2021版高考数学一轮复习单元评估检测五含解析新人教B版

单元评估检测(五)(第九章)
(120分钟　150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.直线ax+y+7=0与4x+ay-3=0平行,则a为 (　　)
A.2 B.2或-2
C.-2 D.-
【解析】选B.由直线ax+y+7=0与4x+ay-3=0平行,可得=≠,解得a=±2.
2.若直线mx+ny=4与圆O:x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数为 (　　)
A.0 B.1
C.2 D.0或1
【解析】选C.因为直线mx+ny=4与圆O:
x2+y2=4没有交点,所以>2,
所以m2+n20)的渐近线与抛物线y=x2+2相切,则该双曲线的离心率等于(　　)
A. B.2 C. D.3
【解析】选D.双曲线-=1的一条渐近线方程为y=x,由方程组,消去y,
得x2-x+2=0有唯一解,
所以Δ=-8=0,
所以=2,e===3.
5.已知椭圆+=1(00,n>0,
由△PF1F2的面积为20,可得|F1F2|n=cn=5n=20,即n=4,
由-=1,可得m=,故A正确;
由P,且F1(-5,0),F2(5,0),
可得=,=,则tan∠F1PF2==∈(0,),则∠F1PF2b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e1,椭圆C1的上顶点为M,且·=0.双曲线C2和椭圆C1有相同焦点,且双曲线C2的离心率为e2,P为曲线C1与C2的一个公共点,若∠F1PF2=,则正确的是 (　　)
A.=2 B.e1·e2=
C.+= D.-=1
【解析】选BD.如图所示,设双曲线的标准方程为-=1(a1,b1>0),半焦距为c.
因为椭圆C1的上顶点为M,且·=0.所以∠F1MF2=,
所以b=c,所以a2=2c2.所以e1==.
不妨设点P在第一象限,设|PF1|=m,|PF2|=n.所以m+n=2a,m-n=2a1.
所以mn==a2-.
在△PF1F2中,由余弦定理可得4c2=m2+n2-2mncos=(m+n)2-3mn=4a2-3(a2-).所以4c2=a2+3.
两边同除以c2,得4=+,解得e2=.
所以e1·e2=·=,-=1,=,+=2.

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
13.已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=6,P为C的准线上一点,则△ABP的面积为________. 
【解析】设抛物线C的方程为y2=2px,
则|AB|=2p=6,
所以p=3,所以S△ABP=|AB|×p=9.
答案:9
14.已知圆C经过坐标原点和点(4,0),若直线y=1与圆C相切,则圆C的方程是________. 
【解析】设圆的圆心坐标为(a,b),半径为r,
因为圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,所以
解得a=2,b=-,r=,
所求圆的方程为:(x-2)2+=.
答案:(x-2)2+=
15.已知焦点在x轴上的椭圆+=1,点P在椭圆上,过点P作两条直线与椭圆分别交于A,B两点,若椭圆的右焦点F恰是△PAB的重心,则直线AB的方程为____________. 世纪金榜导学号 
【解析】将点P代入椭圆的方程可得b2=16,
所以椭圆的方程为+=1,c2=25-16=9,F(3,0),
设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率为k,
由⇒
由A,B在椭圆上可得
⇒+×k=0⇒k=,
又AB的中点坐标为,
所求的直线方程为20x-15y-68=0.
答案:20x-15y-68=0
16.(2020·山东新高考模拟)直线l过抛物线C:
y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与C交于A,B两点,则p=________,+
=__________.(本题第一空2分,第二空3分.) 
【解析】由题意知=1,从而p=2,所以抛物线方程为y2=4x.
方法一:将x=1代入,解得|AF|=|BF|=2,从而+=1.
方法二:设AB的方程为y=k(x-1),联立整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则
从而+=+===1.
方法三:利用书中结论:+==1,即可得出结果.
答案:2　1
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知直线l:y=x+m(m∈R)与直线l′关于x轴对称.
(1)若直线l与圆(x-2)2+y2=8相切于点P,求m的值和P点的坐标.
(2)直线l′过抛物线C:x2=4y的焦点,且与抛物线C交于A,B两点,求|AB|的值.
【解析】(1)由点到直线的距离公式得:d==2,解得m=2或m=-6,
当m=2时P(0,2),当m=-6时P(4,-2).
(2)因为直线的方程为y=x+m,所以l′的方程为y=-x-m,焦点(0,1),m=-1,
将直线y=-x+1代入抛物线x2=4y,整理得x2+4x-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则
x1+x2=-4,y1+y2=-(x1+x2)+2=6,
|AB|=y1+y2+2=8.
18.(12分)已知圆G:x2+y2-2x-y=0经过椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F及上顶点B.过椭圆外一点M(m,0)(m>a)作倾斜角为的直线l交椭圆于C,D两点.
(1)求椭圆的方程.
(2)若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部,求m的取值范围.
【解析】(1)因为圆G:
x2+y2-2x-y=0经过点F,B,
所以F(2,0),B(0,),
所以c=2,b=,
所以a2=b2+c2=6,椭圆的方程为+=1.
(2)由题意知直线l的方程为y=-(x-m),m>,
由
消去y,整理得2x2-2mx+m2-6=0.
由Δ=4m2-8(m2-6)>0,
解得-20)的焦距是8,长轴长是短轴长的3倍,任作斜率为的直线l与椭圆C交于A、B两点(如图所示),且点P(3,)在直线l的左上方.
(1)求椭圆C的方程.
(2)若|AB|=2,求△PAB的面积.
(3)证明:△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上.

【解析】(1)由题意可得2c=8,即c=4,又a=3b,a2-b2=c2=32,
所以a=6,b=2,
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)设直线l的方程为y=x+t,代入椭圆方程可得2x2+6tx+9t2-36=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-3t,x1x2=,
所以|AB|==2,解得t=2或-2.
由题意可知t