微专题13　空间角、距离的计算(几何法、向量法)

这是一份微专题13　空间角、距离的计算(几何法、向量法)，共8页。

1.(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，则( )
A.直线BC1与DA1所成的角为90°
B.直线BC1与CA1所成的角为90°
C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°
D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45°
2.(2019·全国Ⅰ卷)已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为eq \r(3)，那么P到平面ABC的距离为________.
3.(2022·新高考Ⅱ卷)如图，PO是三棱锥P－ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E为PB的中点.
(1)证明：OE∥平面PAC；
(2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C－AE－B的正弦值.
4.(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距离为1.
(1)证明：A1C＝AC；
(2)已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值.
【热点突破】
热点一 异面直线所成的角
求异面直线所成角的方法
方法一：几何法.步骤为：①利用定义构造角，可固定一条直线，平移另一条直线，或将两条直线同时平移到某个特殊的位置；②证明找到(或作出)的角即为所求角；③通过解三角形来求角.
方法二：向量法.步骤为：①求出直线a，b的方向向量，分别记为m，n；②计算cs〈m，n〉＝eq \f(m·n,|m||n|)；③利用cs θ＝|cs〈m，n〉|，以及θ∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，求出角θ.
例1 (2023·安康二模)已知三棱锥A－BCD中，AD⊥平面BCD，BD⊥BC，AD＝BD＝1，BC＝2，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为( )
A.－eq \f(\r(10),5) B.eq \f(\r(10),5)
C.eq \f(\r(10),10) D.eq \f(3\r(10),10)
易错提醒 1.利用几何法求异面直线所成的角时，通过平移直线所得的角不一定就是两异面直线所成的角，也可能是其补角.
2.用向量法求异面直线所成的角时，要注意向量夹角与异面直线所成角的范围
不同.
训练1 (1)(2023·长沙调研)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AA1＝6，D为B1B的中点，则A1B与C1D所成角的余弦值为( )
A.eq \f(\r(13),13) B.eq \f(\r(13),6)
C.eq \f(\r(130),26) D.eq \f(\r(130),13)
(2)(2023·重庆模拟)如图，在三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成角的余弦值为( )
A.eq \f(5,6) B.eq \f(6,7)
C.eq \f(7,8) D.eq \f(8,9)
热点二 直线与平面所成的角
求直线与平面所成角的方法
方法一：几何法.步骤为：①找出直线l在平面α上的射影；②证明所找的角就是所求的角；③把这个角置于一个三角形中，通过解三角形来求角.
方法二：向量法.步骤为：①求出平面α的法向量n与直线AB的方向向量eq \(AB,\s\up6(→))；②计算cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，n〉＝eq \f(\(AB,\s\up6(→))·n,|\(AB,\s\up6(→))||n|)；③利用sin θ＝|cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，n〉|，以及θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，求出角θ.
例2 (2023·潍坊模拟)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PC⊥PD，二面角A－CD－P为直二面角.
(1)求证：PB⊥PD；
(2)当PC＝PD时，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.
规律方法 1.几何法求线面角的关键是找出线面角(重点是找垂线与射影)，然后在三角形中应用余弦定理(或勾股定理)求解；
2.向量法求线面角时要注意：线面角θ与直线的方向向量a和平面的法向量n所成的角〈a，n〉的关系是〈a，n〉＋θ＝eq \f(π,2)或〈a，n〉－θ＝eq \f(π,2)，所以应用向量法求的是线面角的正弦值，而不是余弦值.
训练2 (2023·济宁模拟)如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，平面AB1C⊥平面ABCD，DD1＝DA＝A1B1＝eq \f(1,2)AB＝2，∠BAD＝eq \f(π,3).
(1)证明：DD1∥平面AB1C；
(2)若B1A＝B1C，求直线BC1与平面AB1C所成角的正弦值.
热点三 平面与平面的夹角
求平面与平面的夹角方法
方法一：几何法.步骤为：①找出二面角的平面角(以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角)；②证明所找的角就是要求的角；③把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形来求角.求二面角的平面角的口诀：点在棱上，边在面内，垂直于棱，大小确定.
方法二：向量法.步骤为：①求两个平面α，β的法向量m，n；
②计算cs〈m，n〉＝eq \f(m·n,|m|·|n|)；③设两个平面的夹角为θ，
则cs θ＝|cs〈m，n〉|.
例3 (2023·益阳调研)如图，在四棱锥P－ABCD中，AD＝AB＝eq \r(2)，CD＝CB＝eq \r(5)，BD＝2，PB＝PD，E为线段PC上一点，PA∥平面BDE，平面PDB⊥平面ABCD.
(1)求eq \f(PE,PC)；
(2)若三棱锥P－BDE的体积为eq \f(2,3)，求平面EBC与平面DBC夹角的余弦值.
规律方法 1.用几何法求解二面角的关键是：先找(或作)出二面角的平面角，再在三角形中求解此角.
2.利用法向量的依据是两个半平面的法向量所成的角和二面角的平面角相等或互补，在求二面角的大小时，一定要判断出二面角的平面角是锐角还是钝角，否则解法是不严谨的.
训练3 (2023·苏州调研)如图，在三棱锥D－ABC中，DA⊥底面ABC，AC＝BC＝DA＝1，AB＝eq \r(2)，E是CD的中点，点F在DB上，且EF⊥DB.
(1)证明：DB⊥平面AEF；
(2)求平面ADB与平面DBC夹角的大小.
热点四 距离问题
1.空间中点、线、面距离的相互转化关系
2.空间距离的求解方法有：(1)作垂线段；(2)等体积法；(3)等价转化；(4)空间向量法.
例4 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点.求：
(1)点M到直线AC1的距离；
(2)点N到平面MA1C1的距离.
规律方法 1.在解题过程中要对“点线距离”、“点面距离”、“线面距离”与“面面距离”进行适当转化，从而把所求距离转化为点与点的距离，进而解决问题.
2.解决点线距问题注意应用等面积法，解决点面距问题注意应用等体积法.
训练4 (2023·宜春质测)已知三棱柱ABC－A1B1C1为正三棱柱，且AA1＝2，AB＝2eq \r(3)，D是B1C1的中点，则点B到平面AB1D的距离为( )
A.eq \f(3\r(13),13) B.eq \f(6\r(13),13)
C.eq \f(9\r(13),13) D.eq \f(12\r(13),13)