2021江苏南通三校联考九上数学期中试卷（含答案）

2020-2021学年度第一学期江苏省南通市三校联考九年级期中考试数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.观察下列图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ）           

A.          B.               C.           D. 

2.若x=1是方程x2+ax-2=0的一个根，则a的值为（   ）           

A. 0                       B. 1                        C. 2                           D. 3

3.将二次函数 的图象向左平移2个单位长度得到的新图象的表达式为（   ）           

A.       B.       C.     D.  

4.在平面直角坐标系中，将点 关于原点对称得到点 ，再将点 向左平移2个单位长度得到点 ，则点 的坐标是（    ）           

A.        B.     C.         D. 

5.同一坐标系中，抛物线y＝(x－a)2与直线y＝a＋ax的图象可能是(　　)           

A.  B. C. D. 

6.一元二次方程x2-6x+5=0的两根分别是x1、x2  ， 则x1+x2的值是(    )           

A. 6                        B. -6                      C. 5                        D. -5

7.如图，已知在△ABC中，  ，将线段AC绕点A顺时针旋转得到AD，且 ，连接CD，且△ACD的面积为（   ） 

A. 24                     B. 30                    C. 36                       D. 40

8.有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（   ）           

A. 5人           B. 6人                    C. 7人                   D. 8人

9.已知关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ）           

A.              B.            C.          D. 且

10.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则在下列各式子：①abc＞0；②a+b+c＞0；③a+c＞b；④2a+b=0；⑤△=b2-4ac＜0；⑥3a+c＞0；⑦（m2-1）a+(m-1)b≥0（m为任意实数）中成立式子（　　）

A. ②④⑤⑥⑦        B. ①②③⑥⑦        C. ①③④⑤⑦       D. ①③④⑥⑦

二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分）

11.如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为________． 

12.某乡村种的水稻2018年平均每公顷产3200kg  ， 2020年平均每公顷产5000kg  ， 则水稻每公顷产量的年平均增长率为________．   

13.一抛物线的形状，开口方向与 相同，顶点在(-2，3)，则此抛物线的解析式为________．   

14.如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的一部分，已知抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（-1，0），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是________

15.如图，四边形ABCD是正方形，P在CD上，△ADP旋转后能够与△ABP′重合，若AB＝3，DP＝1，则PP′＝________． 

16.如图，已知AB⊥BC，AB=12cm，BC=8cm.一动点N从C点出发沿CB方向以1cm/s的速度向B点运动，同时另一动点M由点A沿AB方向以2cm/s的速度也向B点运动，其中一点到达B点时另一点也随之停止，当△MNB的面积为24cm2时运动的时间t为________秒. 

17.如图，在边长为6的等边△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是△ABC内一个动点，且DE＝2，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到AF，则DF的最小值是________． 

18.如图，抛物线 与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且 CD∥AB.AD与y轴相交于点E，过点E的直线PQ平行于X轴，与拋物线相交于P、Q两点，则线段PQ的长为________. 

三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）

19.如图，AC是正方形ABCD的对角线，△ABC经过旋转后到达△AEF的位置．

（1）指出它的旋转中心；   

（2）说出它的旋转方向和旋转角是多少度；   

（3）分别写出点A，B，C的对应点．   

20.已知关于x的一元二次方程 ．   

（1）求证：方程总有两个实数根；   

（2）任意写出一个k值代入方程，并求出此时方程的解．   

21.已知二次函数y=x2-4x+3，设其图象与x轴的交点分别是A、B（点A在点B的左边），与y轴的交点是C，求：   

（1）A、B、C三点的坐标；   

（2）△ABC的面积．   

22.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.   

（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；   

（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？   

23.跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线. 正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0. 9米，身高为1. 4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E. 以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系, 设此抛物线的解析式为  y=ax2+bx+0.9.

（1）求该抛物线的解析式；   

（2）如果身高为1. 85米的小华也想参加跳绳，问绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理由；   

（3）如果一群身高在1. 4米到1. 7米之间的人站在OD之间,且离点O的距离为t米, 绳子甩到最高处时必须超过他们的头顶,请结合图像,写出t的取值范围________.   

24.将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F． 

（1）连接BF，求证：CF＝EF．   

（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，如图②，求证：AF+EF＝DE．   

（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图③，你认为（2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出AF、EF与DE之间的数量关系．   

25.如图，已知抛物线 与直线 交于点O（0，0），A（a，12），点B是抛物线上O、A之间的一个动点，过点B分别作x轴和y轴的平行线与直线OA交于点C、E，

（1）求抛物线的函数解析式；   

（2）若点C为OA的中点，求BC的长；   

（3）以BC、BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为（m，n），求出m、n之间的关系式.   

26.在一-次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合(如图1)，其中∠ACB=∠DFE=90° ，BC=EF=3cm，AC=DF=4 cm，并进行如下研究活动。

活动一:将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD(如图2)，当点F与点C重合时停止平移。

活动二:在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转a度(0≤a≤90)，连结OB，OE(如图4)。

（1）图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由。   

（2）当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形(如图3)。求AF的长。   

（3）当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由。   

答案

一、选择题

1.解：此图形表示轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、此图形不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、此图形是轴对称图形也是中心对称图形，故D符合题意；
故答案为：D.
2.解：∵ x=1是方程x2+ax-2=0的一个根
∴1+a-2=0
解之：a=1.
故答案为：B.
3.解：由题意得：  
=2（x-1+2）2+2
=2（x+1）2+2.
故答案为：D.
4.解：由点P（a，b）关于原点对称得到点P1  ， 得P1（-a，-b），将点P1向左平移2个单位长度得到点P2  ， 则点P2的坐标是（-a-2，-b），

故答案为：D.

5.解：当a＞0时，二次函数y=（x-a）2的顶点坐标在x轴的正半轴；y=a+ax的图像经过第一，二，三象限，
故答案为：D.

6解：x2-6x+5=0的两根分别是x1、x2  ，
∴x1+x2=6.
故答案为：A.
7.解：如图，过点D作DE⊥AC于E，

∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，

∴AC= ，

∵将线段AC绕点A顺时针旋转得到AD，

∴AD=AC，

又∵∠DAC=∠BAC，∠ABC=∠DEA=90°，

∴△ABC≌△AED（AAS）

∴DE=BC=6，

∴S△ACD= AC×DE=30，

故答案为：B.

8.解：设一个人传染人数为x，则第一轮后共有（1+x）人患了流感，第二轮传染人数为x（1+x），
由题意得（1+x）2=64

解得x=7（负根已舍）.
故答案为：C.

9.解：根据题意得：△=b2-4ac=4-4（k-1）=8-4k＞0，且k-1≠0，

解得：k＜2，且k≠1．

故答案为：D．

10.解：抛物线的开口向上，与y轴交于负半轴
∴a＞0，c＜0
抛物线的对称轴在x轴的右侧，
∴b＜0
∴abc＞0，故①正确；
当x=1时y＜0即a+b+c＜0，故②错误；
当x=-1时y＞0即a-b+c＞0
∴a+c＞b，故③正确；
∵对称轴为直线x=
∴b=-2a
∴2a+b=0，故④正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴ △=b2-4ac＞0，故⑤错误；
∵a-b+c＞0
∴a-（-2a）+c＞0即3a+c＞0，故⑥正确；
∵当x=1时，y=a+b+c的值最小，
当x=m时y=am2+bm+c
∴am2+bm+c≥a+b+c
整理得： （m2-1）a+(m-1)b≥0（m为任意实数），故⑦正确
正确结论有：①③④⑥⑦.
故答案为：D.
二、填空题

11.解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，P（4，2），

故答案为：（4，2）．

12.解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x  ， 

则3200（1+x）2＝5000，

解得：x1＝25%，x2＝﹣2.25（应舍去）．

答：水稻每公顷产量的年平均增长率为25%．

故答案为：25%．

13.解：∵ 一抛物线的形状，开口方向与 相同， 顶点在(-2，3)
∴此函数解析式为 .
故答案为：.

14.解：设抛物线与x轴的另一个交点坐标为（x，0）
∵抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（-1，0）
∴
解之：x=5.
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（5，0）.
故答案为：（5，0）.
15.解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD＝3，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，

∴AP＝ ＝ ，

∵△ADP旋转后能够与△ABP′重合，

∴△ADP≌△ABP′，

∴AP′＝AP＝ ，∠BAP′＝∠DAP，

∴∠PAP′＝∠BAD＝90°，

∴△PAP′是等腰直角三角形，

∴PP′＝ AP＝2 ；

故答案为：2 ．

16.根据题意可知CN=t，AM=2t，

∴BN=8-t,BM=12-2t,

∵△MNB的面积为24cm2

∴ ×（12-2t）×（8-t）=24

解得x1=2,x2=12(舍去)

故答案为：2.

17.如图，以ED为边作等边△DEG，连接AD，EF，AG，

∵△ABC是等边三角形，点D是BC中点，

∴BD=CD=3，AD⊥BC，

∴AD= =3 ，

∵将线段AE绕点A逆时针旋转60°得AF，

∴AE=AF，∠EAF=60°，

∴△AEF是等边三角形，

∴AE=EF，∠AEF=60°，

∵△DEG是等边三角形，

∴DE=EG=2，∠GED=60°=∠AEF，

∴∠AEG=∠FED，且AE=EF，EG=DE，

∴△AEG≌△FED（SAS），

∴DF=AG，

∵在△ADG中，AG≥AD-DG，

∴当点A，点G，点D三点共线时，AG值最小，即DF值最小，

∴DF最小值=AD-DG=3 -2．

故答案为：3 -2．

18.解：当y=0时，-x2+x+2=0，解得：x1=-2，x2=4，

∴点A的坐标为（-2，0）；
当x=0时，y=-×02+×0+2=2，
∴点C的坐标为（0，2）；
当y=2时，-x2+x+2=2，
解得：x1=0，x2=2，
∴点D的坐标为（2，2）．
设直线AD的解析式为y=kx+b（k≠0），
将A（-2，0），D（2，2）代入y=kx+b，得：
-2k+b=0，2k+b=2
，解得：k=  ， b=1，
∴直线AD的解析式为y=x+1．
当x=0时，y=x+1=1，
∴点E的坐标为（0，1）．
当y=1时，-x2+x+2=1，
解得：x1=1-5，x2=1+5，
∴点P的坐标为（1-  ， 1），点Q的坐标为（1+  ， 1），
∴PQ=1+-（1-）=2.

三、解答题

19. （1）解：它的旋转中心为点A
（2）解：它的旋转方向为逆时针方向，旋转角是45度
（3）解：点A，B，C的对应点分别为点A，E，F  

20. （1）解：     

∵ ，

∴方程总有两个实数根.  

（2）解：当    

∴

解得

21.（1）解：∵y=x2-4x+3=（x-1）（x-3），∴二次函数y=x2-4x+3的图象与x轴交点分别是A（1，0），B（3，0）；

令x=0，则y=3，即点C的坐标是（0，3）

（2）解：由（1）知，A（1，0），B（3，0），C（0，3），则S△ABC= ×2×3=3，即△ABC的面积是3．  

22.（1）26
（2）解：解：设每件商品降价x元时，该商店每天销售利润为1200元，则平均每天销售数量为（20+2x）件，每件盈利为（40-x）元，且40-x≥25,即x≤15.

根据题意可得（40-x）（20+2x）=1200，

整理得x2-30x+200=0,

解得x1=10,x2=20（舍去），

答：每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元。

23. （1）解：由题意得点E（1，1.4），B（6，0.9），代入 y=ax2+bx+0.9 得

   ， 解得：  a=-0.1,b=0.6，

∴所求的抛物线的解析式是  ；

（2）解：∵  y=-0.1x2+0.6x+0.9=-0.1(x-3）2+1.8，

∵  a=-0.1＜0，

∴x=3时，y有最大值为1.8，

∵1.85＞1.8，

∴绳子不能顺利从他头顶越过；

（3）1＜t＜5  

（3）身高在1. 4米到1. 7米之间的人站在OD之间,

∵1.4<1.7<1.8，

∴只需要计算1.4米身高的情况.

当y=1.4时，  -0.1x2+0.6x+0.9=1.4，

解得  x1=1，x2=5，

∴1＜t＜5，故答案为：1＜t＜5．

24.（1）证明：如图1，连接BF， 

∵△ABC≌△DBE，

∴BC＝BE，

∵∠ACB＝∠DEB＝90°，

在Rt△BCF和Rt△BEF中，

 ，

∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），

∴CF＝EF；

（2）如图2，连接BF， 

∵△ABC≌△DBE，

∴BC＝BE，AC＝DE,

∵∠ACB＝∠DEB＝90°，

在Rt△BCF和Rt△BEF中，

，

∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），

∴EF＝CF，

∴AF+EF＝AF+CF＝AC＝DE；

（3）如图3，连接BF， 

∵△ABC≌△DBE，

∴BC＝BE，AC＝DE,

∵∠ACB＝∠DEB＝90°，

∴△BCF和△BEF是直角三角形，

在Rt△BCF和Rt△BEF中，

，

∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），

∴CF＝EF，

∵AC＝DE，

∴AF＝AC+FC＝DE+EF．

25. （1）解：∵直线y=2x经过点A（a，12）
∴2a=12
解之：a=6.
∵ 抛物线 与直线y=2x交于点A
∴
解之：b=-1
∴抛物线的解析式为
（2）解：∵点C是OA的中点，
∴点C即（3，6）
∵CB∥y轴
∴点B的纵坐标为6
当y=6时，
解之：（舍去）
∴点B
∴
（3）解：如图，

∵矩形BCDE，点D（m，n）直线OA的解析式为y=2x，
∴点E  ， 点C的坐标为（m，2m），
∴点B
将点B代入得

整理得：
∴m、n之间的关系式为.  

26. （1）解：四边形ABDE是平行四边形

如图

 ∵△ABC≌△DEF，

∴AB=DE，∠BAC=∠EDF，

∴AB∥DE，

∴四边形ABDE是平行四边形

（2）解： 如图1，连接BE交AD于点O，

∵四边形ABDE为矩形，

∴OA=OD=OB=OE，

设AF=x(cm)，则OA=OE= (x+4)，

∴OF=0A-AF=2- x，

在Rt△OFE中，∵OF2+EF2=OE2  ，

∴(2- x)2+32= (x+4)2  ，

解得:x=

∴AF= cm

（3）解：BD= 2OF，

证明:如图2，

延长OF交AE于点H，

∵四边形ABDE为矩形，

∴∠OAB=∠OBA=∠ODE=∠OED，OA=OB=OE=OD，

∴∠OBD=∠ODB，∠OAE=∠OEA，

∴∠ABD+∠BDE+∠DEA+∠EAB= 360°，

∴∠ABD+2∠BAE=180°，

∴AE∥BD，

∴∠OHE=∠ODB，

∵EF平分∠OEH，

∴∠OEF=∠HEF，

∵∠EFO=∠EFH=90°，EF=EF，

∴△EFO≌△EFH(ASA)，

∴EO= EH，FO=FH，

∴∠EHO=∠EOH=∠OBD=∠ODB，

∴△EOH≌△OBD( AAS)，

∴BD=OH=2OF