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    高中数学讲义微专题07 分段函数的性质与应用
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    高中数学讲义微专题07 分段函数的性质与应用

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    www.ks5u.com微专题07 分段函数的性质与应用

       分段函数是函数中比较复杂的一种函数,其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同,所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化。即分段函数——分段看

    一、基础知识:

    1、分段函数的定义域与值域——各段的并集

    2、分段函数单调性的判断:先判断每段的单调性,如果单调性相同,则需判断函数是连续的还是断开的,如果函数连续,则单调区间可以合在一起,如果函数不连续,则要根据函数在两段分界点出的函数值(和临界值)的大小确定能否将单调区间并在一起。

    3、分段函数对称性的判断:如果能够将每段的图像作出,则优先采用图像法,通过观察图像判断分段函数奇偶性。如果不便作出,则只能通过代数方法比较的关系要注意的范围以代入到正确的解析式

    4、分段函数分析要注意的几个问题

    1)分段函数在图像上分为两类,连续型与断开型,判断的方法为将边界值代入每一段函数(其中一段是函数值,另外一段是临界值),若两个值相等,那么分段函数是连续的。否则是断开的。例如:代入两段解析式,计算结果相同那么此分段函数图像即为一条连续的曲线其性质便于分析再比如 两段解析式结果不同进而分段函数的图像是断开的两段

    2)每一个含绝对值的函数,都可以通过绝对值内部的符号讨论,将其转化为分段函数。例如:可转化为

    5、遇到分段函数要时刻盯住变量的范围,并根据变量的范围选择合适的解析式代入,若变量的范围并不完全在某一段中,要注意进行分类讨论

    6、如果分段函数每一段的解析式便于作图,则在解题时建议将分段函数的图像作出,以便必要时进行数形结合。

     

     

    二、典型例题

    1已知函数,若,则实数_____

    思路:从里向外一层层求值,  

    所以

    答案:

    例2:设函数,则的值为_________

    思路:由解析式可知只有才能得到具体的数值时只能依靠 正数进行靠拢由此可得

     

    答案:

    小炼有话说:含有抽象函数的分段函数,在处理里首先要明确目标,即让自变量向有具体解析式的部分靠拢,其次要理解抽象函数的含义和作用(或者对函数图象的影响)比如在本题中:可以立即为间隔为1的自变量,函数值差1,其作用在于自变量取负数时,可以不断直至取到正数理解到这两点问题自然迎刃而解

    例3:函数则不等式的解集是(     )

    A.                     B.

    C.                                 D.

    思路:首先要把转变为具体的不等式由于是分段函数所以要的范围分类讨论以代入不同的解析式可解得。所以解得所以综上所述

    答案:B

    4已知函数,则不等式的解集是________

    思路:要想解不等式,首先要把转变为具体的表达式观察已知分段函数占据整个括号的位置说明对于函数而言括号里的式子小于0时,代入上段解析式,当括号里的式子大于0时,代入下段解析式。故要对的符号进行分类讨论。(1)当,不等式变为:

    (2)当,不等式变为:

    答案:

    例5:已知函数则不等式的解集为___________

    思路:本题如果通过分类讨论将不等式变为具体不等式求解,则难点有二:一是要顾及的范围则需要分的情况太多二是具体的不等式可能是多项式与指数式混在一起的不等式不易进行求解所以考虑先搁置代数方法去分析的图像性质发现的两段解析式均可作图所以考虑作出的图像从而发现是增函数从而无论在哪个范围从而解得

    答案:

    小炼有话说:含分段函数的不等式在处理上通常是两种方法:一种是利用代数手段,通过对进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解(比如例3,例4)。另一种是通过作出分段函数的图象数形结合利用图像的特点解不等式比如例5)。

    6:已知函数.若,则的取值范围是

    A.             B             C           D

    思路:本题可以对进行分类讨论以将变成具体不等式求解但也可从的特点出发考虑判断的奇偶性通过作图可发现为偶函数所以所解不等式变为再由图像可得只需

    答案:C

    小炼有话说:

    (1)本题判断函数的奇偶性可以简化运算而想到这一点是源于抓住所解不等式中的特点。由此可见,有些题目的思路源于式子中的一些暗示

    (2)由于两段图像均易作出所以在判断奇偶性时用的是图像法。对于某些不易作图的分段函数,在判断奇偶性时就需要用定义法了,下面以本题为例说说定义法如何判断:整体思想依然是找到 只是在代入过程中要注意的范围:设所以为偶函数

    7已知函数,若,则的值域是_______________

    解析:是一个分段函数其分段标准以的大小为界所以第一步先确定好的取值解不等式解得 分别求出每段最值再取并集即可

    答案:

    8已知函数,若单调递增,则实数的取值范围是_________

    思路:若单调增则在上任取均有在任取中就包含均在同一段取值的情况所以可得要想在上单调增起码每一段的解析式也应当是单调递增的由此可得 但仅仅满足这个条件是不够的还有一种取值可能为不在同一段取值若也满足均有,通过作图可发现需要左边函数的最大值不大于右边函数的最小值代入,有左段右端

    综上所述可得:

    答案:

    例9:已知则下列选项错误的是     

     

     

     

     

    A. 的图像                        B. 的图像

    C. 的图像                          D. 的图像

    思路:考虑先作出的图像(如右图所示),再按照选项进行验证即可:A. 向右平移一个单位正确;B. 关于轴对称的图像正确;C. 正半轴图像不变负半轴作与正半轴关于轴对称的图像正确;D. 的图像为轴上方的图像不变下方图像沿轴对称翻折图像均在轴上方所以应与图像相同错误

    答案:D

    例10:函数 则下列结论正确的是    

    A. 函数上为增函数           B. 函数的最小正周期为4

    C. 函数是奇函数                      D. 函数无最小值

    思路:可观察到的图像易于作出所以考虑先作图再看由图像能否判断各个选项如图所示可得:BC选项错误,D选项存在最小值所以D错误A选项是正确的

    答案:A

    小炼有话说:(1)本题利用数形结合是最为简便的方法,一方面是因为本身便于作图,另一方面四个选项在图上也有具体的含义。

    (2)分段函数作图过程中,尤其在函数图象断开时,一定要注意端点处属于哪个解析式。本题中就属于部分所以才存在最小值

    三、近年模拟题题目精选

    1、已知函数,则______

    2已知,若,则__________.

    3、(2016,湖州中学期中)函数,若,则实数的取值范围为  

    A.           B.           C.          D.

    4、已知,则的解集为______________

    5、(2015,北京)设函数

    的最小值为________

    恰有2个零点,则实数的取值范围是__________ 

    6、(2015,福建)若函数的值域是则实数的取值范围是___________

    72015,新课标II)设函数  

    A.                B.               C.                D. 

    8、(2015,山东)设函数则满足的取值范围是 

    A.              B.             C.            D.

    9、已知函数的值域是     

    A.             B.           C.        D.

    10、已知函数无论为何值函数上总是不单调的取值范围是____________

    11、已知则使不等式成立的还应满足的条件为    

    A.           B.            C.           D.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    习题答案:

    1、答案:

    解析:,所以

    2、答案:

    解析:若,则,无解;若,则,由解析式可得:

    3、答案:C

    解析:

    ,即时;,故,故不成立;当,即时;,又上显然成立即故,故选C.

    4、答案:

    解析:可得综上可得

    5、答案:      

    解析: 综上所述可得

    为单调增函数解析式可能的零点为,因为恰有2个零点,所以的区域中至少有一个零点。当,可知各有一个零点符合题意已有两个零点所以在不能有零点综上所述

    6、答案:

    解析:从常系数函数入手,可得所以当的值域应为的子集,从而可知所以所以

    7、答案:C

    解析:由分段函数可得:因为所以

    8、答案:C

    解析:可将视为一个整体则有根据分段函数特点可推断出所以有解得

    9、答案:C

    解析:由三角函数性质可得即可求得值域为

    10、答案:

    解析:由解得所以单调递增单调递减对于可知为单调函数或水平线单调递增时无论为何值只要将取到足够小总能使为增函数单调递减或是为水平线时可知恒不单调所以

    11、答案:D

    解析:观察可得题目条件具备轮换对称的特点,所以可以给定序不妨设又由可知异号,从而所以

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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