北师大版高考数学一轮复习第九章 §9.5　第1课时　椭圆及其性质

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1．椭圆的定义
把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.
2．椭圆的简单性质
微思考
1．在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|或2a<|F1F2|，动点P的轨迹如何？
提示 当2a＝|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，动点P的轨迹不存在．
2．椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？
提示 由e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)知，当a不变时，e越大，b越小，椭圆越扁平；e越小，b越大，椭圆越接近于圆．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × )
(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( √ )
(3)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的半长轴长，c为椭圆的半焦距)．( √ )
(4)eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)与eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)的焦距相等．( √ )
题组二 教材改编
2．若椭圆eq \f(x2,10－m)＋eq \f(y2,m－2)＝1的焦距为4，则m＝________.
答案 4或8
解析 当焦点在x轴上时，10－m>m－2>0，
10－m－(m－2)＝4，∴m＝4.
当焦点在y轴上时，m－2>10－m>0，m－2－(10－m)＝4，∴m＝8.∴m＝4或8.
3．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为eq \f(\r(2),2).过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为__________________．
答案 eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1
解析 如图，设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
由椭圆的定义可知，|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，
又△ABF2的周长为16，
所以|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝16，
即4a＝16，a＝4，又e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，
则c＝2eq \r(2)，b＝eq \r(a2－c2)＝2eq \r(2)，
故椭圆C的方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1.
4．已知点P是椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为__________________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，1))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，－1))
解析 设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，
所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)．
结合题意可得点P到x轴的距离为1，
所以y＝±1，把y＝±1代入eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1，
得x＝±eq \f(\r(15),2)，又x>0，所以x＝eq \f(\r(15),2)，
所以点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，1))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，－1)).
题组三 易错自纠
5．若方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,2m－1)＝1表示椭圆，则m满足的条件是____________________．
答案 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(m\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>\f(1,2)))且m≠1))
解析 由方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,2m－1)＝1表示椭圆，
知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>0，,2m－1>0，,m≠2m－1，))解得m>eq \f(1,2)且m≠1.
6．已知椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,m)＝1(m>0)的离心率e＝eq \f(\r(10),5)，则m的值为________．
答案 3或eq \f(25,3)
解析 若a2＝5，b2＝m，则c＝eq \r(5－m)，
由eq \f(c,a)＝eq \f(\r(10),5)，即eq \f(\r(5－m),\r(5))＝eq \f(\r(10),5)，解得m＝3.
若a2＝m，b2＝5，则c＝eq \r(m－5).
由eq \f(c,a)＝eq \f(\r(10),5)，即eq \f(\r(m－5),\r(m))＝eq \f(\r(10),5)，解得m＝eq \f(25,3).
综上，m＝3或eq \f(25,3).
第1课时 椭圆及其性质
题型一 椭圆的定义及应用
例1 (1)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
答案 A
解析 连接QA(图略)．
由已知得|QA|＝|QP|.
所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.
又因为点A在圆内，所以|OA|<|OP|，根据椭圆的定义知，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆．
(2)设点P为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)＝1(a>2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________．
答案 eq \f(4\r(3),3)
解析 由题意知，c＝eq \r(a2－4).又∠F1PF2＝60°，|F1P|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2eq \r(a2－4)，
∴|F1F2|2＝(|F1P|＋|PF2|)2－2|F1P||PF2|－2|F1P|·|PF2|cs 60°＝4a2－3|F1P|·|PF2|＝4a2－16，
∴|F1P|·|PF2|＝eq \f(16,3)，
∴＝eq \f(1,2)|F1P|·|PF2|sin 60°＝eq \f(1,2)×eq \f(16,3)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(4\r(3),3).
思维升华 椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
跟踪训练1 (1)设P是椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为________．
答案 60°
解析 由椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1，
可得2a＝8，设eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＝m，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))＝n，
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋n＝2a＝8，,mn＝12，,4c2＝28＝m2＋n2－2mncs∠F1PF2，))
化简可得cs∠F1PF2＝eq \f(1,2)，∴∠F1PF2＝60°.
(2)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．
答案 6＋eq \r(2) 6－eq \r(2)
解析 椭圆方程化为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1，
设F1是椭圆的右焦点，则F1(2,0)，
∴|AF1|＝eq \r(2)，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，
又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，
∴|PA|＋|PF|的最大值为6＋eq \r(2)，最小值为6－eq \r(2).
题型二 椭圆的标准方程
例2 (1)(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,2)＋y2＝1 B.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1
C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
答案 B
解析 由题意设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，连接F1A，如图．
令|F2B|＝m，
则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.
由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝eq \f(a,2)，
故|F2A|＝a＝|F1A|，
则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．
令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,a).
在等腰三角形ABF1中，
cs 2θ＝eq \f(2m2＋3m2－3m2,2×2m·3m)＝eq \f(1,3)，
因为cs 2θ＝1－2sin2θ，所以eq \f(1,3)＝1－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))2，得a2＝3.
又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，
故椭圆C的方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.
(2)过点(eq \r(3)，－eq \r(5))，且与椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．
答案 eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1
解析 方法一 (待定系数法)：设所求椭圆方程为eq \f(y2,25－k)＋eq \f(x2,9－k)＝1(k<9)，将点(eq \r(3)，－eq \r(5))的坐标代入可得eq \f(－\r(5)2,25－k)＋eq \f(\r(3)2,9－k)＝1，解得k＝5(k＝21舍去)，所以所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1.
方法二 (定义法)：椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.
由椭圆的定义知，2a＝eq \r(\r(3)－02＋－\r(5)＋42)＋eq \r(\r(3)－02＋－\r(5)－42)，解得a＝2eq \r(5).
由c2＝a2－b2可得b2＝4.
所以所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1.
思维升华 (1)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．
(2)椭圆的标准方程的两个应用
①方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1与eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝λ(λ>0)有相同的离心率．
②与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为eq \f(x2,a2＋k)＋eq \f(y2,b2＋k)＝1(a>b>0，k＋b2>0)，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．
跟踪训练2 (1)(2020·泉州模拟)已知椭圆的两个焦点为F1(－eq \r(5)，0)，F2(eq \r(5)，0)，M是椭圆上一点，若MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，则该椭圆的方程是( )
A.eq \f(x2,7)＋eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,7)＝1
C.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1
答案 C
解析 设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
因为MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，|F1F2|＝2eq \r(5)，
所以m2＋n2＝20，mn＝8，
所以(m＋n)2＝36，所以m＋n＝2a＝6，所以a＝3.
因为c＝eq \r(5)，所以b＝eq \r(a2－c2)＝2.
所以椭圆的方程是eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1.
(2)与椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1有相同离心率且经过点(2，－eq \r(3))的椭圆标准方程为________．
答案 eq \f(y2,\f(25,3))＋eq \f(x2,\f(25,4))＝1或eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1
解析 方法一 ∵e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2－b2),a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \r(1－\f(3,4))＝eq \f(1,2)，
若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为eq \f(x2,m2)＋eq \f(y2,n2)＝1(m>n>0)，
则1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,m)))2＝eq \f(1,4).
从而eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,m)))2＝eq \f(3,4)，eq \f(n,m)＝eq \f(\r(3),2).
又eq \f(4,m2)＋eq \f(3,n2)＝1，∴m2＝8，n2＝6.
∴所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1.
若焦点在y轴上，设椭圆的方程为eq \f(y2,m2)＋eq \f(x2,n2)＝1(m>n>0)，
则eq \f(3,m2)＋eq \f(4,n2)＝1，且eq \f(n,m)＝eq \f(\r(3),2)，解得m2＝eq \f(25,3)，n2＝eq \f(25,4).
故所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,\f(25,3))＋eq \f(x2,\f(25,4))＝1.
方法二 若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为
eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝t(t>0)，将点(2，－eq \r(3))代入，得
t＝eq \f(22,4)＋eq \f(－\r(3)2,3)＝2.
故所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1.
若焦点在y轴上，设方程为eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝λ(λ>0)代入点(2，－eq \r(3))，得λ＝eq \f(25,12)，
∴所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,\f(25,3))＋eq \f(x2,\f(25,4))＝1.
题型三 椭圆的简单性质
命题点1 离心率
例3 (1)已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过点A且斜率为eq \f(\r(3),6)的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,4)
答案 D
解析 如图，作PB⊥x轴于点B.
由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1，
由∠F1F2P＝120°，
可得|PB|＝eq \r(3)，|BF2|＝1，
故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，
tan∠PAB＝eq \f(|PB|,|AB|)＝eq \f(\r(3),a＋2)＝eq \f(\r(3),6)，
解得a＝4，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,4).
(2)过椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5),5))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
答案 A
解析 由题设知，直线l：eq \f(x,－c)＋eq \f(y,b)＝1，即bx－cy＋bc＝0，
以AB为直径的圆的圆心为(c,0)，
根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，
得y＝±eq \f(b2,a)，
即圆的半径r＝eq \f(b2,a).
又圆与直线l有公共点，所以eq \f(2bc,\r(b2＋c2))≤eq \f(b2,a)，
化简得2c≤b，平方并整理得a2≥5c2，
所以e＝eq \f(c,a)≤eq \f(\r(5),5).
又0思维升华 求椭圆离心率或其范围的方法
解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：
(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝eq \f(c,a)求解．
(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝eq \r(1－\f(b2,a2))求解．
(3)构造a，c的齐次式．离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
命题点2 与椭圆有关的最值(或范围)问题
例4 设A，B是椭圆C：eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,m)＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，eq \r(3)]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，eq \r(3)]∪[4，＋∞)
答案 A
解析 方法一 设焦点在x轴上，点M(x，y)．
过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，
则N(x,0)．
故tan∠AMB＝tan(∠AMN＋∠BMN)
＝eq \f(\f(\r(3)＋x,|y|)＋\f(\r(3)－x,|y|),1－\f(\r(3)＋x,|y|)·\f(\r(3)－x,|y|))＝eq \f(2\r(3)|y|,x2＋y2－3).
又tan∠AMB＝tan 120°＝－eq \r(3)，
且由eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,m)＝1，可得x2＝3－eq \f(3y2,m)，
则eq \f(2\r(3)|y|,3－\f(3y2,m)＋y2－3)＝eq \f(2\r(3)|y|,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,m)))y2)＝－eq \r(3).
解得|y|＝eq \f(2m,3－m).
又0<|y|≤eq \r(m)，即0结合0对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m≥9.
则m的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．
故选A.
方法二 当0要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则eq \f(a,b)≥tan 60°＝eq \r(3)，即eq \f(\r(3),\r(m))≥eq \r(3)，
解得0当m>3时，焦点在y轴上，
要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则eq \f(a,b)≥tan 60°＝eq \r(3)，即eq \f(\r(m),\r(3))≥eq \r(3)，
解得m≥9.
故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．
故选A.
思维升华 利用椭圆的简单性质求值或范围的思路
(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系．
(2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求范围．
跟踪训练3 (1)(2020·济南质检)设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点．若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为( )
A.eq \r(2)－1 B.eq \f(\r(5)－1,2)
C.eq \f(\r(2),2) D.eq \r(2)＋1
答案 A
解析 不妨设椭圆E的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，如图所示，∵△PF1F2为直角三角形，∴PF1⊥F1F2，又|PF1|＝|F1F2|＝2c，∴|PF2|＝2eq \r(2)c，∴|PF1|＋|PF2|＝2c＋2eq \r(2)c＝2a，∴椭圆E的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(2)－1.故选A.
(2)已知点P(0,1)，椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝m(m>1)上两点A，B满足eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(PB,\s\up6(→))，则当m＝________时，点B横坐标的绝对值最大．
答案 5
解析 设B(x0，y0)，A(x1，y1)，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝(－x1，1－y1)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(x0，y0－1)．
∵eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(PB,\s\up6(→))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x1＝2x0，,1－y1＝2y0－1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝－2x0，,y1＝3－2y0，))
将A，B两点的坐标代入eq \f(x2,4)＋y2＝m，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,0),4)＋y\\al(2,0)＝m，,\f(－2x02,4)＋3－2y02＝m，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\\al(2,0)＋4y\\al(2,0)＝4m，,x\\al(2,0)＋3－2y02＝m，))
两式相减，得y0＝eq \f(1,4)m＋eq \f(3,4).
∴xeq \\al(2,0)＝4m－4yeq \\al(2,0)＝－eq \f(1,4)m2＋eq \f(5,2)m－eq \f(9,4)，m>1，
∴当m＝－eq \f(\f(5,2),2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4))))＝5时，xeq \\al(2,0)取得最大值，此时|x0|最大．
课时精练
1．(2019·北京)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(1,2)，则( )
A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2
C．a＝2b D．3a＝4b
答案 B
解析 由题意，得eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，∴eq \f(c2,a2)＝eq \f(1,4)，又a2＝b2＋c2，
∴eq \f(a2－b2,a2)＝eq \f(1,4)，eq \f(b2,a2)＝eq \f(3,4)，∴4b2＝3a2.故选B.
2．(2020·长沙雅礼中学模拟)“2A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 B
解析 若方程eq \f(x2,m－2)＋eq \f(y2,6－m)＝1表示椭圆，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－2>0，,6－m>0，,m－2≠6－m))解得2所以23．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,64)－eq \f(y2,48)＝1 B.eq \f(x2,48)＋eq \f(y2,64)＝1
C.eq \f(x2,48)－eq \f(y2,64)＝1 D.eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1
答案 D
解析 设圆M的半径为r，
则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，
所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，
且2a＝16,2c＝8，
所以a＝8，c＝4，b＝eq \r(a2－c2)＝4eq \r(3)，
故所求动圆圆心M的轨迹方程为eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1.
4．(2020·湖北八市重点高中联考)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，过点F作圆x2＋y2＝b2的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(2),3) D.eq \f(\r(6),3)
答案 D
解析 如图，由题意可得，eq \r(2)b＝c，则2b2＝c2，
即2(a2－c2)＝c2，则2a2＝3c2，
∴eq \f(c2,a2)＝eq \f(2,3)，即e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),3).
5．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，若长轴的长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,32)＝1 B.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1
C.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1 D.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1
答案 B
解析 由题意知2a＝6,2c＝eq \f(1,3)×6，所以a＝3，c＝1，则b＝eq \r(32－12)＝2eq \r(2)，所以此椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1.
6．已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为( )
A.eq \r(3)－1 B．2－eq \r(3)
C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),2)
答案 A
解析 ∵过F1的直线MF1是圆F2的切线，
∴∠F1MF2＝90°，|MF2|＝c，∵|F1F2|＝2c，
∴|MF1|＝eq \r(3)c，由椭圆定义可得|MF1|＋|MF2|＝c＋eq \r(3)c＝2a，∴椭圆的离心率e＝eq \f(2,1＋\r(3))＝eq \r(3)－1.
7．(2020·广东华附、省实、广雅、深中联考)设F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，若在直线x＝eq \f(a2,c)上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，1))
解析 设Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)，m))，F1(－c,0)，F2(c,0)，由线段PF1的中垂线过点F2得|PF2|＝|F1F2|，即 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)－c))2＋m2)＝2c，得m2＝4c2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)－c))2＝－eq \f(a4,c2)＋2a2＋3c2≥0，即3c4＋2a2c2－a4≥0，得3e4＋2e2－1≥0，解得e2≥eq \f(1,3)，又08．焦距是8，离心率等于eq \f(4,5)的椭圆的标准方程为________________．
答案 eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1或eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1
解析 由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2c＝8，,\f(c,a)＝\f(4,5)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝5，,c＝4，))
又b2＝a2－c2，∴b2＝9，
当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1，
当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1.
9．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．
答案 eq \f(3,5)
解析 由题意得2a＋2c＝2×2b，即a＋c＝2b.
又c2＝a2－b2，消去b整理，得5c2＝3a2－2ac，
即5e2＋2e－3＝0，
∴e＝eq \f(3,5)或e＝－1(舍去)．
10．已知椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,25)＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标是________．
答案 (－3,0)或(3,0)
解析 记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，
由题意知a＝5，b＝3，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.
则m＝|PF1|·|PF2|≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5，等号成立，
即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.
所以点P的坐标为(－3,0)或(3,0)．
11．已知点P是圆F1：(x＋1)2＋y2＝16上任意一点(F1是圆心)，点F2与点F1关于原点对称．线段PF2的垂直平分线m分别与PF1，PF2交于M，N两点．求点M的轨迹方程．
解 由题意得F1(－1,0)，F2(1,0)，圆F1的半径为4，
且|MF2|＝|MP|，从而|MF1|＋|MF2|＝|MF1|＋|MP|＝|PF1|＝4>|F1F2|，
所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，
其中长轴长为4，焦距为2，则短半轴长为eq \r(3)，
所以点M的轨迹方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
12．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆离心率的范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
(1)解 设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a.
在△PF1F2中，由余弦定理可知，
4c2＝m2＋n2－2mncs 60°＝(m＋n)2－3mn
＝4a2－3mn≥4a2－3·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋n,2)))2＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)，∴eq \f(c2,a2)≥eq \f(1,4)，
即e≥eq \f(1,2).又0(2)证明 由(1)知mn＝eq \f(4,3)b2，∴＝eq \f(1,2)mnsin 60°＝eq \f(\r(3),3)b2，即△PF1F2的面积只与椭圆的短轴长有关．
13．在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝1上的一个动点，点A(1,1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
答案 A
解析 ∵椭圆的方程为eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝1，
∴a2＝4，b2＝3，c2＝1，
∴B(0，－1)是椭圆的一个焦点，设另一个焦点为C(0,1)，如图所示，
根据椭圆的定义知，|PB|＋|PC|＝4，
∴|PB|＝4－|PC|，
∴|PA|＋|PB|＝4＋|PA|－|PC|≤4＋|AC|＝5.
14．已知椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．
答案 eq \r(15)
解析 如图，左焦点F(－2,0)，右焦点F′(2,0)．
线段PF的中点M在以O(0,0)为圆心，2为半径的圆上，
因此|OM|＝2.
在△FF′P中，OM綊eq \f(1,2)PF′，
所以|PF′|＝4.
根据椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝6，
所以|PF|＝2.
又因为|FF′|＝4，
所以在Rt△MFF′中，
tan∠PFF′＝eq \f(|MF′|,|MF|)＝eq \f(\r(|FF′|2－|MF|2),|MF|)＝eq \r(15)，
即直线PF的斜率是eq \r(15).
15．(2020·德州模拟)1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开启了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a,2c，下列结论不正确的是( )
A．卫星向径的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a－c，a＋c))
B．卫星在左半椭圆弧上的运行时间大于其在右半椭圆弧上的运行时间
C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁
D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
答案 C
解析 根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a－c，a＋c))，A正确；
当卫星在左半椭圆弧上运行时，对应的面积更大，根据面积守恒规律，速度更慢，运行时间更长，B正确；
eq \f(a－c,a＋c)＝eq \f(1－e,1＋e)＝eq \f(2,1＋e)－1，当比值越大，则e越小，椭圆轨道越圆，C错误．
根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D正确．
16．(2020·商洛模拟)如图，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.
(1)若|PF1|＝2＋eq \r(2)，|PF2|＝2－eq \r(2)，求椭圆的标准方程；
(2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e.
解 (1)由椭圆的定义，2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋eq \r(2))＋(2－eq \r(2))＝4，故a＝2.
设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，
因此2c＝|F1F2|＝eq \r(|PF1|2＋|PF2|2)
＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\r(2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\r(2)))2)＝2eq \r(3)，
所以c＝eq \r(3)，从而b＝eq \r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)))2)＝1，
故所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)连接F1Q，如图所示，
由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.
从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，
有|QF1|＝4a－2|PF1|.
设|PF1|＝m，所以|QF1|＝4a－2m，|QF2|＝2m－2a，
|PF2|＝2a－m，
又由PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，,|QF1|＝\r(2)|PF1|，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a－m))2＝4c2，,4a－2m＝\r(2)m，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c＝\f(\r(6),4)m，,a＝\f(2＋\r(2),4)m，))所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\f(\r(6),4)m,\f(2＋\r(2),4)m)＝eq \r(6)－eq \r(3).焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
短轴长为2b，长轴长为2a
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
对称性
对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点
离心率
e＝eq \f(c,a)(0a，b，c的关系
a2＝b2＋c2