【北师大版】2021版高考数学一轮复习第九章立体几何9.5空间直角坐标系空间向量及其运算练习
展开9.5 空间直角坐标系、空间向量及其运算
核心考点·精准研析
考点一 空间向量的线性运算
1.在空间四边形ABCD中,若=(-3,5,2),=(-7,-1,-4),点E,F分别为线段BC,AD的中点,则的坐标为 ( )
A.(2,3,3) B.(-2,-3,-3)
C.(5,-2,1) D.(-5,2,-1)
2.在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,2),B(1,-3,1),点M在y轴上,且M到A与到B的距离相等,则M的坐标是________________.
3.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.用,,表示,则=________________.
4.G为正四面体ABCD外接球的球心,则=x+y+z,x,y,z分别是
( )
A.,, B.,,
C.,, D.,,
【解析】1.选B.因为点E,F分别为线段BC,AD的中点,设O为坐标原点,
所以=-,=(+),
=(+).
所以=(+)-(+)=(+)
=[(3,-5,-2)+(-7,-1,-4)]
=(-4,-6,-6)=(-2,-3,-3).
2.设M(0,y,0),则=(1,-y,2),=(1,-3-y,1),由题意知||=||,
所以12+y2+22=12+(-3-y)2+12,解得y=-1,故M(0,-1,0).
答案:(0,-1,0)
3.因为==(+),所以=+=(+)+=++.
答案:++
4.选A.取BC的中点M,△BCD的中心为O,则=,=+,=+,
=++,即x=y=z=.
用已知向量表示某一向量的方法
(1)用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量,我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.
(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则,向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立.
考点二 共线向量定理、共面向量定理及其应用
【典例】1.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若向量a,b,c共面,则实数λ等于 ( )
A. B. C. D.
2.如图,已知M,N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心,且G为AM上一点,且GM∶GA=1∶3.
求证:B,G,N三点共线.
【解题导思】
序号 | 联想解题 |
1 | 因为a,b,c共面,想到c=xa+yb,列出方程组可求参数值. |
2 | 要证B,G,N三点共线,只要证=λ即可,想到选择恰当的基向量分别表示和. |
【解析】1.选D.因为向量a,b,c共面,所以由共面向量基本定理,存在惟一有序实数对(x,y),使得xa+yb=c,
所以,解方程组得λ=.
2.设=a,=b,=c,
则=+=+ =-a+(a+b+c)=-a +b +c,
=+=+(+)=-a+b+c=.所以∥,即B,G,N三点共线.
证明三点共线和空间四点共面的方法比较
三点(P,A,B)共线 | 空间四点(M,P,A,B)共面 |
=λ且同过点P | =x+y |
对空间任一点O,=+t | 对空间任一点O,=+ x+y |
1.e1,e2是平面内不共线两向量,已知=e1-ke2,=2e1+e2,=3e1-e2,若A,B,D三点共线,则k的值是 ( )
A.2 B.-3 C.-2 D.3
【解析】选A.=-=e1-2e2,又A,B,D三点共线,设=λ,所以,所以k=2.
2.如图,已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',E,F,G,H分别是棱A'D',D'C',C'C和AB的中点,求证E,F,G,H四点共面.
【证明】取=a,=b,=c,
则=++
=+2+
=b-a+2a+( ++ )
=b+a+(b-a-c-a)=b-c,
所以与b,c共面.即E,F,G,H四点共面.
考点三 空间向量的数量积及其应用
命 题 精 解 读 | 1.考什么:(1)考查空间向量的数量积运算、利用数量积求线段长度、夹角大小以及证明垂直问题.(2)考查直观想象与数学运算的核心素养. 2.怎么考:常见命题方向:证明线线垂直,求空间角. 3.新趋势:以柱、锥、台体为载体,利用空间向量的数量积运算解决求值问题. |
学 霸 好 方 法 | 1.(1)利用数量积解决问题的两条途径 :一是根据数量积的定义,利用模与夹角直接计算;二是利用坐标运算. (2)利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题. ①a≠0,b≠0,a⊥b⇔a·b=0; ②|a|=; ③cos<a,b>=. 2.交汇问题:与立体几何知识联系,考查证明垂直,求空间角等问题. |
空间向量的数量积运算
【典例】1.在棱长为1的正四面体ABCD中,E是BC的中点,则·=
( )
A.0 B. C.- D.-
2.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2)且ka+b与2a-b互相垂直,则k=___________.【解析】1.选D.·=·=
==-.
2.由题意得,ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2).所以(ka+b)·(2a-b)=3(k-1)+
2k-2×2=5k-7=0,解得k=.
答案:
数量积的应用
【典例】已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).
(1)求以,为边的平行四边形的面积.
(2)若|a|=,且a分别与,垂直,求向量a的坐标.
【解析】(1)由题意可得:=(-2,-1,3),
=(1,-3,2),所以cos<,>=
===,所以sin<,>=,
所以以,为边的平行四边形的面积为
S=2×||·||·sin<,>=14×=7.
(2)设a=(x,y,z),由题意得
解得或
所以向量a的坐标为(1,1,1)或(-1,-1,-1).
1.已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成60°夹角的是 ( )
A.(-1,1,0) B.(1,-1,0)
C.(0,-1,1) D.(-1,0,1)
【解析】选B.经检验,选项B中向量(1,-1,0)与向量a=(1,0,-1)的夹角的余弦值为,即它们的夹角为60°.
2.如图所示,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面为平行四边形,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°.
(1)求AC1的长.
(2)求证:AC1⊥BD.
(3)求BD1与AC夹角的余弦值.
【解析】(1)记=a,=b,=c,
则|a|=|b|=|c|=1,<a,b>=<b,c>=<c,a>=60°,
所以a·b=b·c=c·a=.
||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)
=1+1+1+2×=6,
所以||=,即AC1的长为.
(2)因为=a+b+c,=b-a,
所以·=(a+b+c)·(b-a)
=a·b+b2+b·c-a2-a·b-a·c
=b·c-a·c
=|b|·|c|cos 60°-|a||c|cos 60°=0.
所以⊥,
所以AC1⊥BD.
(3)=b+c-a,=a+b,
所以||=,||=,
·=(b+c-a)·(a+b)
=b2-a2+a·c+b·c=1.
所以cos <,>==.
所以AC与BD1夹角的余弦值为.
如图,在△ABC中,AD⊥AB,=,||=1,则·= ____________.
【解析】由题干图可得:
·=(+)·=·+·=0+·=(+)·=·||2=.
答案:
