2019北京市朝阳区初二（上）期末试卷
展开2019北京市朝阳区初二（上）期末
数 学 2019.1
（考试时间90分钟 满分100分）
学校_________________ 班级_________________ 姓名_________________ 考号_________________
考 生 须 知 | 1．本试卷共6页，共三道大题，28道小题． 2．在试卷和答题卡上认真填写学校、班级、姓名、考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． |
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．下列各式中，是最简二次根式的是
A． B． C． D．
2．下列图形中，有稳定性的是
A．长方形 B．梯形 C．平行四边形 D．三角形
3．若分式的值等于0，则x的值为
A．-1 B． 1 C．0 D．2
4．汉语言文字博大精深，丰富细腻，易于表达.比如形容时间极短的词语有“一刹那”、“眨眼间”、“弹指一挥间”等.根据唐玄奘《大唐西域记》中记载，一刹那大约是0.013秒．将0.013用科学记数法表示应为
A． B． C． D．
5．若右图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，
则∠1的度数为
A．40° B．50°
C．60° D．70°
6．如图，在△ABC中，AC=BC，D在BC的延长线上，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点P，则下列结论中不一定正确的是
A. ∠ACD=2∠A B.∠A=2∠P
C. BP⊥AC D. BC=CP
7．下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是
A. B.
C. D.
8. 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角” (如图)就是一例.
这个三角形给出了（n=1，2，3，4，5，6）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律.例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第五行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着展开式中各项的系数，等等.
有如下三个结论：
①当a=1,b=1时，代数式的值是1；
②当a=-1,b=2时，代数式的值是1；
③当代数式的值是1时，a的值是-2或-4.
上述结论中，所有正确结论的序号为
A．①② B．② C．③ D．②③
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
10．计算：= ．
11．如图，在五边形ABCDE中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= °．
12．已知是完全平方式，则的值为 ．
13．如果等腰三角形的一个内角是80°，那么它的顶角的度数是 ．
14．如图，线段AB，CD相交于点O，AO=BO，添加一个条件， 能使△AOC≌△BOD，所添加的条件的是 ．
15．如图，两车从南北方向的路段AB的A端出发，分别向东、向西行进相同的距离，到达C，D两地，此时可以判断C，D到B的距离相等，用到的数学道理是 ．
16．如图，∠AOB=30°，点M，N在射线OA上（都不与点O重合），且MN=2，点P在射线OB上，若△MPN为等腰直角三角形，则PO的长为 ___．
三、解答题（本题共68分，第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28每题7分）
17．计算：
18．计算：．
19．已知：如图，D是BC上的一点，AB=BD， DE∥AB，∠A=∠DBE．
求证： AC=BE．
20．计算：．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D是AC上一点，E是BC延长线上一点，连接BD，DE，若∠ABD＝20°，BD=DE，求∠CDE的度数．
22．已知，求代数式的值.
23．阅读材料：
如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦——秦九韶公式”．
完成下列问题：
如图，在△ABC中，.
（1）求△ABC的面积；
（2）过点C作CD⊥AB，垂足为D，求线段CD的长.
24．研学活动继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为教育的新内容和新方式．朝阳区一所中学组织学生去某市进行研学活动，原计划乘坐特快列车前往，为了节省时间，现改为乘坐高铁列车前往．已知北京与该市的距离约为1200千米，高铁列车的平均速度是特快列车的平均速度的2.4倍，且乘坐高铁列车所用时间比乘坐特快列车所用时间少用7小时，求特快列车的平均速度．
25．如图，在△ABC中，AB=AC，D是三角形内一点，连接AD，BD，CD，∠BDC=90°，∠DBC=45°．
(1)求证：∠BAD=∠CAD；
(2)求∠ADB的度数．
26． 观察下列式子：
，，，……
按照上面式子的规律，完成下列问题：
（1）填空：；
（2）再写出两个式子；
（3）把这个规律用字母表示出来，并说明其正确性(不必写出字母的取值范围).
27．已知C是线段AB垂直平分线m上一动点，连接AC，以AC为边作等边三角形ACD，点D在直线AB的上方，连接DB与直线m交于点E，连接BC，AE．
（1）如图1，点C在线段AB上．
①根据题意补全图1；
②求证：∠EAC=∠EDC；
（2）如图2，点C在直线AB的上方， 0°＜∠CAB＜30°，用等式表示线段BE，CE，DE之间的数量关系，并证明．
28．对于平面直角坐标系xOy中的线段AB及点P，给出如下定义：
若点P满足PA=PB，则称P为线段AB的“轴点”，其中，当0°＜∠APB＜60°时，称P为线段AB的“远轴点”；当60°≤∠APB≤180°时，称P为线段AB的“近轴点”.
（1）如图1，点A，B的坐标分别为（-2，0），（2，0），则在，，， 中，线段AB的“近轴点”是 .
（2）如图2，点A的坐标为（3，0），点B在y轴正半轴上，且∠OAB=30°.
①若P为线段AB的“远轴点”，直接写出点P的横坐标t的取值范围 ；
②点C为y轴上的动点（不与点B重合且BC≠AB），若Q为线段AB的“轴点”，当线段QB与QC的和最小时，求点Q的坐标.
数学试题答案
一、选择题
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
答案 | B | D | B | A | B | C | A | D |
题号 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | 360 | 9 | ||
题号 | 13 | 14 | 15 | 16 |
答案 | 20°或80° | 答案不唯一，如：OC=OD | 答案不唯一，如：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 | 2或4 |
二、填空题
三、解答题
17．解：原式=
=1．
18．解：
．
19．证明：∵DE∥AB，
∴∠ABC=∠EDB．
在△ABC和△BDE中
,
，
,
∴△ABC≌△BDE．
∴AC=BE．
20．解：
．
21．解：∵AB＝AC，∠BAC＝80°，
∴ ．
∵∠ABD＝20°，
∴∠DBC＝30°．
∵BD=DE，
∴ ．
∵∠ACB=∠CDE+∠E，
∴∠CDE=20°．
22．解：
．
原式=2．
23．解：（1）根据题意
．
∴
．
（2）∵，
∴．
∴．
24．解：设特快列车的平均速度为千米/时，则高铁列车的平均速度为千米/时．
由题意，得 ．
解得 ．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：特快列车的平均速度为100千米/时．
25．(1)证明：∵∠BDC=90°，∠DBC=45°，
∴∠DCB=∠DBC=45°．
∴DB=DC．
在△ABD和△ACD中
,
，
,
∴△ABD≌△ACD．
∴∠BAD=∠CAD．
(2)解：∵△ABD≌△ACD，
∴∠ADB=∠ADC．
∵∠BDC=90°，
∴∠ADB=135°．
26．解：（1）．
（2）答案不唯一，如：，．
（3）．
其中x≠4．
说明如下：
=2=右边．
∴成立．
27．解：
（1）①补全图形如图所示．
②证明：∵直线m是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，CA=CB．
∴∠EAC=∠B．
∵△ACD是等边三角形，
∴CA=CD．
∴CD=CB．
∴∠EDC=∠B．
∴∠EAC=∠EDC．
（2）BE=CE+DE．
证明：如图，在EB上截取EF，使EF=CE，连接CF．
∵直线m是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，CA=CB．
∴∠EAB=∠EBA，∠CAB=∠CBA．
∴∠EAC=∠EBC．
∵△ACD是等边三角形，
∴CA=CD，∠ACD=60°．
∴CD=CB．
∴∠EDC=∠EBC．
∴∠EDC=∠EAC．
∵∠1=∠2，
∴∠DEA=∠ACD=60°．
∴∠AEB=120°．
∵EA=EB，m⊥AB，
∴∠AEC=∠BEC=60°．
∴△CEF是等边三角形．
∴∠CEF=∠CFE=60°．
∴△CDF≌△CBE．
∴DF=BE．
∴BE=CE+DE．
28．解：（1）P2 , P3．
（2）t＜0或t＞3．
（3）根据题意，点Q在线段AB的垂直平分线l上．
当点B，C在直线l的同侧时，
对于满足题意的点C的每一个位置，都有QB+QC=QA+QC．
∵QA+QC≥AC，AC≥AO
∴当点C与点O重合，Q为AO 与直线l交点时，QB+QC最小．
∵∠OAB=30°，AQ=BQ，
∴∠QBA=∠QBO=30°．
∴OQ=BQ．
在Rt△BOQ中，设OQ=x，则AQ=BQ=2x．
∴3x=3．
解得 x=1．
∴Q（1，0）．
当点B，C在直线l的异侧时，QB+QC＞3．
综上所述，当点Q的坐标为（1，0）时，线段QB与QC的和最小．
