高中数学人教版新课标A选修1-11.1命题及其关系教案
展开§1．1.2 四种命题间的相互关系
【学情分析】：
四种命题的关系是命题这一节的核心内容，由原命题写出其他三种形式且引导学生探究四种命题相互间的内在的联系,从而引导学生探究出互为逆否命题的真假性一致.利用互为逆否命题的等价性,通过“正难则反”培养自己的逆向思维能力．这也是反证明法证明问题的理论依据．
【教学目标】：
（1）知识目标：
理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本步骤。
（2）过程与方法目标：
让学生初步学会运用逻辑知识整理客观素材，合理进行思维的方法，初步形成运用逻辑知识准确地表述数学问题的数学意识。
（3）情感与能力目标：
通过对四种命题之间关系的学习，培养学生逻辑推理能力。
【教学重点】：
四种命题之间的关系；
【教学难点】：
利用互为逆否命题的等价性,通过“正难则反”培养自己的逆向思维能力。
【教学过程设计】
教学环节 | 教学活动 | 设计意图 |
一．问题 情境
| 问题1：写出命题 若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; 的逆命题、否命题与逆否命题。 问题2：这四个命题中任意两个命题的关系？ 问题3：这四个命题的真假性是否也有一定的关系？ | 巩固由原命题写出其他三种形式且引导学生探究四种命题相互了解间的内在的联系。 |
二、知识 建构 | 1、 四种题的形式和关系如下图： | 由师生合作完成四种题的形式和关系图，培养学生分析和概括的能力。 |
三、学生 探究 | 设原命题是“若，则”， 写出它的逆命题、否定命与逆否命题，并分别判断它们的真假． 问题4：分析其它一些命题， 四个命题的真假性间有什么规律？ | 由学生的分组讨论探索四种命题 真假性间的规律。 |
四、知识 建构 | 结论：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性． (2)两个命题为互逆或互否命题,它们的真假性没有关系.
| 在命题真假性的判断中,要借助原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假, 学会利用互为逆否命题的等价性,通过“正难则反”培养自己的逆向思维能力． |
五．体验与运用 | 例1:设原命题是“当c>0时，若a>b，则ac>bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假 解： 逆命题“当 时，若 ，则 ”． 否命题“当 时，若 ，则 ”．否命题为真． 逆否命题“当 时，若 ，则 ”．逆否命题为真．
课堂练习 写出命题：“若 xy = 6则 x = 3且 y = 2”的逆命题否命题逆否命题，并判断它们的真假 例2：证明：若，则。 练习： 已知a,b两直线是异面直线,且点A与B,C与D分别是直线a,b 上的相异点求证:直线AC与BD必异面 | 通过“正难则反”培养自己的逆向思维能力．这也是反证明法证明问题的理论依据 |
六、小结与反思 | 课堂小结 1．写一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的关键是分清楚原命题的条件和结论,一般大前提不变． 2．在命题真假性的判断中,要借助原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假, 学会利用互为逆否命题的等价性,通过“正难则反”培养自己的逆向思维能力．这也是反证明法证明问题的理论依据．
| 通过学生自己的小结，将新知识系统化、重点化。通过学生的反思，使学生意识重点和难点，提高学习效率。 |
课后练习
1．如果一个命题的否命题是真命题，那么这个命题的逆命题是（ ）
A．真命题， B． 假命题，
C．不一定是真命题， D．不一定是假命题。
2．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中（ ）
A．真命题的个数一定是奇数 B．真命题的个数一定是偶数
C．真命题的个数可能是奇数也可能是偶数 D．上述判断都不正确
3．已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是( )
A．逆命题、否命题、逆否命题都为真
B．逆命题为真，否命题、逆否命题为假
C．逆命题为假，否命题、逆否命题为真
D．逆命题、否命题为假，逆否命题为真
4．有下列四个命题：
①“若则互为倒数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题
③“若，则关于若的方程若有实根”的逆否命题
④“，则”的逆否命题
其中，真命题的个数是（ ）
A． 0 B． 1 C． 2 D．3
5．用反证法证明命题“a、b∈N*，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设内容是（ ）
A．a、b都能被5整除 B．a、b都不能被5整除
C．a不能被5整除 D．a、b有一个不能被5整除
6．下列4个命题是真命题的是（ ）
①“若则、均为零”的逆命题
②“相似三角形的面积相等”的否命题
③“若则”的逆否命题
④“末位数字不是零的数可被3整除”的逆否命题
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④
7、命题“若a＞b,则ac2＞bc2(a、b∈R)”与它的逆命题、否命题中，真命题的个数为（ ）
A.3 B.2 C.1 D.0
8．“在整数范围内，，是偶数，则是偶数”的逆否命题是 。
9．用反证法证明命题“5个连续自然数的平方和不可能是一个完全平方数”时，反设成： ．反设若用式子表示，则为： ．
10． 判断下列命题“若在二次函数 中 ，则该二次函数图像与 轴有公共点”．的真假，并写出它的逆命题，否命题，逆否命题．同时，也判断这些命题的真假．
11．反证法证明：若 ，则 、 、中至少有一个不等于0．
12．若a，b，c均为实数，且a=x2-2y+，b=y2-2z+，c=z-2x+，求证：a，b，c中至少有一个大于0．
参考答案：
1． C 2．B 3．D 4．C 5．B 6． C 7，B
8．在整数范围内，若不是偶数则不都是偶数。
9.“假设5个连续自然数的平方和是一个完全平方数”．用式子表示，则为“假设 是一个完全平方数（ ）
10.该命题为假．
逆命题：若二次函数 的图像与 轴有公共点，则 ．为假．
否命题：若二次函数 中， ，则该二次函数图象与 轴没有公共点．为假．
逆否命题：若二次函数 的图像与 轴没有公共点，则 ．为假．
11．证明：假设 、 、 都等于0，则
与 矛盾，所以 、 、 中至少有一个不等于0．
常见错误及分析：往往把 、 、 中至少有一个不等于零的否定错认为是 、 、 中最多有一个不等于零，或错认为是 、 、 中最多有一个等于零
12、假设a、b、c都不大于0，
即：a≤0，b≤0，c≤0，则a+b+c≤0
但a+b+c=（x2-2y+）+（y2-2z+）+（z2-2x+）
=（x-1）2+（y-1）2+（z-1）2+（π-3）
∵π＞3，且 （x-1）2+（y-1）2+（z-1）2≥0．
对一切x，y，z∈R恒成立．
∴必有a+b+c＞0，这与假设a+b+c≤0矛盾．
∴a，b，c中至少有一个大于0．
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