数学必修11.3.1单调性与最大(小)值优质教学设计

课题：§1.3.1函数的最大（小）值

教学目的：（1）理解函数的最大（小）值及其几何意义；

（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义．

教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．

教学过程：

一、       引入课题

画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：

 说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；

 指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？

（1）    （2） 

（3）   （4） 

二、       新课教学

（一）函数最大（小）值定义

1．最大值

 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

 （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；

 （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M

 那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）．

思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value）的定义．（学生活动）

注意：

 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；

 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．

 2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法

  利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

  利用图象求函数的最大（小）值

  利用函数单调性的判断函数的最大（小）值

 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

（二）典型例题

例1．（教材P36例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．

解：（略）

说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值．

巩固练习：如图，把截面半径为

25cm的圆形木头锯成矩形木料，

如果矩形一边长为x，面积为y

试将y表示成x的函数，并画出

函数的大致图象，并判断怎样锯

才能使得截面面积最大？

例2．（新题讲解）

旅 馆 定 价

 一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：

欲使每天的的营业额最高，应如何定价？

解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．

设为旅馆一天的客房总收入，为与房价160相比降低的房价，因此当房价为元时，住房率为，于是得

=150··．

由于≤1，可知0≤≤90．

因此问题转化为：当0≤≤90时，求的最大值的问题．

将的两边同除以一个常数0.75，得1=－2＋50＋17600．

由于二次函数1在=25时取得最大值，可知也在=25时取得最大值，此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）．

所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）

例3．（教材P37例4）求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值．

解：（略）

注意：利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式．

巩固练习：（教材P38练习4） 

三、       归纳小结，强化思想

函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：

取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论

四、       作业布置

1．     书面作业：课本P45 习题1．3（A组） 第6、7、8题．

提高作业：快艇和轮船分别从A地和C地同时开出，如下图，各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是45 km/h和15 km/h，已知AC=150km，经过多少时间后，快艇和轮船之间的距离最短？