微专题：圆之圆周角定理解答题专项——2021年中考数学分类专题提分训练（四）

微专题：圆之圆周角定理解答题专项——

2021年中考数学分类专题提分训练（四）

1．在⊙O中，AB是⊙O直径，AC是弦，∠BAC＝50°．

（Ⅰ）如图（1），D是AB上一点，AD＝AC，延长CD交⊙O于点E，求∠CEO的大小；

（Ⅱ）如图（2），D是AC延长线上一点，AD＝AB，连接BD交⊙O于点E，求∠CEO的大小．

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC．

（1）求证：四边形ABFC是菱形；

（2）若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积．

3．如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，垂足为G，点E在劣弧上，连接CE．

（1）求证：CE平分∠AEB；

（2）连接BC，若BC∥AE，且CG＝4，AB＝6，求BE的长．

4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD．

（1）求证：BD平分∠ABC；

（2）当∠ODB＝30°，BC＝，求⊙O的半径．

5．已知，△ABC中，∠A＝68°，以AB为直径的⊙O与AC，BC的交点分别为D，E

（Ⅰ）如图①，求∠CED的大小；

（Ⅱ）如图②，当DE＝BE时，求∠C的大小．

6．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，⊙O经过点A和点B，与斜边BC交于点P（不与B、C重合），PE是⊙O的直径，连接AE，BE．

（1）求证：AP＝AE；

（2）若PE＝4，求PC2+PB2的值．

7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连结EF．

（1）求证：DA＝DB，∠1＝∠F．

（2）若sinB＝，EF＝2，求CD的长．

8．如图，AB是⊙O的直径，且AB＝10，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点，延长AG，与DC的延长线交于点F，连接AC，BC，DG．

（1）求证：∠ACG＝∠F；

（2）若tan∠BAC＝，，求DG的长．

9．如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC．

（1）求证：∠ACO＝∠BCD；

（2）若EB＝8，CD＝24，求⊙O的直径．

10．已知：如图，AB为半圆O的直径，C是半圆O上一点，过点C作AB的平行线交⊙O于点E，连接AC、BC、AE，EB．过点C作CG⊥AB于点G，交EB于点H．

（1）求证：∠BCG＝∠EBG；

（2）若sin∠CAB＝，求的值．

参考答案

1．解：（Ⅰ）∵AD＝AC，∠A＝50°，

∴∠C＝∠ADC＝65°，

∴∠ADE＝180°﹣∠ADC

＝180°﹣65°

＝115°

∵∠AOE＝2∠C＝130°，

∴∠CEO＝∠AOE﹣∠ADE

＝130°﹣115°

＝15°

（Ⅱ）∵AD＝AB，∠A＝50°

∴∠D＝∠B＝65°，

∵OB＝OE，

∴∠OEB＝∠B＝65°，

∵四边形ABEC是圆内接四边形，

∴∠BEC＝180°﹣∠A＝130°

∴∠CEO＝∠CEB﹣∠OEB

＝130°﹣65°

＝65°

2．（1）证明：∵AB是直径，

∴∠AEB＝90°，

∴AE⊥BC，

∵AB＝AC，

∴BE＝CE，

∵AE＝EF，

∴四边形ABFC是平行四边形，

∵AC＝AB，

∴四边形ABFC是菱形．

（2）设CD＝x．连接BD．

∵AB是直径，

∴∠ADB＝∠BDC＝90°，

∴AB2﹣AD2＝CB2﹣CD2，

∴（7+x）2﹣72＝42﹣x2，

解得x＝1或﹣8（舍弃）

∴AC＝8，BD＝＝，

∴S菱形ABFC＝8．

∴S半圆＝•π•42＝8π．

3．（1）证明：∵CD⊥AB，CD是直径，

∴＝．

∴∠AEC＝∠BEC；

∴CE平分∠AEB；

（2）解：∵CD⊥AB，

∴BG＝AG＝3．∠BGC＝90°，

在Rt△BGC中，∵CG＝4，BG＝3，

∴BC＝5，

∵BC∥AE，

∴∠AEC＝∠BCE．

又∠AEC＝∠BEC，

∴∠BCE＝∠BEC

∴BE＝BC＝5．

4．（1）证明：∵OD⊥AC，

∴弧CD＝弧AD，

∴∠CBD＝∠DBA，

∴BD平分∠ABC；

（2）解：∵OD＝OB，

∴∠OBD＝∠ODB＝30°，

∴∠ABC＝60°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝，

∴AB＝2BC＝2，

∴⊙O的半径为．

5．解：（Ⅰ）∵四边形ABED 圆内接四边形，

∴∠A+∠DEB＝180°，

∵∠CED+∠DEB＝180°，

∴∠CED＝∠A，

∵∠A＝68°，

∴∠CED＝68°．

（Ⅱ）连接AE．

∵DE＝BE，

∴＝

∴∠DAE＝∠EAB＝∠CAB＝34°，

∵AB是直径，

∴∠AEB＝90°，

∴∠AEC＝90°，

∴∠C＝90°﹣∠DAE＝90°﹣34°＝56°

6．（1）证明：∵PE是直径，

∴∠EBP＝90°，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠ABC＝45°，

∴∠ABE＝∠ABC＝45°，

∴＝，

∴AE＝AP．

（2）解：作PM⊥AC于M，PN⊥AB于N．

∵∠MAN＝∠AMP＝∠ANP＝90°，

∴四边形AMPN是矩形，

∴AN＝PM，

∵∠PBN＝∠PCM＝45°，

∴△PBN，△PCM都是等腰直角三角形，

∴PC2+PB2＝2PN2+2PM2＝2（AN2+PN2）＝2PA2，

∵PE是直径，PE＝4，

∴∠EAP＝90°，

∴2AP2＝16，

∴PC2+PB2＝16．

7．解：（1）证明：连接DE，

∵BD是⊙O的直径，

∴∠DEB＝90°，

∵E是AB的中点，

∴DA＝DB，

∴∠1＝∠B，

∵∠B＝∠F，

∴∠1＝∠F；

（2）∵∠1＝∠F，

∴AE＝EF＝2 ，

∴AB＝2AE＝4 ，

在Rt△ABC中，AC＝AB•sinB＝4，

∴BC＝＝8，

设CD＝x，则AD＝BD＝8﹣x，

∵AC2+CD2＝AD2，

即42+x2＝（8﹣x）2，

∴x＝3，即CD＝3．

8．（1）证明：∵AB是直径，AB⊥CD，

∴＝，

∴∠ADC＝∠ACD，

∵∠FGC+∠AGC＝180°，∠ADC+∠AGC＝180°，

∴∠FGC＝∠ADC＝∠ACD，

∵∠DCG＝∠GCA+∠ACD＝∠FGC+∠F，

∴∠ACG＝∠F．

（2）解：如图2中，连接OG，作GH⊥DF于H．

∵AB＝10，tan∠BAC＝＝，

∴BC＝2，AC＝4，

∵AB⊥CD，

∴DE＝CE＝＝4，

∴BE＝＝2，OE＝3，

∵＝，

∴OG⊥AB，

∴∠GOE＝∠OEH＝∠GHE＝90°，

∴四边形OEHG是矩形，

GH＝OE＝3，OG＝EH＝5，DH＝9，

在Rt△DGH中，DG＝＝＝3．

9．（1）证明：∵AB⊥CD，

∴，

∴∠A＝∠BCD，

∵OA＝OC，

∴∠A＝∠ACO，

∴∠ACO＝∠BCD；

（2）解：设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝OA﹣BE＝r﹣8，

∵AB⊥CD，

∴CE＝DE＝CD＝×24＝12，

在Rt△OCE中，122+（r﹣8）2＝r2，解得r＝13，

∴⊙O的直径＝2r＝26．

10．证明：（1）

∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°，

∵CG⊥AB于点G，

∴∠ACB＝∠CGB＝90°．

∴∠CAB＝∠BCG，

∵CE∥AB，

∴∠CAB＝∠ACE．

∴∠BCG＝∠ACE

又∵∠ACE＝∠EBG

∴∠BCG＝∠EBG，

（2）∵sin∠CAB＝，

∴，

由（1）知，∠HBG＝∠EBG＝∠ACE＝∠CAB

∴在Rt△HGB中，．

由（1）知，∠BCG＝∠CAB

在Rt△BCG中，．

设GH＝a，则GB＝2a，CG＝4a．CH＝CG﹣HG＝3a，

∵EC∥AB，

∴∠ECH＝∠BGH，∠CEH＝∠GBH

∴△ECH∽△BGH，

∴．