高中数学讲义微专题34 向量的模长问题几何法
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一、基础知识：
1、向量和差的几何意义：已知向量，则有：
（1）若共起点，则利用平行四边形法则求，可得是以为邻边的平行四边形的对角线
（2）若首尾相接，则利用三角形法则求出，可得，围成一个三角形
2、向量数乘的几何意义：对于
（1）共线（平行）特点：与为共线向量，其中时，与同向；时，与反向
（2）模长关系：
3、与向量模长问题相关的定理：
（1）三角形中的相关定理：设三个内角所对的边为
① 正弦定理：
② 余弦定理：
（2）菱形：对角线垂直平分，且为内角的角平分线
特别的，对于底角的菱形，其中一条对角线将此菱形分割为两个全等的等边三角形。
（3）矩形：若四边形的平行四边形，则对角线相等是该四边形为矩形的充要条件
4、利用几何法求模长的条件：条件中的向量运算可构成特殊的几何图形，且所求向量与几何图形中的某条线段相关，则可考虑利用条件中的几何知识处理模长
二、典型例题：
例1：（2015届北京市重点中学高三8月开学测试数学试卷）已知向量的夹角为，且，则（ ）
A. B. C. D.
思路：本题利用几何图形可解，运用向量加减运算作出如下图形：可知，只需利用余弦定理求出 即可。
解：如图可得：，在中，有：
即：
解得或（舍）
所以，
答案：选
例2：若平面向量两两所成的角相等，且，则等于（ ）
A. B. C. 或 D. 或
思路：首先由两两所成的角相等可判断出存在两种情况：一是同向（如图1，此时夹角均为0），则为 ，另一种情况为两两夹角 （如图2），以为突破口，由平行四边形法则作图得到与夹角相等，（底角为的菱形性质），且与反向，进而由图得到，选C
答案：C
例3：已知向量，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
思路：先作出，即有向线段，考虑，将的起点与重合，终点绕旋转且，则即为的长度，通过观察可得与共线时达到最值。所以，且连续变化，所以的取值范围是
答案：C
例4：设是两个非零向量，且，则_______
思路：可知为平行四边形的一组邻边和一条对角线，由可知满足条件的只能是底角为，边长 的菱形，从而可求出另一条对角线的长度为
答案：
例5：已知为平面向量，若与的夹角为，与的夹角为，则（ ）
A. B. C. D.
思路：可知为平行四边形的一组邻边及对角线，通过作图和平行四边形性质得：在中，，由正弦定理可得：，即
答案：D
例6：已知是单位向量，且的夹角为，若向量满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
思路：本题已知模长且夹角特殊，通过作图可得为模长为，设，则可得且，而可视为以共起点，终点在以起点为圆心，2为半径的圆上。通过数形结合可得的最大值为（此时的终点位于点）
答案：A
例7：在中，，设是的中点，是所在平面内的一点，且，则的值是（ ）
A. B. C. D.
思路：本题的关键在于确定点的位置，从而将与已知线段找到联系，将考虑变形为，即，设，则三点共线，且，所以由平行四边形性质可得：
答案：B
例8：已知向量，对任意的，恒有，则的值为________
思路：本题以作为突破口，通过作图设，为直线上一点，则有。从而可得，即，所以点为直线上到距离最短的线段，由平面几何知识可得最短的线段为到的垂线段。所以，即，所以有
答案：0
小炼有话说：本题若用图形解决，找到在图上的位置和两个向量的联系是关键
例9：已知平面向量满足，且，若向量的夹角为，则的最大值是_________
思路：由条件可得夹角的余弦值，若用代数方法处理夹角的条件，则运算量较大。所以考虑利用图形，设，则，即，从而，可判定四点共圆，则的最大值为四边形外接圆的直径，即的直径。在中，由余弦定理可得：，所以，由正弦定理可得：，即
答案：
小炼有话说：若条件中向量的夹角为特殊角且很难用数量积，模长进行计算时，可考虑寻找几何图形进行求解。
例10：（2010年，浙江，16）已知平面向量满足 ，且与的夹角为，则的取值范围是___________
思路：本题很难找到与数量积相关的条件，那么考虑利用图形辅助求解。从图中可观察到构成，，从而可利用正余弦定理求出即的取值范围
解：在中，由正弦定理可得：
而
答案：的取值范围是
小炼有话说：例题中的部分问题也可采用模长平方的方式，从而转化成为数量积求解。具体解法如下：
例1：解：
，解得
例2：解：
夹角相同
当同向时，可得，所以
当两两夹角时，可得
，所以
综上所述：或
例3：解：
因为 即
例4：解：可得
代入得
例8：解：以为原点，为轴建立直角坐标系。所以，设，则，由可得：，所以
因为为中点
例9：解：
对恒成立
即
，所以
