人教版 (2019)必修 第一册4 自由落体运动学案设计

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匀变速直线运动的两个基本公式


由于运动学部分的公式较多，并且各公式之间又相互联系，因此本章中的一些题目常可一题多解．在解题时要开阔思路，联想比较，筛选出最便捷的解题方案，从而简化解题过程．





匀变速直线运动基本公式的选用


1．四个公式的比较


2.公式的应用步骤


(1)认真审题，画出物体的运动过程示意图．


(2)明确研究对象，明确已知量、待求量．


(3)规定正方向(一般取初速度v0的方向为正方向)，确定各矢量的正、负．


(4)选择适当的公式求解．


(5)判断所得结果是否合乎实际情况，并根据结果的正、负说明所求物理量的方向．


一滑块自静止开始从斜面(足够长)顶端匀加速下滑，第5 s末的速度是6 m/s，试求：


(1)4 s末的速度．


(2)运动后5 s内的位移．


(3)第5 s内的位移．


[解析] (1)滑块的加速度：


a＝eq \f(v－v0,t)＝eq \f(6－0,5) m/s2＝1.2 m/s2


4 s末的速度：


v4＝at′＝1.2×4 m/s＝4.8 m/s.


(2)法一：由x＝eq \f(1,2)at2得：


x＝eq \f(1,2)×1.2×52 m＝15 m.


法二：由x＝eq \f(v0＋v,2)·t得：


x＝eq \f(0＋6,2)×5 m＝15 m.


法三：由v2＝2ax得：


x＝eq \f(v2,2a)＝eq \f(62,2×1.2) m＝15 m.


(3)法一：第5 s内的位移等于前5 s内的位移减去前4 s内的位移：


Δx＝x－eq \f(1,2)at′2＝15 m－eq \f(1,2)×1.2×42 m＝5.4 m.


法二：Δx＝eq \f(v4＋v,2)Δt＝eq \f(4.8＋6,2)×1 m＝5.4 m.


法三：由v2－veq \\al(2,4)＝2a·Δx得：


Δx＝eq \f(v2－veq \\al(2,4),2a) ＝eq \f(62－4.82,2×1.2) m＝5.4 m.


[答案] (1)4.8 m/s (2)15 m (3)5.4 m


eq \a\vs4\al()


巧选运动学公式的基本方法


公式中共涉及v0、v、a、t、x五个物理量，而每个公式中都含有四个量，因此明确三个量就可求出另外的两个量，恰当选择公式可达到事半功倍的效果，方法如下：


【达标练习】


1．一质点做匀变速直线运动，第3 s内的位移为12 m，第5 s内的位移为20 m，试求：


(1)该质点的初速度和加速度．


(2)该质点5 s内的位移．


解析：(1)第3 s内的位移等于前3 s内位移与前2 s内位移之差，即Δx3＝x3－x2＝12 m，


代入数据得


v0×3＋eq \f(1,2)a×32－(v0×2＋eq \f(1,2)a×22)＝12①


同理可得：v0×5＋eq \f(1,2)a×52－(v0×4＋eq \f(1,2)a×42)＝20②


联立①②解得v0＝2 m/s，a＝4 m/s2.


(2)5 s内的位移为x＝v0t5＋eq \f(1,2)ateq \\al(2,5)＝60 m.


答案：(1)2 m/s 4 m/s2 (2)60 m


2．一滑雪运动员从85 m长的山坡上匀加速滑下，初速度是1.8 m/s，末速度是5.0 m/s，滑雪运动员通过这段斜坡需要多长时间？


解析：法一(利用速度公式和位移公式求解)


vt＝v0＋at，x＝v0t＋eq \f(1,2)at2


代入数据解得a＝0.128 m/s2，t＝25 s.


法二(利用位移与速度的关系式和速度公式求解)


由veq \\al(2,t)－veq \\al(2,0)＝2ax


得a＝eq \f(veq \\al(2,t)－veq \\al(2,0),2x)＝0.128 m/s2


由vt＝v0＋at


得t＝eq \f(vt－v0,a)＝25 s.


答案：25 s


匀变速直线运动推论的应用


续 表


有一个做匀变速直线运动的物体，它在两段连续相等的时间内通过的位移分别是24 m和64 m，连续相等的时间为4 s，求物体的初速度和加速度是多少．


[解析] 由题意可画出物体的运动示意图：





法一：逐差法


由Δx＝aT2可得a＝eq \f(Δx,T2)＝eq \f(64－24,42) m/s2＝2.5 m/s2①


又x1＝vAT＋eq \f(1,2)aT2②


vC＝vA＋a·2T③


由①②③式解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s.


法二：平均速度公式法


连续两段时间T内的平均速度分别为


eq \(v,\s\up6(－))1＝eq \f(x1,T)＝eq \f(24,4) m/s＝6 m/s


eq \(v,\s\up6(－))2＝eq \f(x2,T)＝eq \f(64,4) m/s＝16 m/s


由于B是A、C的中间时刻，则eq \(v,\s\up6(－))1＝eq \f(vA＋vB,2)，eq \(v,\s\up6(－))2＝eq \f(vB＋vC,2)


又vB＝eq \f(vA＋vC,2)＝eq \f(eq \(v,\s\up6(－))1＋eq \(v,\s\up6(－))2,2)＝eq \f(6＋16,2) m/s＝11 m/s


解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s


其加速度a＝eq \f(vC－vA,2T)＝eq \f(21－1,2×4) m/s2＝2.5 m/s2.


法三：基本公式法


由位移公式得：x1＝vAT＋eq \f(1,2)aT2


x2＝vA·2T＋eq \f(1,2)a(2T)2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(vAT＋\f(1,2)aT2))


vC＝vA＋a·2T


将x1＝24 m，x2＝64 m，T＝4 s代入上式，


解得a＝2.5 m/s2，vA＝1 m/s，vC＝21 m/s.


[答案] 1 m/s 2.5 m/s2


【达标练习】


1．(2019·濮阳期末)一物体做匀变速直线运动，某时刻的速度为v1，经过t时间运动的位移为x，速度变为v2，则下列说法错误的是( )


A．平均速度等于eq \f(x,t)


B．平均速度等于eq \f(v1＋v2,2)


C．中间位置的瞬时速度等于eq \f(x,t)


D．中间时刻的瞬时速度等于eq \f(v1＋v2,2)


解析：选C.根据平均速度的定义可得平均速度为eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(x,t)，故A正确；物体做匀变速直线运动，故平均速度等于初末速度和的一半，即eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(v1＋v2,2)，故B正确；设中间位置的瞬时速度为v，匀变速运动加速度为a，则v2－veq \\al(2,1)＝2a·eq \f(x,2)①，veq \\al(2,2)－v2＝2a·eq \f(x,2)②，①②式联立解得：v＝eq \r(\f(veq \\al(2,1)＋veq \\al(2,2),2))，故C错误；物体做匀变速直线运动，故中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度还等于初末速度和的一半，即veq \s\d9(\f(t,2))＝eq \f(v1＋v2,2)＝eq \f(x,t)，故D正确．


2．(多选)一个做匀加速直线运动的物体先后经过A、B两点时的速度分别为v1和v2，则下列结论中正确的有( )


A．物体经过AB位移中点的速度为eq \f(v1＋v2,2)


B．物体经过AB位移中点的速度为 eq \r(\f(veq \\al(2,1)＋veq \\al(2,2),2))


C．物体通过AB这段位移的平均速度为eq \f(v1＋v2,2)


D．物体通过AB这段位移所用时间的中间时刻的速度为eq \f(v1＋v2,2)


解析：选BCD.设经过位移中点时的速度为veq \s\d9(\f(x,2))，则对前半段的位移有2a·eq \f(x,2)＝v2eq \s\d9(\f(x,2))－veq \\al(2,1)，对后半段的位移有2a·eq \f(x,2)＝veq \\al(2,2)－v2eq \s\d9(\f(x,2))，由这两式得veq \s\d9(\f(x,2))＝ eq \r(\f(veq \\al(2,1)＋veq \\al(2,2),2))，选项A错误，B正确；对匀变速直线运动而言，总有v＝veq \s\d9(\f(t,2))＝eq \f(v1＋v2,2)，选项C、D正确．


3．(多选)做初速度不为零的匀加速直线运动的物体，在时间T内通过位移x1到达A点，接着在时间T内又通过位移x2到达B点，则以下判断正确的是( )


A．物体在A点的速度为eq \f(x1＋x2,2T)


B．物体运动的加速度为eq \f(2x1,T2)


C．物体运动的加速度为eq \f(x2－x1,T2)


D．物体在B点的速度为eq \f(3x2－x1,2T)


解析：选ACD.根据匀变速直线运动某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度知：vA＝eq \f(x1＋x2,2T)，故A正确；根据x2－x1＝aT2得物体运动的加速度为：a＝eq \f(x2－x1,T2)，


故B错误，C正确；在该加速运动过程中有：vB＝vA＋aT＝eq \f(x1＋x2,2T)＋eq \f(x2－x1,T)＝eq \f(3x2－x1,2T)，故D正确．





一、选择题


1．一辆沿笔直的公路匀加速行驶的汽车，经过路旁两根相距50 m的电线杆共用5 s时间，它经过第二根电线杆时的速度为15 m/s，则经过第一根电线杆时的速度为( )


A．2 m/s B．10 m/s


C．2.5 m/s D．5 m/s


解析：选D.根据平均速度公式可知v＝eq \f(x,t)＝eq \f(v0＋vt,2)，即eq \f(50,5) m/s＝eq \f(v0＋15 m/s,2)，得v0＝5 m/s，所以D选项正确．


2．(2019·晋中期末)某质点由A经B到C做匀加速直线运动历时4 s．前2 s和后2 s位移分别为AB＝8 m和BC＝12 m，该质点的加速度大小及B点的瞬时速度的大小分别是( )


A．1 m/s2 5 m/s B．2 m/s2 5 m/s


C．1 m/s2 10 m/s D．2 m/s2 10 m/s


解析：选A.根据Δx＝aT2得，质点的加速度a＝eq \f(Δx,T2)＝eq \f(BC－AB,T2)＝eq \f(12－8,4) m/s2＝1 m/s2；B点的瞬时速度vB＝eq \f(AB＋BC,2T)＝eq \f(8＋12,4) m/s＝5 m/s.故A正确，B、C、D错误．


3.(多选)(2019·红塔区校级期末)如图所示，光滑斜面AD被分成三个长度相等的部分，即AB＝BC＝CD，一小物体从A点由静止开始下滑，下列结论中正确的是( )


A．物体到达各点的速率为vB∶vC∶vD＝1∶2∶3


B．物体在AB段和BC段的平均速度之比为(eq \r(2)－1)∶1


C．物体通过B、C、D三点的速度满足vC＝eq \r(\f(veq \\al(2,B)＋veq \\al(2,D),2))


D．物体通过B、C、D三点的速度满足vC＝eq \f(vB＋vD,2)


解析：选BC.由速度位移关系式有：veq \\al(2,B)＝2aAB，veq \\al(2,C)＝2aAC，veq \\al(2,D)＝2aAD，由AB＝BC＝CD，可得vB∶vC∶vD＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)，故A错误；物体在AB段的平均速度为vAB＝eq \f(vB,2)，物体在BC段的平均速度为vBC＝eq \f(vB＋vC,2)，由前面的分析可得vAB∶vBC＝(eq \r(2)－1)∶1，故B正确；由公式veq \s\d9(\f(x,2))＝eq \r(\f(v2＋veq \\al(2,0),2))可得vC＝eq \r(\f(veq \\al(2,B)＋veq \\al(2,D),2))，故C正确，D错误．


4．一个小球从斜面的顶端由静止开始匀加速沿斜面滑下，经过斜面中点时速度为3 m/s，则小球到达斜面底端时的速度为( )


A．4 m/s B．5 m/s


C．6 m/s D．3eq \r(2) m/s


解析：选D.设斜面长为L，加速度为a，到底端的速度为v，则由veq \s\d9(\f(x,2))＝ eq \r(\f(veq \\al(2,0)＋v2,2))得3 m/s＝eq \r(\f(v2,2))，所以v＝3eq \r(2) m/s，D正确．


5．做匀变速直线运动的物体在时间t内的位移为s，设这段时间中间时刻的瞬时速度为v1，这段位移中间位置的瞬时速度为v2，则( )


A．无论是匀加速还是匀减速直线运动，均有v1

B．无论是匀加速还是匀减速直线运动，均有v1>v2


C．无论是匀加速还是匀减速直线运动，均有v1＝v2


D．匀加速直线运动时，v1v2


解析：选A.画出匀加速直线运动与匀减速直线运动的v－t图象，如图甲、乙所示，由图知v1




6．(多选)(2019·新疆高一期中)如图所示，物体自O点由静止开始做匀加速直线运动，A、B、C、D为其运动轨迹上的四点，测得AB＝2 m，BC＝3 m．且物体通过AB、BC、CD所用的时间相等，则下列说法正确的是( )





A．可以求出物体加速度的大小


B．可以求得CD＝4 m


C．可以求得OA之间的距离为1.125 m


D．可以求得OB之间的距离为12.5 m


解析：选BC.由Δs＝at2可得物体的加速度a的大小为a＝eq \f(Δs,t2)＝eq \f(3－2,t2)＝eq \f(1,t2)，因为不知道时间，所以不能求出加速度，故A错误；根据sCD－sBC＝sBC－sAB＝1 m，可知sCD＝(3＋1) m＝4 m，故B正确；物体经过B点时的瞬时速度为vB＝vAC＝eq \f(5,2t)，再 veq \\al(2,t)＝2as可得O、B两点间的距离为sOB＝eq \f(veq \\al(2,B),2a)＝eq \f(25,4t2)·eq \f(t2,2)＝3.125 m，所以O与A间的距离为 sOA＝sOB－sAB＝(3.125－2)m＝1.125 m，故C正确，D错误．


7．(2019·浙江模拟)一物体做匀变速直线运动，在通过第一段位移x1的过程中，其速度变化量为Δv，紧接着通过第二段位移x2，速度变化量仍为Δv.则关于物体的运动，下列说法正确的是( )


A．第一段位移x1一定大于第二段位移x2


B．两段运动所用时间一定不相等


C．物体运动的加速度为eq \f(（Δv）2,x2－x1)


D．通过两段位移的平均速度为eq \f(（x2＋x1）Δv,x2－x1)


解析：选C.两段过程中速度的变化量相等，根据t＝eq \f(Δv,a)知，两段过程中运动的时间相等，若做匀加速直线运动，第一段位移小于第二段位移，若做匀减速直线运动，第一段位移大于第二段位移，故A、B错误；两段过程的时间相等，设为Δt，则有：x2－x1＝aΔt2，又Δv＝aΔt，解得物体的加速度a＝eq \f(（Δv）2,x2－x1)，故C正确；运动的总时间t＝2×eq \f(Δv,a)＝eq \f(2（x2－x1）,Δv)，则通过两段位移的平均速度eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(x1＋x2,t)＝eq \f(（x1＋x2）Δv,2（x2－x1）)，故D错误．


二、非选择题


8．从车站开出的汽车，做匀加速直线运动，走了12 s时，发现还有乘客没上来，于是立即做匀减速直线运动至停车，总共历时20 s，行进了 50 m，求汽车的最大速度．


解析：法一 公式法


设最大速度为vm，由题意可得


x＝eq \f(1,2)a1teq \\al(2,1)＋vmt2－eq \f(1,2)a2teq \\al(2,2)①


t＝t1＋t2②


vm＝a1t1③


0＝vm－a2t2④


由①②③④式整理得：vm＝eq \f(2x,t1＋t2)＝eq \f(2×50,20)m/s＝5 m/s.


法二 图象法作出汽车运动全过程的v－t图象如图所示，v－t图线与t轴围成的三角形的面积与位移相等，故x＝eq \f(vmt,2)，所以vm＝eq \f(2x,t)＝eq \f(2x,t1＋t2)＝eq \f(2×50,20) m/s＝5 m/s.


答案：5 m/s


9．(2019·甘肃兰州高一期末)小明同学乘坐京石“和谐号”动车，发现车厢内有速率显示屏．当动车在平直轨道上经历匀加速、匀速与再次匀加速运行期间，他记录了不同时刻的速率，进行换算后数据列于表格中．在0～600 s这段时间内，求：


(1)动车两次加速的加速度大小；


(2)动车位移的大小．


解析：(1)通过记录表格可以看出，动车组有两个时间段处于加速状态，设加速度分别为a1、a2.


由a＝eq \f(Δv,Δt)，代入数据得：


a1＝eq \f(40－30,100) m/s2＝0.1 m/s2


a2＝eq \f(70－60,50) m/s2＝0.2 m/s2.


(2)通过作出动车组的v－t图可知，第一次加速运动的结束时间是200 s，第二次加速运动的开始时刻是450 s.





x1＝eq \f(v1＋v2,2)t1＝eq \f(30＋50,2)×200 m＝8 000 m


x2＝v2t2＝50×250 m＝12 500 m


x3＝eq \f(v3＋v2,2)t3＝eq \f(80＋50,2)×150 m＝9 750 m


所以x＝x1＋x2＋x3＝(8 000＋12 500＋9 750) m＝30 250 m．


答案：(1)0.1 m/s2 0.2 m/s2 (2)30 250 m


10．(2019·全南期末)据统计，开车时看手机发生事故的概率是安全驾驶的23倍，开车时打电话发生事故的概率是安全驾驶的2.8倍．一辆小轿车在平直公路上以某一速度行驶时，司机低头看手机2 s，相当于盲开50 m，该车遇见紧急情况，紧急刹车的距离(从开始刹车到汽车停下来所行驶的距离)至少是25 m，根据以上提供的信息：


(1)求汽车行驶的速度和刹车的最大加速度大小；


(2)若该车以108 km/h的速度在高速公路上行驶时，前方100 m处道路塌方，该司机因用手机微信抢红包，2 s后才发现危险，司机的反应时间为0.5 s，刹车的加速度与(1)问中大小相等．试通过计算说明汽车是否会发生交通事故．


解析：(1)汽车运动的速度为v1＝eq \f(x,t)＝eq \f(50,2) m/s＝25 m/s；设汽车刹车的最大加速度为a，则a＝eq \f(veq \\al(2,1),2x)＝eq \f(252,2×25) m/s2＝12.5 m/s2.


(2)108 km/h＝30 m/s；司机看手机时，汽车发生的位移为x1＝v2t＝30×2 m＝60 m，


反应时间内发生的位移的大小为x2＝v2Δt＝30×0.5 m＝15 m，


刹车后汽车发生的位移x3＝eq \f(veq \\al(2,2),2a)＝eq \f(302,2×12.5) m＝36 m；


所以汽车前进的距离为x＝x1＋x2＋x3＝60 m＋15 m＋36 m＝111 m＞100 m，所以会发生交通事故．


答案：(1)25 m/s 12.5 m/s2 (2)见解析





速度公式
v＝v0＋at，当v0＝0时，v＝at
位移公式
x＝v0t＋eq \f(1,2)at2，当v0＝0时，x＝eq \f(1,2)at2
一般形式
特殊形式(v0＝0)
不涉及的物理量
速度公式
v＝v0＋at
v＝at
x
位移公式
x＝v0t＋eq \f(1,2)at2
x＝eq \f(1,2)at2
v
速度位移关系式
v2－veq \\al(2,0)＝2ax
v2＝2ax
t
平均速度求位移公式
x＝eq \f(v0＋v,2)t
x＝eq \f(v,2)t
a
无位移x，也不需求位移
选用速度公式v＝v0＋at
无末速度v，也不需求末速度
选用位移公式


x＝v0t＋eq \f(1,2)at2
无运动时间t，也不需要求运动时间
选用速度位移公式


v2－veq \\al(2,0)＝2ax
没有加速度a，也不涉及加速度
选用平均速度位移公式


x＝eq \f(v0＋v,2)t
平


均


速


度


公


式
内容
做匀变速直线运动的物体，在一段时间t内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初、末速度矢量和的一半．即eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(v0＋v,2)＝veq \s\d9(\f(t,2))
推导
eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(Δx,Δt)＝eq \f(v0t＋\f(1,2)at2,t)＝v0＋eq \f(1,2)at


而veq \s\d9(\f(t,2))＝v0＋a·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(t,2)))


故eq \(v,\s\up6(－))＝v0＋eq \f(1,2)at＝veq \s\d9(\f(t,2))


将v＝v0＋at代入上式可得


eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(v0＋v,2)＝veq \s\d9(\f(t,2))
适用范围
匀变速直线运动
位


移


中


点


的


瞬


时


速


度
推导
在匀变速直线运动中，对于一段位移x，设初速度为v0，末速度为v，加速度为a，位移中点的瞬时速度为veq \s\d9(\f(x,2))，前一半位移有v2eq \s\d9(\f(x,2))－veq \\al(2,0)＝2a·eq \f(x,2)＝ax，后一半位移有v2－v2eq \s\d9(\f(x,2))＝2a·eq \f(x,2)＝ax；联立以上两式有v2eq \s\d9(\f(x,2))－veq \\al(2,0)＝v2－v2eq \s\d9(\f(x,2))，所以veq \s\d9(\f(x,2))＝eq \r(\f(veq \\al(2,0)＋v2,2))
比较
在v－t图象中，速度图线与时间轴围成的“面积”表示位移．当物体做匀加速直线运动时，由图甲可知veq \s\d9(\f(x,2))>veq \s\d9(\f(t,2))；当物体做匀减速直线运动时，由图乙可知veq \s\d9(\f(x,2))>veq \s\d9(\f(t,2))





故当物体做匀速运动时，veq \s\d9(\f(x,2))＝veq \s\d9(\f(t,2))；当物体做匀变速直线运动时，veq \s\d9(\f(x,2))>veq \s\d9(\f(t,2))
逐


差


相


等


公


式
内容
在任意两个连续相等的时间间隔T内，位移之差是一个常量，即Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2；若xm和xn分别为第m段、第n段位移，则xm－xn＝(m－n)aT2
推导
在时间T内的位移x1＝v0T＋eq \f(1,2)aT2①，在时间2T内的位移x2＝v0×2T＋eq \f(1,2)a(2T)2②，则xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1③；由①②③得Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2
作用
一是用来判断物体是否做匀变速直线运动，二是用来求加速度
适用


范围
匀变速直线运动
t/s
v/(m·s－1)
0
30
100
40
300
50
400
50
500
60
550
70
600
80