例题

例1：在中，为中点，若，则 _____

思路：题目条件有，进而可求，且可用表示，所以考虑模长平方转化为数量积问题

解：为中点  可得：

代入可求出：  

答案：

例2：若均为单位向量，且，则的最大值为（   ）

A.                B.                 C.                D.

思路：题目中所给条件与模和数量积相关，几何特征较少，所以考虑将平方，转化为数量积问题，再求最值。

解：  ①

  ①转化为

答案：B

例3：平面上的向量满足，且，若，则的最小值为___________

思路：发现所给条件均与相关，且可以用表示，所以考虑进行模长平方，然后转化为的运算。从而求出最小值

解：

   ，代入可得：

答案：

例4：已知平面向量满足，且与的夹角为，则的最小值是（     ）

A.                B.              C.               D. 

思路：题目所给条件围绕着与，所以考虑所求向量用这两个向量进行表示：，从而模长平方变成数量积问题，可得：，将视为一个整体，则可配方求出最小值

解：

答案：A

小炼有话说：本题的关键在于选好研究对象，需要把已知的两个向量视为整体，而不是

例5：已知平面向量的夹角，且，若，则的取值范围是__________

思路：由和夹角范围即可得到的范围，从而可想到将模长平方，再利用转变为关于的问题，从而得到关于夹角的函数，求得范围。

解：

答案：

例6：已知，，则的最小值是（      ）

A.                  B.              C.              D. 

思路：由条件可得，所以考虑将模长平方，从而转化为数量积问题，代入的值可得到关于的二次函数，进而求出最小值

解：  

答案：D

例7：已知直角梯形中，∥，为腰上的动点，则的最小值为__________

思路：所求难以找到其几何特点，所以考虑利用代数手段，在直角梯形中依直角建系，点的纵坐标与梯形的高相关，可设高为，，，则，所以，，即

答案：

例8：如图，在边长为的正三角形中，分别是边上的动点，且满足，其中，分别是的中点，则的最小值为（     ）

A.       B.        C.        D.

思路：等边三角形三边已知，故可以考虑用三边的向量将进行表示，从而模长平方后可写成关于的表达式，再利用即可消元。

解：

答案：C

例9：已知与的夹角为，，，且，, 在时取到最小值。当时，的取值范围是（     ）

A.            B.           C.          D.

思路：本题含两个变量，且已知范围求的范围，所以考虑建立和的关系式，

，从而考虑模长平方，向靠拢，可得：，所以当达到最小值时，，由可得解得，即

解：

时，取得最小值 

   ，所以不等式等价于：

答案：C

例10：已知中，，点是线段（含端点）上的一点，且，则的范围是__________

思路：本题由垂直和模长条件可考虑建系，从而用坐标来使用数量积的条件。如图建系，设，则，设，则由可得，已知条件，所求模长平方后可得，所以问题转化为已知求的最大值。考虑，，寻找两个式子的联系，有，所以，即，从而，而另一方面：由及（符合直线的方程）可得：，所以（时取等号），所以综上可得：

答案：

三、历年好题精选（模长综合）

1、点是的重心，若，则的最小值为__________

2、已知是两个互相垂直的单位向量，且，则对任意的正实数，的最小值为_________

3、已知是单位向量，且，若满足，则的范围是_______

4、在中，，如果不等式恒成立，则实数的取值范围是_____________

5、设直角的三个顶点都在单位圆上，点，则的最大值是（    ）

A．            B．          C．         D．

6、已知向量满足 与的夹角为，，则的最大值为（    ）

A.            B.          C.          D. 

7、（2016，上海五校联考）在平面直角坐标系中，已知圆，点在圆上，且，则的取值范围是_________

8、（2015，湖南）已知点在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（     ）

A.                  B.                 C.                D. 

9、已知为非零向量，，若，当且仅当时，取到最小值，则向量的夹角为_______

10、（2016，重庆万州二中）已知单位向量满足，且，则的取值范围是（   ）

A.            B.          C.          D. 

11、（2016，贵阳一中四月考）已知点是的重心，若，，则的最小值是（    ）

A．           B．           C．             D．

习题答案：

1、答案：

解析：

为的重心，延长交于，则是中线

2、答案：

解析：，代入已知条件可得：

3、答案：

解析：设，因为是单位向量，且，所以为模长是的向量，由已知可得，所以数形结合可知：，从而的范围是

4、答案：

解析：由余弦定理可得：

5、答案：C

解析：由题意，，当且仅当共线同向时，取等号，即取得最大值，最大值是，

6、答案：D

解析：设；

以所在直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，

∵与的夹角为，

则，设

∵

即 表示以为圆心，以1为半径的圆，

表示点A，C的距离即圆上的点与点的距离；

∵圆心到B的距离为，

∴的最大值为．

7、答案：

解析：设，中点

由圆可得：

在以为圆心，半径的圆上

即

8、答案：B

解析：由可知为直径，因为该圆为圆心在原点的单位圆，所以关于原点对称，设，则，设，所以可得：，所以，则，因为在圆上，所以，代入可得，故

9、答案：

解析：，设，因为时，取得最小值，所以的对称轴，所以，所以夹角为

10、答案：D

解析：以为基底建立直角坐标系，可知，设

即到的距离和为，

在线段上，直线方程为

，即线段上动点到定点的距离

通过数形结合可得：  

所以的取值范围是

11、答案：C

解析：，可知，设为底边上的中线，

由重心性质可得：