高中数学讲义微专题29 图像变换在三角函数中的应用
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在高考中涉及到的三角函数图像变换主要指的是形如的函数，通过横纵坐标的平移与放缩，得到另一个三角函数解析式的过程。要求学生熟练掌握函数图像变换，尤其是多次变换时，图像变化与解析式变化之间的对应联系。
一、基础知识：
（一）图像变换规律：设函数为（所涉及参数均为正数）
1、函数图像的平移变换：
（1）：的图像向左平移个单位
（2）：的图像向右平移个单位
（3）：的图像向上平移个单位
（4）：的图像向下平移个单位
2、函数图像的放缩变换：
（1）：的图像横坐标变为原来的（图像表现为横向的伸缩）
（2）：的图像纵坐标变为原来的倍（图像表现为纵向的伸缩）
3、函数图象的翻折变换：
（1）：在轴正半轴的图像不变，负半轴的图像替换为与正半轴图像关于轴对称的图像
（2）：在轴上方的图像不变，轴下方的部分沿轴向上翻折即可（与原轴下方图像关于轴对称）
（二）图像变换中要注意的几点：
1、如何判定是纵坐标变换还是横坐标变换？
在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下：
① 若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换
② 若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换
例如：：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤
：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标的为平移变换
2、解析式变化与图像变换之间存在怎样的对应？由前面总结的规律不难发现：
（1）加“常数” 平移变换
（2）添“系数”放缩变换
（3）加“绝对值”翻折变换
3、多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时注意以下原则：
① 横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求
② 横坐标的多次变换中，每次变换只有发生相应变化
例如：可有两种方案
方案一：先平移（向左平移1个单位），此时。再放缩（横坐标变为原来的），此时系数只是添给，即
方案二：先放缩（横坐标变为原来的），此时，再平移时，若平移个单位，则（只对加），可解得，故向左平移个单位
③ 纵坐标的多次变换中，每次变换将解析式看做一个整体进行
例如：有两种方案
方案一：先放缩：，再平移时，将解析式看做一个整体，整体加1，即
方案二：先平移：，则再放缩时，若纵坐标变为原来的倍，那么，无论取何值，也无法达到，所以需要对前一步进行调整：平移个单位，再进行放缩即可（）
二、典型例题：
例1：要得到函数的图像，只需要将函数的图像（ ）
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位
思路：观察发现原始函数与变换后的函数仅仅多一个常数，说明只有平移变换，在变换的过程中要注意只有含的地方进行了变化，所以只有，所以是向右平移个单位
答案：C
小炼有话说：（1）图像变换要注意区分哪个是原始函数，哪个是变化后的函数。
（2）对于前面含有系数时，平移变换要注意系数产生的影响。
例2：把函数的图像上所有的点横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图像向右平移个单位，这是对应于这个图像的解析式是（ ）
A. B. C. D.
思路：，经过化简可得：
答案：A
例3：为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位
思路：观察可发现两个函数的三角函数名不同，而图像变换是无法直接改变三角函数名的，只有一个可能，就是在变换后对解析式进行化简，从而使得三角函数名发生改变。所以在考虑变换之前，首先要把两个函数的三角函数名统一，，第二步观察可得只是经过平移变换，但是受到系数影响。所以考虑对两个函数进行变形以便于观察平移了多少，目标函数：；原函数：
可得平移了个单位
答案：B
小炼有话说：常见的图像变换是不能直接改变三角函数名，所以当原函数与目标函数三角函数名不同时，首先要先统一为正弦或者余弦
例4：要得到的图像只需将的图像（ ）
A. 先向左平移个单位，再将图像上各点的横坐标缩短至原来的
B. 先向右平移个单位，再将图像上各点的横坐标缩短至原来的
C. 先将图像上各点的横坐标缩短至原来的，再将图像向左平移个单位
D. 先将图像上各点的横坐标扩大为至原来的倍，再将图像向右平移个单位
思路：本题中共用两个步骤：平移与放缩。步骤顺序的不同将会导致平移的程度不同，所以可以考虑按照选项的提示进行变换，看结果是否与已知相同
A.
B.
C.
D.
答案：B
例5：为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）
A.向右平移个单位 B.向左平移个单位
C.向右平移个单位 D.向左平移个单位
思路：先将两个函数化为相同的结构，再考虑图像变换，从入手化为的形式：，从而得到需要向左平移个单位。
答案：D
例6：将函数的图像沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则的一个可能取值为（ ）
A． B． C． D．
思路：首先先求出平移后的解析式，
即，在由已知可得其中一条对称轴为，所以 ，解得：，当时，
答案：C
小炼有话说：本题为图像变换与三角函数性质相结合的题目
例7：若将函数的图像向右平移个单位可得到一个奇函数的图像，向左平移个单位可得到一个偶函数的图像，则可取的一组值是（ ）
A. B.
C. D.
思路：本题也可按照例6的处理方式，通过两次平移得出解析式然后列出的方程组求解，但从另一方面，由两次平移后得到的对称轴（对称中心）的位置可以推出平移之前的对称位置，从而确定出原函数的对称轴与对称中心：向右平移个单位后关于对称，则原函数关于中心对称；向左平移个单位关于轴对称，则原函数关于轴对称，从而确定周期，进而，而向右平移个单位得到奇函数，可得
答案：C
例8：若把函数图像向左平移个单位，则与函数的图像重合，则的值可能是（ ）
A. B. C. D.
思路：首先将两个函数的三角函数名统一：，将函数向左平移得到的解析式为，由于两个函数图像重合，可得，所以，解得：，故选择D
答案：D
例9．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象都经过点，则的值可以是（ ）
A. B. C. D.
思路：可以考虑先求出的解析式，从而减少中的变量个数。，而，即，所以，依题意，可得：或，解得：或，只有B符合题意
答案：B
例10：函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
思路：本题分为两步，先根据图像求解析式，再确定图像变换。由图像可得：最小值为，所以，再由对称中心与对称轴距离可得周期，从而。此时，由过可得：，所以，，则需向右平移个单位：
答案：A
三、近年好题精选
1、函数的图像向左平移个单位得函数的图像，则函数的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
2、（2016，陕西八校联考）下图是，在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将的图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
3、（2015，山东）要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位
4、（2014，辽宁）将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数（ ）
A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递增
C. 在区间上单调递减 D. 在区间上单调递增
5、（2014，四川）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（ ）
A. 向左平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度
C. 向左平行移动个单位长度 D. 向右平行移动个单位长度
6、为了得到函数的图像，只需把函数图像上所有点（ ）
A. 向左平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
B. 向左平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍
C. 向左平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
D. 向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
7、把函数的图像上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是（ ）
A. B.
C. D.
习题答案：
1、答案：A
解析：
2、答案：D
解析：由图像可得的周期，所以，另一方面由最值可得，即，由可知，可解得，即。那么。可知按选项D的方式变换即可得到
3、答案：B
解析：，故将向右平移单位即可
4、答案：B
解析：变换后的图像解析式为：，考虑其单增区间：，解得：，B正确
5、答案：A
解析：，故只需将的图像向左平行移动个单位长度
6、答案：A
解析：可知要经过放缩与平移，若先平移，则要先向左移动，再将坐标变为原来的，A符合
7、答案：C
解析：
