初中数学期末专区八年级上册复习整试与因式分解(4)(1) 试卷

初中数学：整式与因式分解—巩固练习（基础）

【巩固练习】

一、选择题
1.下列计算中错误的是(    )

A. B.

C. D.

2. 已知与一个多项式之积是，则这个多项式是(    )

A.   B.

C.  D.

3．把代数式分解因式，下列结果中正确的是（    ）

A．      B．       C．       D．

4． 若，则的值为(　　)

A.－9       B.15          C.－15      D.9

5. 如果，则为 (　   )

A．5　　　   B．－6　　　   C．－5　　　 D．6

6．把进行分组，其结果正确的是（    ）

　 A. 　　  B.

　C. 　　  D.

二、填空题

7．已知，则的值为       ．

8．(1)已知＝3，＝2，__________．(2)已知＝6，＝8，___________．

9．分解因式：_________________．

10． 若，则＝_________________.

11．多项式可分解为，则,的值分别为_________.

12.分解因式：＝__      ______.

三、解答题

13．将下列各式分解因式：

（1）；          （2）；

（3）；       （4）.

14.若多项式可以分解成两个一次因式的积，其中、均为整数，请你至少写出2个的值．

15. 已知 ，求下列代数式的值：(1)； (2).

16.若三角形的三边长是，且满足，试判断三角形的形状.

    小明是这样做的：

    解：∵，∴.

        即

        ∵，∴.

        ∴该三角形是等边三角形.

     仿照小明的解法解答问题：

     已知： 为三角形的三条边，且，试判断三角形的形状.

【答案与解析】

一、选择题
1.【答案】D；

  【解析】.

2.【答案】C；

  【解析】这个多项式为.

3.【答案】D；

【解析】运用提取公因式法和公式法因式分解.

4.【答案】A；

  【解析】.

5.【答案】B；

  【解析】由题意.

6.【答案】D；

  【解析】原式＝.

二、填空题

7．【答案】5；

【解析】由得．∴  ．

8．【答案】(1)；(2)；

  【解析】（1）；（2）.

9．【答案】；

【解析】原式

令，

.

10．【答案】 ±5；

   【解析】，所以或者.

11．【答案】；

   【解析】，所以，.

12.【答案】；

【解析】.

三、解答题

13.【答案与解析】

（1）；

（2）.

（3）；

（4）因为

所以：原式

14.【答案与解析】

    由题意得，则，

由、均为整数，，可写出满足要求的、，进而求得，

36＝1×36＝(－1)×(－36)＝2×18＝(－2)×(－18)＝3×12＝(－3)×(－12)

＝4×9＝(－4)×(－9)＝6×6＝(－6)×(－6)，

所以可以取±37，±20，±15，±13，±12．

取上述的两个值即可．

15.【答案与解析】

（1）

         ∴.

（2）已知两边同除以，得

     ∴

     ∴.

16.【答案与解析】

     ∵

    ∴

    ∴

    ∴，该三角形是等边三角形.

中考总复习：整式与因式分解—知识讲解（基础）

【考纲要求】

1.整式部分主要考查幂的性质、整式的有关计算、乘法公式的运用，多以选择题、填空题的形式出现；

2.因式分解是中考必考内容，题型多以选择题和填空题为主，也常常渗透在一元二次方程和分式的化简中进行考查.

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、整式
1.单项式
　　数与字母的积的形式的代数式叫做单项式．单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来说只含有乘法的运算，不含有加减运算．在含有除法运算时，除数(分母)只能是一个具体的数，可以看成分数因数．单独一个数或一个字母也是单项式．

要点诠释：

（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．

（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．

2.多项式
　　几个单项式的代数和叫做多项式．也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成的．

要点诠释：

（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．

（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．

（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．

  （4）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．

3.整式
　　单项式和多项式统称整式．
4.同类项
　　所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项．
5.整式的加减
　　整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用．
　　把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变.
　　如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.
　　整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.
6.整式的乘除
　　①幂的运算性质：
　　　
　　②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
　　③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：
　　④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：
　　　平方差公式：

完全平方公式：
　　　           
　　　在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
　　⑤单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
　　⑥多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
 

要点诠释：

（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的有理数，也可以是单项式、多项式.

（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，

即（都是正整数）.

（3）公式的推广： (，均为正整数)

    （4）公式的推广： (为正整数).

考点二、因式分解

1.因式分解
　　 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解．
2.因式分解常用的方法

    （1）提取公因式法：

    （2）运用公式法：

平方差公式：；完全平方公式：

（3）十字相乘法：

3.因式分解的一般步骤

（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；

（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法；

（4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法.

要点诠释：

（1）因式分解的对象是多项式；

（2）最终把多项式化成乘积形式；

（3）结果要彻底，即分解到每个因式都不能再分解为止．

（4）十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.

【典型例题】

类型一、整式的有关概念及运算 

1．若3xm+5y2与x3yn的和是单项式，则nm        ．

【答案】

【解析】由3xm+5y2与x3yn的和是单项式得3xm+5y2与x3yn是同类项，

∴   解得 ， nm=2-2=

【点评】本题考查同类项定义结合求解二元一次方程组，负整数指数幂的计算.
　　    同类项的概念为：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式.
举一反三：

【变式】若单项式是同类项，则的值是( 　)

        　A、-3 　　　B、-1　　　 C、 　　　D、3

【答案】由题意单项式是同类项，
　　　 　所以，解得 ，，应选C.

2．下列各式中正确的是( 　)
　　  A. 　　　B.a2·a3=a6　　　 C.(-3a2)3=-9a6 　　　D.a5+a3=a8
　　

【答案】A；
【解析】选项B为同底数幂乘法，底数不变，指数相加，a2·a3=a5，所以B错；

选项C为积的乘方，应把每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，(-3a2)3=-27a6，所以C错；选项D为两个单项式的和，此两项不是同类项，不能合并，所以D错；

选项A为负指数幂运算，一个数的负指数幂等于它的正指数幂的倒数，A正确.答案选A.
 

【点评】考查整数指数幂运算.

举一反三：

【变式1】下列运算正确的是 (   )

A．         B．         C．     D．

【答案】A.2-3 = ； B. ；C. 正确 ；D.. 故选C.

【高清课程名称： 整式与因式分解     高清ID号：399488

关联的位置名称（播放点名称）：例1-例2】

【变式2】下列运算中，计算结果正确的个数是(    )．

(1)a4·a3＝a12； (2)a6÷a3＝a2；     (3)a5＋a5＝a10；

(4)(a3)2＝a9；   (5)(－ab2)2＝ab4； (6)

A．无   B．1个   C．2个   D．3个

【答案】A.

3．利用乘法公式计算：
　  　(1)(a+b+c)2        (2)(2a2-3b2+2)(2-2a2+3b2)

【答案与解析】

(1)(a+b+c)2可以利用完全平方公式，将a+b看成一项，则
　　　　(a+b+c)2=[(a+b)2+2(a+b)c+c2]
　　　　　   　=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
　　　　　     =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
　　 (2)(2a2-3b2+2)(2-2a2+3b2)两个多项式中，每一项都只有符号的区别，所以，我们考虑用平方差公 式，将符号相同的看作公式中的a，将符号相反的项，看成公式中的b，
　　原式=[2+(2a2-3b2)][2-(2a2-3b2)]
　　    =4-(2a2-3b2)2=4-4a4+12a2b2-9b4.
【点评】利用乘法公式去计算时，要特别注意公式的形式及符号特点，灵活地进行各种变形.

举一反三：

【变式】如果a2+ma+9是一个完全平方式，那么m=______.

【答案】利用完全平方公式：(a±3)2=a2±6a+9. m=±6.

类型二、因式分解

4．因式分解：①3a3-6a2+12a；   ②(a+b)2-1；    ③x2-12x+36；    ④(a2+b2)2-4a2b2
　　

【答案与解析】

① 3a3-6a2+12a=3a(a2-2a+4)
　　　 ② (a+b)2-1=(a+b)2-12=[(a+b)+1][(a+b)-1]=(a+b+1)(a+b-1)
　　　 ③ x2-12x+36=(x-6)2
　　   ④ (a2+b2)2-4a2b2=(a2+b2-2ab)(a2+b2+2ab)=(a-b)2(a+b)2

【点评】把一个多项式进行因式分解，首先要看多项式是否有公因式，有公因式就要先提取公因式，再看是否还可以继续进行分解，是否可以利用公式法进行分解，直到不能进行分解为止.

举一反三：

【高清课程名称：  整式与因式分解    高清ID号：399488

关联的位置名称（播放点名称）：例3（1）-（2）】

【变式】把下列各式分解因式：

(1)6(a－b)2＋8a(b－a)；    (2)(x＋y)2－4(x＋y)＋4.

【答案】

(1)原式＝6(a－b)2－8a(a－b)

＝2(a－b)[3(a－b)－4a]

＝2(a－b)(3a－3b－4a)

＝－2(a－b)(a＋3b)．

(2)原式＝[(x＋y)－2]2＝(x＋y－2)2．

5．若能分解为两个一次因式的积，则m的值为（    ）

    A. 1  B. -1  C.   D. 2

【思路点拨】

     对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法.

【答案】C.

【解析】

解：

    -6可分解成或，因此，存在两种情况：

由（1）可得：，

由（2）可得：.

    故选择C.

【总结升华】十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.

举一反三：

【变式】因式分解：_______________.

【答案】

类型三、因式分解与其他知识的综合运用

6．已知a、b、c 是△ABC的三边的长,且满足: a2+2b2+c2-2b(a+c)=0,试判断此三角形的形状.

【思路点拨】

     式子a2+2b2+c2-2b(a+c)=0体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，把2b2写成b2+b2，故等式可变成2个完全平方式，从而得到结论．

【答案与解析】 

解:  a2+2b2+c2-2b(a+c)=0       

 a2+b2+ b2+c2-2ba-2bc=0

     (a-b) 2+(b-c) 2=0    

即:  a-b=0 ,   b-c=0，所以a=b=c.

所以△ABC是等边三角形.

【总结升华】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系．