黑龙江省安达七中2020届高三数学上学期寒假考试试题6
展开黑龙江省安达七中2020届高三数学上学期寒假考试试题（6）
一、选择题
1.已知集合，则为（ ）
A. B． C． D．
2.秦九韶算法的先进性主要体现在减少运算次数，下列说法正确的是（ ）
A．可以减少加法运算次数
B．可以减少乘法运算次数
C．同时减少加法和乘法的运算次数
D．加法次数和乘法次数都有可能减少
3.设满足约束条件，则的最大值为（ ）
A．41 B．5 C．25 D．1
4.现将甲、乙、丙、丁四个人安排到座位号分别是1,2,3,4的四个座位上，他们分别有以下要求，
甲：我不坐座位号为1和2的座位；
乙：我不坐座位号为1和4的座位；
丙：我的要求和乙一样；
丁：如果乙不坐座位号为2的座位，我就不坐座位号为1的座位.
那么坐在座位号为3的座位上的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5.某四棱锥的三视图如图所示，其中，且.若四个侧面的面积中最小的为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6.将6名留学归国人员分配到济南、青岛两地工作，若济南至少安排2人，青岛至少安排3人，则不同的安排方法数是( )
A．120 B．150 C．35 D．65
7.已知圆与双曲线的渐近线相切，且圆心C恰好是双曲线E的一个焦点，则双曲线E的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
8.如图，是半径为1的圆O的两条直径，，则的值是( )
A． B． C． D．
9.将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度得到的图象，则函数的单调递增区间为（ ）
A. B.
C. D.
10.如图,已知一个八面体的各条棱长为1,四边形为正方形,下列说法
① 该八面体的体积为;
② 该八面体的外接球的表面积为;
③ E到平面的距离为;
④ 与所成角为;
其中不正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
11.已知函数，只有一个零点，且，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12.设随机变量X服从正态分布，若，则实数______.
13.已知，则_______．
14.已知数列为等差数列，为数列的前n项和，若，，则的取值范围是____.
15.已知F是抛物线的焦点，点，点P是上任意一点，当点P在时，取得最大值，当点P在时，取得最小值.则__________．
三、解答题
16.已知函数
(1)求在上的单调递增区间；
(2)在中，分别是角的对边，A为锐角，若， 且的面积为，求的最小值.
17.为评估M设备生产某种零件的性能，从该设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
直径/ | 78 | 79 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 93 | 合计 |
件数 | 1 | 1 | 3 | 5 | 6 | 19 | 33 | 18 | 4 | 4 | 2 | 1 | 2 | 1 | 100 |
经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.
（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（P表示相应事件的频率）：
① ；② ；③ ，评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁.试判断M设备的性能等级.
（2）将直径小于等于的零件或直径大于等于的零件认定为是“次品”，将直径小于等于的零件或直径大于等于的零件认定为是“突变品”，从样本的“次品”中随意抽取2件零件，求“突变品”个数Y的数学期望.
18.已知两点在抛物线上，点满足.
（1）若线段，求直线的方程；
（2）设抛物线C过两点的切线交于点N．求证：点N在一条定直线上．
19.已知四棱锥中，底面.
（1）当变化时，点C到平面的距离是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
（2）当直线与平面所成的角为时，求二面角的余弦值.
20.已知函数
（1）求的单调区间；
（2）若存在，使得，求证：．
21.在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M的极坐标方程为，若极坐标系内异于O的三点,在曲线M上.
（1）求证：；
（2）若过两点直线的参数方程为为参数，求四边形的面积.
22.已知设函数
（1）若，求不等式的解集；
（2）若函数的最小值为1,证明：
参考答案
1.答案：C
解析：
2.答案：B
解析：
3.答案：A
解析：
4.答案：C
解析：
5.答案：B
解析：
6.答案：C
解析：6名留学归国人员分配到济南、青岛两地工作．
若济南至少安排 2人，青岛至少安排3 人，分两类，
第一类，青岛安排3 人，济南安排3人，有种，
第二类，青岛安排4人，济南安排2 人，有种，
根据分类计数原理可得种．
故选：C．
7.答案：B
解析：
8.答案：B
解析：
9.答案：C
解析：
10.答案：C
解析：
11.答案：A
解析：
12.答案：
解析：
13.答案：3
解析：
14.答案：
解析：
15.答案：
解析：
16.答案：(1)
，
由可得：.
设，
则，故在上的单调递增区间为.
(2)由可得：，
化简可得：，又，解得：.
由题意可得：，解得：.
，当且仅当时等号成立.
故的最小值为.
解析：
17.答案：（1），
，
.
因为设备的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙.
（2）由题意可知，样本中次品个数为6，突变品个数为2，
“突变品”个数Y的可能取值为.
，，.
所以Y分布列为：
Y | 0 | 1 | 2 |
P |
.
解析：
18.答案：（1）设，则．
因为E到点A，与点B的斜率之积为，
所以，整理得C的方程为．
（2）当l垂直于轴时，l的方程为，
代入得， ．
．
当l不垂直于轴时，依题意可设，
代入得．
因为，设， ．
则， ．
综上，当l垂直于轴时等号成立，
故的最大值是．
解析：
19.答案：（1）由知，则，
由面，面，得，
由，面，
则面，
则点C到平面的距离为一个定值，.
（2）由面为在平面上的射影，则为直线与平面
所成的角，则，所以.
由得，
故直线两两垂直，
因此，以点A为坐标原点，以所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
易得，
于是，
设平面的法向量为，
则，即，取，
则，于是；
显然为平面的一个法向量，
于是，
分析知二面角的余弦值为.
解析：
20.答案：（1）．
令，则，解得．
∴ ．
，
∴ 时，函数取得极小值即最小值，
∴ ，
∴函数在R上单调递增．
（2）由（1）可得：函数在R上单调递增．
要证明：，
又，因此，
即，则．
令
，．
，
，
∴ 在上单调递增．
∴ ，
∴ 函数在上单调递增．
∴ ，因此结论成立．
解析：
21.答案：（1）由，
则；
（2）由曲线的普通方程为：，
联立直线的参数方程得：
解得；平面直角坐标为：
则；又得.
即四边形面积为为所求.
解析：
22.答案：（1），不等式，
即
当时，
当时，
当时，
解集为
（2）
,
解析：
