人教版新课标A选修1-1第三章 导数及其应用3.1变化率与导数教学设计

教学环节

教学活动

设计意图

(1)引入变化率和瞬时速度

1.瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.

2. 确定物体在某一点A处的瞬时速度的方法：

要确定物体在某一点A处的瞬时速度，从A点起取一小段位移AA1，求出物体在这段位移上的平均速度，这个平均速度可以近似地表示物体经过A点的瞬时速度.

当位移足够小时，物体在这段时间内运动可认为是匀速的，所得的平均速度就等于物体经过A点的瞬时速度了.

我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识，现在已经知道物体做直线运动时，它的运动规律用函数表示为s=s(t)，也叫做物体的运动方程或位移公式，现在有两个时刻t0，0+Δt，现在问从t0到t0+Δt这段时间内，物体的位移、平均速度各是：

位移为Δs=s(t0+Δt)－s(t0)(Δt称时间增量)

为导数概念的引入做铺垫

平均速度

根据对瞬时速度的直观描述，当位移足够小，现在位移由时间t来表示，也就是说时间足够短时，平均速度就等于瞬时速度.

现在是从t0到t0+Δt，这段时间是Δt. 时间Δt足够短，就是Δt无限趋近于0. 当Δt→0时，平均速度就越接近于瞬时速度，用极限表示瞬时速度

瞬时速度

所以当Δt→0时，平均速度的极限就是瞬时速度

(2)例题讲解

例1、物体自由落体的运动方程s=s(t)=gt2，其中位移单位m，时间单位s，g=9.8 m/s2. 求t=3这一时段的速度.

解：取一小段时间［3，3+Δt］，位置改变量Δs=g(3+Δt)2－g·32=(6+Δt)Δt，平均速度g(6+Δt)

瞬时速度为：

由匀变速直线运动的速度公式得v=v0+at=gt=g·3=3g=29.4 m/s

例2、已知质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)，

(1)当t=2，Δt=0.01时，求.

(2)当t=2，Δt=0.001时，求.

(3)求质点M在t=2时的瞬时速度.

让学生进一步认识瞬时速度，为引入导数的概念做好铺垫.

分析：Δs即位移的改变量，Δt即时间的改变量，即平均速度，当Δt越小，求出的越接近某时刻的速度.

解：∵=4t+2Δt

∴(1)当t=2，Δt=0.01时，=4×2+2×0.01=8.02 cm/s

(2)当t=2，Δt=0.001时，=4×2+2×0.001=8.002 cm/s

(3)v=(4t+2Δt)=4t=4×2=8 cm/s

(3) 导数的概念

设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即 

注意：(1)函数应在点的附近有定义，否则导数不存在

(2)在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可能为0

(3)是函数对自变量在范围内的平均变化率.

要让学生理解导数概念

例3、求y=x2在点x=1处的导数.

分析：根据求函数在一点处的导数的方法的三个步骤，先求Δy，再求，最后求.

解：Δy=(1+Δx)2－12=2Δx+(Δx)2，=2+Δx

∴= (2+Δx)=2. ∴y′|x=1=2.

注意：(Δx)2括号别忘了写.

学生自学教材P75 例1

(4)课堂小结

(1)理解函数的概念。

（2）求函数的导数的一般方法：

①求函数的改变量.

②求平均变化率.

③取极限，得导数＝.

补充题目：1.一直线运动的物体，从时间到时，物体的位移为，那么为（      ）

Ａ．从时间到时，物体的平均速度； Ｂ．在时刻时该物体的瞬时速度；  

Ｃ．当时间为时物体的速度；           Ｄ．从时间到时物体的平均速度

2．一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s=s(t)=t2 (位移单位：m，时间单位：s)，求小球在t=5时的瞬时速度

解：瞬时速度v=

(10+Δt)=10 m/s.

∴瞬时速度v=2t=2×5=10 m/s.

3.质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)，求质点M在t=2时的瞬时速度.

解：瞬时速度v=

=(8+2Δt)=8 cm/s.