2021年中考数学分类专题提分训练：圆之圆周角定理解答题专项（二）

2021年中考数学分类专题提分训练：

圆之圆周角定理解答题专项（二）

1．已知OA是⊙O的半径，OA＝1，点P是OA上一动点，过P作弦BC⊥OA，连接AB、AC．

（1）如图1，若P为OA中点，则AC＝　   　，∠ACB＝　   　°；

（2）如图2，若移动点P，使AB、CO的延长线交于点D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．△AOD的面积为S3，且满足，求的值．

2．已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，D为的中点．

（1）求∠ABD的大小；

（2）若AC＝6，BD＝5，求BC的长．

3．如图，在⊙O中，弦AB的长为10，半径OD⊥AB，垂足为C，E为⊙O上任意一点，连接DE、BE．

（1）若∠AOD＝50°，求∠DEB的度数；

（2）若OC＝2CD，求CD的长．

4．如图，已知AB为圆O的直径，点C为圆O上一点，弦CD⊥AB，垂足为点E，AB＝5，BC＝3，点F为劣弧AC中点，连结DF．

（1）求AD的长．

（2）求OE的长．

（3）求tan∠FDC的值．

（4）求DF的长．

5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，连接BD，点E是AB边上一点（点E不与点A，B重合），DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F．

（1）求证：AE＝BF；

（2）连接GB，EF，求证：GB∥EF；

（3）若AE＝3cm，EB＝6cm，求DG的长．

6．如图，在⊙O中，OC⊥AB，交AB于点D，交⊙O于点C，

（1）求证：∠AOC＝∠BOC；

（2）若点D是OC的中点，且AB＝6，求⊙O的半径．

7．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C、D两点．若∠CMA＝45°，求弦CD的长．

8．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D．延长OD交⊙O于点E，连接EC、EB．

（1）若AC＝6，OD＝，求⊙O的直径；

（2）证明：S△ABC＝2S△BEC．

9．如图，AC为⊙O的直径，点B．D是⊙O上两点，BA＝BD，BE⊥DC交DC的延长线于点E．

（1）求证：∠ECB＝∠BCA；

（2）若CE＝2，⊙O的半径为5，求sin∠BDC的值．

10．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠CDB＝15°，OE＝2．

（1）求⊙O的半径；

（2）将△OBD绕O点旋转，使弦BD的一个端点与弦AC的一个端点重合，则弦BD与弦AC的夹角为　   　．

参考答案

1．解：（1）∵P为OA的中点，OA⊥BC，

∴AC＝OA，

∵OC＝OA，

∴OC＝OA＝AC，

∴△AOC为等边三角形，

∴AC＝1，∠ACO＝60°，

∵PC⊥OA，

∴∠ACB＝∠BCO＝∠AOC＝30°，

故答案为：1；30．

（2）若DC与圆O相交于点E，连接BE，

∵BC⊥OA，

∴PB＝PC，

∴AB＝AC，

∵OB＝CO，OA＝OA，

∴△ABO≌△ACO（SSS），

∴S△ABO＝S△ACO＝S1，

∴S1+S2＝S3，

∵，

∴，

∴S12+S1S2﹣S22＝0，

∴﹣1＝0．

解得：，

∴，

∴，

∴，

∵CE为直径，

∴∠CBE＝90°，

∴AO∥BE，

∴△AOD∽△BED，

∴，

∵OE＝OC，

∴OP＝BE，

∴，

∴+1，

∴，

∴．

2．解：（1）∵D为的中点，

∴＝，

∴DA＝DB，

∵AB是直径，

∴∠ADB＝90°，

∴∠ABD＝∠DAB＝45°．

（2）∵AD＝BD＝5，∠ADB＝90°，

∴AB＝AD＝10，

∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°，

∴BC＝＝＝8．

3．解：∵在⊙O中，OD⊥AB，

∴＝，

∵∠AOD＝50°，

∴∠DEB＝∠AOD＝25°；

（2）设CD＝x，则OC＝2x，OD＝OA＝3x．

∵OD⊥AB，

∴AC＝CB＝5，

在Rt△AOC中，∵OA2＝AC2+OC2，

∴9x2＝4x2+52，

解得x＝或﹣（舍弃），

∴CD＝

4．解：（1）∵AB为圆O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴AC＝＝4，

∵AB⊥CD，

∴＝，

∴AD＝AC＝4；

（2）∵CE•AB＝AC•BC，

∴CE＝，

在Rt△BCE中，BE＝＝，

∴OE＝OB﹣BE＝﹣＝；

（3）连接AF、OF，OF交AC于H，如图，

∵F为劣弧AC中点，

∴＝，OF⊥AC，

∴∠FDC＝∠FAC，AH＝CH＝2，

在Rt△AOH中，OH＝＝，

∴FH＝OF﹣OH＝1，

∴tan∠FAH＝＝，

∵∠FAC＝∠CDF，

∴tan∠FDC＝；

（4）FD交AB于M，如图，

在Rt△DEM中，tan∠EDM＝＝，

∴EM＝DE＝，

∴DM＝＝，

连接BD

∵∠AFM＝∠DBM，∠AMF＝∠DMB，

∴△AMF∽△DMB，

∴DM•FM＝AM•BM，

∴MF＝＝，

∴DF＝DM+FM＝+＝．

5．（1）证明：连接BD．如图，

在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，

∴∠A＝∠C＝45°．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，即BD⊥AC，

∴BD＝AD＝CD，∠CBD＝∠C＝45°，

∵DF⊥DG，∠FDG＝90°，

∴∠FDB+∠BDG＝90°，

又∵∠EDA+∠BDG＝90°，

∴∠EDA＝∠FDB，

在△AED和△BFD中，

，

∴△AED≌△BFD（ASA），

∴AE＝BF；

（2）证明：如图，由（1）知△AED≌△BFD，

∴DE＝DF．

∵∠EDF＝90°．

∴△EDF是等腰直角三角形，

∴∠DEF＝45°，

∵∠G＝∠A＝45°．

∴∠G＝∠DEF，

∴GB∥EF；

（3）解：∵AE＝BF，AE＝3，

∴BF＝3．

在Rt△EBF中，EF＝＝＝3，

∵△DED为等腰直角三角形，∠EDF＝90°，

∴DE＝EF＝×3＝，

∵∠G＝∠A，∠GEB＝∠AED，

∴△GEB∽△AED，

∴，即GE•DE＝AE•BE，

∴GE＝＝，

∴DG＝GE+ED＝＝．

6．（1）证明：∵OA＝OB，OD⊥AB，

∴∠AOC＝∠BOC（三线合一）．

（2）解：在Rt△AOD中，∵OA＝2OD，

∴∠OAD＝30°，

∵OD⊥AB，

∴AD＝DB＝3，

∴OA＝＝＝2．

7．解：连接OD，作OE⊥CD于E，如图所示：

则CE＝DE，

∵AB是⊙O的直径，AB＝4，点M是OA的中点，

∴OD＝OA＝2，OM＝1，

∵∠OME＝∠CMA＝45°，

∴△OEM是等腰直角三角形，

∴OE＝OM＝，

在Rt△ODE中，由勾股定理得：DE＝＝，

∴CD＝2DE＝．

8．解：（1）∵OD⊥AC，AC＝6，

∴AD＝3，

∵OD＝，

∴OA＝4，

∴⊙O的直径＝8；

（2）作EF⊥CB的延长线于点F

∵AB为直径，

∴∠ACB＝∠CDE＝∠CFE＝90°，

∴四边形CDEF为矩形，

∴EF＝CD＝AC，

∴．

9．（1）证明：∵∠ECB+∠BCD＝180°，∠BCD+∠BAD＝180°，

∴∠ECB＝∠BAD，

∵BA＝BD，

∴∠BAD＝∠BDA＝∠BCA，

∴∠ECB＝∠BCA．

（2）解：∵AC是直径，BE⊥EC

∴∠ABC＝∠BEC＝90°

∵∠BCE＝∠BCA，

∴△BEC∽△ABC，

∴＝，

∴＝，

∴BC＝2，

∵∠BDC＝∠BAC，

∴sin∠BDC＝sin∠BAC＝＝＝．

10．解：（1）∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，

∴弧BC＝弧BD，

∴∠BDC＝∠BOD，

而∠CDB＝15°，

∴∠BOD＝2×15°＝30°，

在Rt△ODE中，∠DOE＝30°，OE＝2，

∴OE＝DE，OD＝2DE，

∴DE＝＝2，

∴OD＝4，

即⊙O的半径为4；

（2）有4种情况：如图：

①如图1所示：∵OA＝OB，∠AOB＝30°，

∴∠OAB＝∠OBA＝75°，

∵CD⊥AB，AB是直径，

∴弧BC＝弧BD，

∴∠CAB＝∠BOD＝15°，

∴∠CAB＝∠BAO+∠CAB＝15°+75°＝90°；

②如图2所示，∠CAD＝75°﹣15°＝60°；

③如图3所示：∠ACB＝90°；

④如图4所示：∠ACB＝60°；

故答案为：60°或90°．