安徽狮远县育才学校2020_2021学年高二数学暑假检测试题3（含解析）

定远育才学校2020-2021学年高二暑假数学检测试题3

一、选择题（60分）

1.下列区间上函数为增函数的是（         ）

A.                   B.                     C.             D.

2.已知向量a,b的夹角为60°，且|a|＝2,|b|＝1，则向量a与向量a＋2b的夹角等于（         ）

A．150°                     B．90°                  C．60°                           D．30°

3.已知（， ， ）是定义域为的奇函数，且当时， 取得最大值2，则（      ）

A.                      B.                 C.                    D.

4.下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为减函数的是（        ）

A.     B.     C.     D.

5.若函数的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的，再将整个图象向右平移个单位，沿轴向下平移个单位，得到函数的图象，则函数是（      ）

A.                        B.

C.                       D.

6.如图，在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点为，将绕坐标原点逆时针旋转至，过点作轴的垂线，垂足为．记线段的长为，则函数的图象大致是（　　）

A.                           B.

C.                             D.

7.已知函数是定义在R上的偶函数，对任意，都有成立，那么函数可能是（        ）

A.                                  B.

C.                                  D.

8.已知向量，且，则（         ）

A. 5               B.                      C.                   D. 10

9.已知等边边长为4， 为其内一点，且，则的面积为（         ）

A.                        B.                   C.                            D.

10.有下列命题：①两个相等向量，它们的起点相同，终点也相同；②若，则；③若，则四边形是平行四边形；④若， ，则；⑤若， ，则；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段。其中，假命题的个数是                                                  （    ）

A.                       B.                          C.                                D.

11.已知， 则的值是（　　）

A.                         B.                       C.                     D.

12.设单位向量，则的值为（     ）

A.                              B.                                           C.                                           D.

二、填空题（20分）

13. ________．

14.已知， ， ， ，则＝_________.

15.设向量，若向量与向量共线，则  ________

16.对函数，有下列说法：

①的周期为，值域为；    ②的图象关于直线对称；

③的图象关于点对称；    ④在上单调递增；

⑤将的图象向左平移个单位，即得到函数的图象.

其中正确的是__________.（填上所有正确说法的序号）

三、解答题（70分）

17.已知函数（， ）的部分图象如图所示.

（1）求的表达式；

（2）求函数在区间上的最大值和最小值.

18.已知向量，设，

（I）若，求当取最小值时实数t的值；

（II）若，问：是否存在实数t，使得向量a-b和向量m的夹角为，若存在，请求出t，若不存在，请说明理由。

19.已知角的张终边经过点， 且为第二象限．

（1）求的值；

（2）若，求的值．

20.已知 .

（1）求与的夹角 ;

（2）求和;

21.在平面直角坐标系中，点，点在单位圆上， （）.

（1）若点，求的值；

（2）若， ，求的值.

22.如图所示，某村积极开展“美丽乡村•生态家园”建设，现拟在边长为1千米的正方形地块ABCD上划出一片三角形地块CMN建设美丽乡村生态公园，给村民休闲健身提供去处．点M，N分别在边AB，AD上．  （Ⅰ）当点M，N分别是边AB，AD的中点时，求∠MCN的余弦值；

（Ⅱ）由于村建规划及保护生态环境的需要，要求△AMN的周长为2千米，请探究∠MCN是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．

参考答案

1.C         2.D       3.A   4.D   5.A   6.B  7.B   8.B     9.B   10.C   11.A   12.A

13.   14.   15.2   16.①②④

17.(1) ；(2)最大值为，最小值为.

解析：（1）由题意得， ，

因此，又，

即，而，

故，

故.

（2）由（1）可知， ，

由，则，

故最大值为，最小值为.

18.（1）最小值；（2）.

解析：(1)因为α＝，所以b＝，

所以，

所以

所以，

所以当t＝－时，|m|取到最小值，最小值为.

(2)存在满足题意的实数t，

当向量－和向量的夹角为时，

则有，

又⊥，

所以， ，

，

则有＝，且，

整理得t2＋5t－5＝0，

解得t＝。

所以存在t＝满足条件。

19.（1）；（2）.

解析：

（1）由三角函数定义可知，

解得

为第二象限角，

 .

（2）由知,

20.（1）61；（2） .

（1）因为 所以 ..

因为 所以,

解得 。

（2） ,同样可求.

。

21.（1）；（2）.

解析：（1）由点,得， ，所以.   

所以；         

（2）,， ,

,得，

又因为，所以，

那么.

22.解析:（Ⅰ）当点M，N分别是边AB，AD的中点时，设∠DCN=∠BCM=θ，则∠MCN= ﹣2θ，

由条件得CD=BC=1，DN=BM= ，CN=CM= ，

所以sinθ= ，cosθ= ，

所以cos∠MCN=cos（ ﹣2θ）=sin2θ=2sinθcosθ= ，

即∠MCN的余弦值是 ．

（Ⅱ）设∠BCM=α，∠DCN=β，AM=x，AN=y，则BM=1﹣x，DN=1﹣y，

在△CBM中，tanα=1﹣x，

在△CDN中，tanβ=1﹣y，

所以tan（α+β）= = = ，（*）

因为△AMN的周长为2千米，

所以x+y+ =2，

化简得xy=2（x+y）﹣2，

将上式代入（*）式，可得

tan（α+β）= = = =1，

又，

所以α+β= ，

所以∠MCN是定值，且∠MCN= ．