广东省廉江市实验学校2020届高三数学上学期周测试题4理（高补班）含解析
展开广东省廉江市实验学校2020届高三数学上学期周测试题（4）理（高补班）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
- 已知集合,集合,则( )
A. B.
C. D.
- 若,,则( )
A. B. C. D.
- 已知函数,若,则a的值是( )
A. 3或 B. 或5 C. D. 3或或5
- 已知,,则的值为( )
A. B. C. D.
- 下列说法正确的是( )
A. ,“”是“”的必要不充分条件
B. “为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件
C. 命题“使得”的否定是：“,”
D. 命题p：“,”,则是真命题
- 已知,向量在向量上的投影为,则与的夹角为
A. B. C. D.
- 等差数列和,的前n项和分别为与,对一切正整数n,都有,则等于( )
A. B. C. D.
- 中,a,b,c分别为,,的对边,如果a,b,c成等差数列,,的面积为,那么b等于
A. B. C. D.
- 如图,正方形ABCD中,M、N分别是BC、CD的中点,若,则( )
A. 2 B. C. D.
- 的图象如图所示,为了得到的图象,则只要将的图象( )
A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度
- 定义在R上的偶函数满足：对任意的,,有,且,则不等式解集是( )
A. B.
C. D.
- 已知函数,关于x的方程有3个相异的实数根,则a的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
- 若满足约束条件则的最小值为________．
- 已知函数是R上的周期为4的偶函数,当时,,则______．
- 若数列的首项,且,令,则_________．
- 已知,记,,,,则______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
- （10分）设集合,集合
当时,求及；
若是的充分条件,求实数a的取值范围．
- （12分）已知向量,,函数．
若,求的值；
在中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足,求的取值范围．
- （12分）在中,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且．求角C的大小；
若,,求边a的值及的面积．
- （12分）已知为等差数列的前n项和,,．
求数列的通项公式；
设,为数列的前n顶和,求证：．
- （12分）若函数,当时,函数有极值．
求函数的解析式；
若方程有3个不同的根,求实数k的取值范围．
- （12分）已知函数．
Ⅰ求函数的单调区间；
Ⅱ当时,证明：对任意的,．
廉江市实验学校高补数学周测（四）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
- 已知集合,集合,则( )
A. B.
C. D.
【答案】A
- 若,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
- 已知函数,若,则a的值是( )
A. 3或 B. 或5 C. D. 3或或5
【答案】B
- 已知,,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
- 下列说法正确的是( )
A. ,“”是“”的必要不充分条件
B. “为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件
C. 命题“使得”的否定是：“,”
D. 命题p：“,”,则是真命题
【答案】A
- 已知,向量在向量上的投影为,则与的夹角为
A. B. C. D.
【答案】B
- 等差数列和,的前n项和分别为与,对一切正整数n,都有,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
- 中,a,b,c分别为,,的对边,如果a,b,c成等差数列,,的面积为,那么b等于
A. B. C. D.
【答案】B
- 如图,正方形ABCD中,M、N分别是BC、CD的中点,若,则( )
A. 2 B. C. D.
【答案】D
- 的图象如图所示,为了得到的图象,则只要将的图象( )
A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度
【答案】A
- 定义在R上的偶函数满足：对任意的,,有,且,则不等式解集是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
解：对任意的,,有,
此时函数为减函数,
是偶函数,当时,函数为增函数,
则不等式等价为,即,
,作出函数的草图：
则等价为或,
即或,
故不等式的解集为．
- 已知函数,关于x的方程有3个相异的实数根,则a的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
解：当时,,函数的导数,
当时,,当时,,则当时函数取得极小值,
当时,,函数的导数,此时恒成立,
此时函数为增函数,作出函数的图象如图：
设,易知,则时,有3个根,
当时,有2个根,
当时,有1个根,
当时,有0个根,
因为,恒成立,
则若有三个相异的实数根,
等价为有2个相异的实数根、,
其中,,当时,,即,此时满足条件．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
- 若满足约束条件则的最小值为________．
【答案】
- 已知函数是R上的周期为4的偶函数,当时,,则______．
【答案】2
- 若数列的首项,且,令,则_________．
【答案】5050
- 已知,记,,,,则______．
【答案】
解：,,
,,
以此类推,可得出,
即函数是周期为4的周期函数,
又,
,
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
- 设集合,集合
当时,求及；
若是的充分条件,求实数a的取值范围．
【答案】解：,
当时,,
,
或；
,,
若是的充分条件,则,
若,即,即时,满足条件．
若,要使,则,即,
,
综上：．
- 已知向量,,函数．
若,求的值；
在中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足,求的取值范围．
【答案】解：由题意得：函数．若,可得,
则．
由可得,即．
,,．,,
,,
- 在中,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且．求角C的大小；
若,,求边a的值及的面积．
【答案】解：,,
结合余弦定理得：,,或．
,,,,由余弦定理得：
,整理得,解得,
．
- 已知为等差数列的前n项和,,．
求数列的通项公式；
设,为数列的前n顶和,求证：．
【答案】解：设等差数列的公差是d, ,,
,解得,
Ⅱ由得
则数列的前n项和
得．
化简得．因为,所以．
- 若函数,当时,函数有极值．
求函数的解析式；
若方程有3个不同的根,求实数k的取值范围．
【答案】解：
由题意：,解得,
所求的解析式为,
由可得
令,得或,
当时,,当时,,当时,
因此,当时,有极大值,当时,有极小值,
函数的图象大致如图．
由图可知：．
- 已知函数．
Ⅰ求函数的单调区间；
Ⅱ当时,证明：对任意的,．
【答案】解：Ⅰ函数的定义域是,
当时,对任意恒成立,
所以函数在区间单调递增；
当时,由得,由,得,
所以,函数在区间上单调递增,在区间上单调递减；
综上,当时,函数的单调递增区间为,无单调递减区间；当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为
Ⅱ当时,,
要证明,
只需证明,设,
则问题转化为证明对任意的,,
,易知在上单调递增,
因为 0'/>,,
故存在使得,则满足,
当x变化时,和变化情况如下表
x |
|
|
|
|
| 0 |
|
| 递减 | 极小值 | 递增 |
,
因为,且,所以,
因此不等式得证．
