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高中物理人教版 (2019)必修 第一册第二章 匀变速直线运动的研究4 自由落体运动导学案
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这是一份高中物理人教版 (2019)必修 第一册第二章 匀变速直线运动的研究4 自由落体运动导学案，共20页。学案主要包含了自由落体运动，自由落体加速度，自由落体运动的规律等内容，欢迎下载使用。
一、自由落体运动
1．亚里士多德的观点：物体下落的快慢是由它们的重量决定的．
2．伽利略的研究
(1)归谬：伽利略从亚里士多德的论断出发，通过逻辑推理，否定了他的论断．
(2)猜想：自由落体运动是一种最简单的变速运动，它的速度应该是均匀变化的．
3．自由落体运动
(1)定义：物体只在重力作用下从静止开始下落的运动．
(2)运动性质：初速度为零的匀加速直线运动．
二、自由落体加速度
1．定义：在同一地点，一切物体自由下落的加速度都相同，这个加速度叫做自由落体加速度，也叫做重力加速度，通常用g表示．
2．方向：总是竖直向下．
3．大小：在地球上不同的地方，g的大小是不同的．一般的计算中，g取 9.8__m/s2，近似计算时，g取10__m/s2．
三、自由落体运动的规律
1．速度公式：v＝gt．
2．位移公式：h＝eq \f(1,2)gt2．
3．速度位移公式：v2＝2gh．
思维辨析
(1)初速度为零的下落运动就是自由落体运动．( )
(2)只在重力作用下的下落运动就是自由落体运动．( )
(3)重力加速度方向一定指向地心．( )
(4)物体越重，重力加速度越大，下落得越快．( )
(5)亚里士多德研究自然规律的方法是实验的方法．( )
(6)伽利略研究自然规律的方法是猜想和假设、数学推理和科学实验相结合的方法．( )
提示：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√
基础理解
(1)(2019·平谷期末)BBC科学节目《HumanUniverse》曾经在世界最大的真空实验室里做了这样的实验：在真空环境下，从同一高度同时由静止释放铁球和羽毛，根据已学知识判断，我们会看到的现象是( )
A．铁球下落快
B．羽毛下落快
C．铁球和羽毛下落一样快
D．铁球和羽毛都不会下落
提示：选C.如果室内充满空气时，由于空气阻力的影响，二者均不做自由落体运动，同时因羽毛受空气阻力的影响较大，故铁球和下落得快；在真空环境下，由于两者均只受重力作用而做自由落体运动，故铁球和羽毛下落一样快，故C正确、A、B、D错误．
(2)如图是著名的比萨斜塔．传说伽利略曾在比萨斜塔上做过实验．伽利略让重的铁球和轻的铁球同时下落，发现两球几乎同时落地，仅仅相差“两指宽”．这是为什么呢？
提示：“几乎同时落地”证明：相同时间内，重的铁球和轻的铁球下落高度几乎相同．“二指宽”的差别是空气阻力造成的．
对自由落体运动的理解和应用
问题导引
如图所示，一个小金属球从离地h高处由静止释放，小球下落一段时间落地．试结合上述现象讨论：
(1)小球的运动性质是什么？
(2)怎样确定小球的落地时间及速度？
要点提示 (1)小球做自由落体运动，是初速度为零的匀加速直线运动：v0＝0，a＝g.
(2)可由运动学公式h＝eq \f(1,2)gt2及v2＝2gh确定落地时间和速度．
【核心深化】
1．自由落体运动的实质
自由落体运动是初速度v0＝0，加速度a＝g的匀加速直线运动，它只是匀变速直线运动的特例．
注意：物体在其他星球上也可以做自由落体运动，但同一物体在不同的星球上所受重力一般不同，所以下落时的加速度一般不同．
2．自由落体加速度——重力加速度
3.匀变速直线运动与自由落体运动的规律比较
关键能力1 对自由落体运动的理解
(多选)(2019·济南高一月考)关于自由落体运动，下列说法中正确的是( )
A．一张纸片在地球表面自由下落，可以看成自由落体运动
B．一个钢球在地球表面自由下落，可以看成自由落体运动
C．在地球上同一地点，一切物体在自由落体运动中落至同一高度时的加速度都相同
D．轻物体和重物体的重力加速度不同
[思路点拨] (1)自由落体运动的受力特点是只受重力作用．
(2)在地球表面附近，重力加速度只与高度和纬度有关，与物体的质量无关．
[解析] 地球表面有空气，纸片受到空气阻力较大，不能忽略，钢球受到的阻力比重力小得多，可以忽略，因此钢球的自由下落可以看成自由落体运动，纸片的自由下落不能看成自由落体运动，A错误，B正确；重力加速度是矢量，方向竖直向下，在地球的表面，不同的地方重力加速度g的大小略有不同，在地球表面同一地点，g的值都相同，但随着高度的增大，g的值逐渐减小，重力加速度与物体的质量无关，C正确，D错误．
[答案] BC
关键能力2 自由落体运动规律的应用
从离地面80 m的空中自由落下一个小球，(不计空气阻力，取g＝10 m/s2)求：
(1)经过多长时间小球落到地面上；
(2)小球下落到地面时的速度；
(3)小球自开始下落计时，在最后1 s内的位移．
[思路点拨] (1)落地的时间t可由位移公式h＝eq \f(1,2)gt2求得，速度可由v＝gt求得．
(2)最后1 s内的位移可由总位移与(t－1)s内位移之差求得．
[解析] (1)由h＝eq \f(1,2)gt2可得：
t＝eq \r(\f(2h,g))＝ eq \r(\f(2×80,10)) s＝4 s.
(2)由v＝gt得：落地速度v＝10×4 m/s＝40 m/s.
(3)最后1 s内的位移h1＝h－eq \f(1,2)g(t－1)2
则h1＝80 m－eq \f(1,2)×10×(4－1)2 m＝35 m.
[答案] (1)4 s (2)40 m/s (3)35 m
关键能力3 等效转换法解决自由落体运动问题
(2019·长乐期末)青青是一个善于思考的女孩，她在学过自由落体运动规律后，对自家房屋屋檐下落的雨滴产生了兴趣．此屋檐离地面高度为3.2 m，她坐在窗前发现从屋檐每隔相等时间滴下一滴水，当第5滴正欲滴下时，第1滴刚好落到地面，而第3滴与第2滴分别位于窗户的上、下沿，如图所示．g取10 m/s2，求：窗户的上、下边沿高度差是多少？
[思路点拨] 先求出滴水的间隔T，根据自由落体运动的位移公式分别求出2、3两滴水的位移，进而求解窗户的上、下边沿高度差．
[解析] 根据h＝eq \f(1,2)gt2得：t＝eq \r(\f(2h,g))＝eq \r(\f(2×3.2,10)) s＝0.8 s；滴水的间隔为：T＝eq \f(t,n)＝eq \f(0.8,5－1) s＝0.2 s；第2滴水的位移：h2＝eq \f(1,2)g(3T)2＝eq \f(1,2)×10×0.36 m＝1.8 m，第3滴水的位移：h3＝eq \f(1,2)g(2T)2＝eq \f(1,2)×10×0.16 m＝0.8 m；所以有：Δh＝h2－h3＝1.8 m－0.8 m＝1 m.
[答案] 1 m
关键能力4 线状物体的自由落体
一条铁链AB长0.49 m，悬于A端静止，如果让它自由下落，求整个铁链通过悬点下方2.45 m处的小孔O需要的时间．(g取10 m/s2)
[解析] 作出铁链AB下落过程的示意图，如图所示，可以看出，铁链通过小孔的时间为从B端到达小孔至A端离开小孔的时间．
法一：B端到达O点所需的时间为t1，发生的位移为x1，A端到达O点所需的时间为t2，铁链长度L＝0.49 m，B端发生的位移为x2＝2.45 m，由图可知x1＝x2－L＝1.96 m，x1＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,1)，x2＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,2).
由以上三式解得：t＝t2－t1≈7.4×10－2s.
法二：当铁链的B端到达O点和铁链的A端离开O点时，铁链下降的高度分别为x1和x2，它们经过O点的速度分别为v1和v2，则v1＝eq \r(2gx1)，v2＝eq \r(2gx2).设铁链经过O点的时间为t，位移为铁链的长度L，则有t＝eq \f(L,v)＝eq \f(L,\f(v1＋v2,2))＝eq \f(2L,v1＋v2)，代入数据得：t≈7.4×10－2 s.
[答案] 7.4×10－2 s
eq \a\vs4\al()
(1)自由落体运动是一种初速度为0的匀加速直线运动，其加速度为g，g的大小与重力的大小无关，所有的匀变速直线运动的规律都适用于自由落体运动，但要注意，当问题指明(或有暗示)空气阻力不能忽略时，物体从静止开始下落的运动就不再是自由落体运动．
(2)自由落体运动的三点注意
【达标练习】
1．(2019·安徽青阳高一期中)小明摇动苹果树，从同一高度有一个苹果和一片树叶同时从静止下落，发现苹果先落地，则以下说法正确的是( )
A．苹果和树叶的运动都是自由落体运动
B．苹果和树叶的运动都能看成自由落体运动
C．苹果的运动可以近似看成自由落体运动，树叶的运动则不能看成自由落体运动
D．假如地球上没有空气，则苹果和树叶也不会同时落地解析：选C.苹果和树叶都受重力和空气阻力，但空气阻力相对苹果的重力来说很小，可以忽略不计，故苹果的运动可以看做自由落体运动，而树叶的运动不能看做自由落体运动，故A、B错误，C正确；假如地球上没有空气，苹果和树叶都只受重力，都做自由落体运动，同时落地，故D错误．
2．(多选)关于自由落体运动，下列说法中正确的是( )
A．它是v0＝0、a＝g、方向竖直向下的匀加速直线运动
B．在开始连续的三个1 s内通过的位移之比是1∶3∶5
C．在开始连续的三个1 s末的速度之比是1∶2∶3
D．从开始运动到下落4.9 m、9.8 m、14.7 m所经历的时间之比为1∶2∶3
解析：选ABC.由自由落体运动的性质可知A正确；由自由落体运动的比例关系式知B、C正确；由比例关系式知，从开始运动到下落4.9 m、9.8 m、14.7 m所经历的时间之比为：1∶eq \r(2)∶eq \r(3)，故D错误．
3．(2019·佛山期末)晓筱同学在一次观看跳水比赛时，想到一个问题：水池的水至少要多深，才能保证运动员的安全？他做了如下假设：比赛时，运动员在距水面10 m的跳台向上跳起，到达最高点时重心离跳台约1.25 m．然后自由下落；忽略空气阻力，将运动员看做质点，其在水中做减速直线运动；上网查得平均加速度大小为25 m/s2，g取10 m/s2.请你帮晓筱计算：
(1)运动员落至水面时的速度；
(2)为了避免运动员与池底碰撞，水池的最小水深．
解析：(1)由题意知运动员从跳台至水面做自由落体运动，由H＋h＝eq \f(1,2)gt2且v＝gt，
得：v＝eq \r(2g（H＋h）)，将数据代入解得v＝15 m/s.
(2)运动员末速度为0，设水池的最小水深为H0，则0－v2＝2aH0，解得H0＝4.5 m.
答案：(1)15 m/s (2)4.5 m
4．(2019·甘肃白银高一期中)某电视剧制作中心要拍摄一特技动作，要求特技演员从高80 m的大楼楼顶自由下落到行驶的汽车上，若演员开始下落的同时汽车从60 m远处由静止向楼底先匀加速运动3 s，再匀速行驶到楼底，为保证演员能安全落到汽车上．(不计空气阻力，人和汽车看做质点，g取10 m/s2)求：
(1)汽车开到楼底的时间；
(2)汽车匀速行驶的速度；
(3)汽车匀加速运动时的加速度．
解析：(1)人做自由落体运动，所以h＝eq \f(1,2)gt2
解得：t＝eq \r(\f(2h,g))＝eq \r(\f(2×80,10) s)＝4 s
所以汽车运动的时间也为4 s.
(2)(3)因为汽车匀加速时间为t1＝3 s
所以汽车匀速运动的时间为t2＝t－t1＝1 s
匀加速位移为s1＝eq \f(1,2)at2
匀速运动速度为：v＝at1
匀速运动位移为s2＝vt2
s1＋s2＝60 m
解得：a＝8 m/s2，v＝24 m/s.
答案：(1)4 s (2)24 m/s (3)8 m/s2
实验：研究自由落体运动的规律
1．实验仪器——打点计时器
(1)按如图所示连接好实验装置，让重锤做自由落体运动，与重锤相连的纸带上便会被打点计时器打出一系列点迹．
(2)对纸带上计数点间的距离h进行测量，利用hn－hn－1＝gT2求出重力加速度的大小．
2．实验步骤
(1)把打点计时器竖直固定在铁架台上，连接好电源．
(2)把纸带穿过两个限位孔，下端通过铁夹将重物和纸带连接起来，让重物靠近打点计时器．
(3)用手捏住纸带上端，把纸带拉成竖直状态，先接通电源，再松开纸带让重物自由下落，打点计时器在纸带上打下一系列的点．
(4)重复几次，选取一条点迹清晰的纸带分析．
3．数据处理方法
(1)逐差法
虽然用a＝eq \f(Δx,T2)可以根据纸带求加速度，但只利用一个Δx时，偶然误差太大，为此应采取逐差法．
利用“逐差法”求加速度，若为偶数段，假设为6段，则a1＝eq \f(x4－x1,3T2)，a2＝eq \f(x5－x2,3T2)，a3＝eq \f(x6－x3,3T2)，然后取平均值，即eq \(a,\s\up6(－))＝eq \f(a1＋a2＋a3,3)，或由a＝eq \f(（x4＋x5＋x6）－（x1＋x2＋x3）,3×3T2)直接求得；若为奇数段，则中间段往往不用，假设为5段，则不用第3段，则a1＝eq \f(x4－x1,3T2)，a2＝eq \f(x5－x2,3T2)，然后取平均值，即eq \(a,\s\up6(－))＝eq \f(a1＋a2,2)或由a＝eq \f(（x4＋x5）－（x1＋x2）,2×3T2)直接求得，这样所给的数据充分得到了利用，提高了准确度．
(2)v－t图象法
根据纸带，求出各时刻的瞬时速度，作出v－t图象，求出该v－t图象的斜率k，则k＝a.
这种方法的优点是可以舍掉一些偶然误差较大的测量值，有效地减少偶然误差．
4．注意事项
(1)应选用质量和密度较大的重物．增大重物的重力可使阻力的影响相对减小．
(2)打点计时器应竖直放置，以减小阻力．
(3)重物应从靠近打点计时器处释放，要先接通打点计时器的电源，再释放纸带．
某同学用图甲所示装置测量重力加速度g，所用交流电频率为50 Hz.在所选纸带上取某点为0号计数点，然后每3个点取一个计数点，所有测量数据及其标记符号如图乙所示．
甲
乙
该同学用两种方法处理数据(T为相邻两计数点间的时间间隔)：
方法A：由g1＝eq \f(x2－x1,T2)，g2＝eq \f(x3－x2,T2)，…，g5＝eq \f(x6－x5,T2)，取平均值eq \(g,\s\up6(－))＝8.667 m/s2；
方法B：由g1＝eq \f(x4－x1,3T2)，g2＝eq \f(x5－x2,3T2)，g3＝eq \f(x6－x3,3T2)，取平均值eq \(g,\s\up6(－))＝8.673 m/s2.
从数据处理方法看，在x1，x2，x3，x4，x5，x6中，对实验结果起作用的，方法A中有__________；方法B中有__________________________．因此，选择方法________(选填“A”或“B”)更合理，这样可以减少实验的________(选填“系统”或“偶然”)误差．本实验误差的主要来源有________________________________________________________________________
________________________________________________________________________(试举出两条即可)．
[解析] 方法A的实质：
eq \(g,\s\up6(－))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2－x1,T2)＋\f(x3－x2,T2)＋…＋\f(x6－x5,T2)))/5＝eq \f(x6－x1,5T2)
方法B的实质：
eq \(g,\s\up6(－))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x4－x1,3T2)＋\f(x5－x2,3T2)＋\f(x6－x3,3T2)))/3
＝eq \f(（x4＋x5＋x6）－（x1＋x2＋x3）,9T2)
故方法A中2个数据起作用，方法B中6个数据起作用．
[答案] x1、x6或37.5 mm、193.5 mm x1、x2、x3、x4、x5、x6或37.5 mm、69.0 mm、100.5 mm、131.5 mm、163.0 mm、193.5 mm B 偶然 阻力(空气阻力、振针的阻力、限位孔的阻力、复写纸的阻力等)，交流电频率波动，长度测量，数据处理方法等(写两条即可)
eq \a\vs4\al()
其他测重力加速度的常用方法
(1)频闪照相法
频闪照相机可以每间隔相等的时间拍摄一次，根据Δx是否为恒量，可判断自由落体运动是否为匀变速直线运动．根据匀变速直线运动的推论Δx＝gT2可求出重力加速度g＝eq \f(Δx,T2).也可以根据veq \s\d9(\f(t,2))＝eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(x,t)求出物体在某两个时刻的速度，由g＝eq \f(v－v0,t)也可求出重力加速度g.
(2)滴水法
①如图，让水滴自水龙头滴下，在水龙头正下方放一个盘，调节水龙头，让水一滴一滴地滴下，并调节到使第一滴水碰到盘的瞬间，第二滴水正好从水龙头口开始下落，并且能依次持续下去；
②用刻度尺测出水龙头口距盘面的高度h；
③测出每滴水下落的时间T，其方法是：当听到某一滴水滴落在盘上的同时，开启停表开始计时，之后每落下一滴水到盘上依次数1，2，3，…，当数到n时按下停表停止计时，则每一滴水下落的时间为T＝eq \f(t,n)；
④由h＝eq \f(1,2)gT2，得g＝eq \f(2h,T2)＝eq \f(2n2h,t2).
注意：(1)利用打点计时器测重力加速度的误差主要来自阻力的影响和测量误差．
(2)频闪照相法和滴水法的误差主要是测量误差．
(2019·河南月考)某同学在暗室中用如图1所示的装置做“研究水滴的自由落体运动和测得重力加速度”的实验．
实验器材有：支架、漏斗、橡皮管、尖嘴玻璃管、螺丝夹子、接水铝盒、一把有荧光刻度的刻度尺、频闪仪．
具体实验步骤如下：
①在漏斗内盛满清水，旋松螺丝夹子，使水滴以一定的频率一滴滴地落下
②用频闪仪发出的白闪光将水滴流照亮，由大到小逐渐调节频闪仪的频率，当频闪仪闪光频率等于水滴滴落的频率时，看到空间有一串仿佛固定不动的水滴
③用竖直放置的毫米刻度尺测得各个水滴所对应的刻度
④采集数据进行处理
(1)在如图2所示记录的数据中，有一个不合规范的数据，应该改为________cm.
(2)通过作图象的方法可以剔除偶然误差较大的数据，提高实验的精确度．某同学把各个水滴到计数为0的水滴的距离记为 h1、h2、h3、h4、h5、…时间记为 t1、t2、t3、t4、t5、…作出eq \f(h,t)－t图象，其斜率为k，则重力加速度为g＝________．
(3)该实验存在的系统误差可能有(答出一条即可)：____________．
解析：(1)在如图2所示记录的数据中，有一个不合规范的数据，应该是第二个数据19.3，应该记录为19.30；
(2)根据自由落体运动的规律可知h＝eq \f(1,2)gt2，解得eq \f(h,t)＝eq \f(1,2)gt，所以eq \f(h,t)－t图象的斜率为k＝eq \f(1,2)g，则重力加速度为g＝2k；
(3)由于空气阻力对水滴的作用，水滴做的不是严格的自由落体运动；或者滴水的频率改变了，都会产生误差．
答案：(1)19.30 (2)2k (3)存在空气阻力(或水滴滴落的频率变化)
竖直上抛运动的规律及应用
【核心深化】
气球下悬挂一重物，以v0＝ 10 m/s匀速上升，当到达离地面h＝175 m处时悬挂重物的绳子突然断裂，那么重物经多少时间落到地面？落地的速度多大？空气阻力不计，g取10 m/s2.
[解析] 法一：分成上升阶段和下落阶段两过程考虑
绳子断裂后重物可继续上升的时间和上升的高度分别为
t1＝eq \f(v0,g)＝eq \f(10,10) s＝1 s，h1＝eq \f(veq \\al(2,0),2g)＝eq \f(10×10,2×10) m＝5 m
故重物离地面的最大高度为
H＝h＋h1＝(175＋5)m＝180 m
重物从最高处自由下落，落地时间和落地速度分别为
t2＝ eq \r(\f(2H,g))＝ eq \r(\f(2×180,10)) s＝6 s
vt＝gt2＝10×6 m/s＝60 m/s，方向竖直向下
所以从绳子突然断裂到重物落地共需时间
t＝t1＋t2＝1 s＋6 s＝7 s.
法二：从全程的匀减速直线运动考虑
从绳子断裂开始计时，经时间t后物体落至抛出点下方，规定初速度方向为正方向，则物体在时间t内的位移
h＝－175 m
由位移公式h＝v0t－eq \f(1,2)gt2，即
－175＝10t－eq \f(1,2)×10t2＝10t－5t2
解得t1＝7 s，t2＝－5 s(不合题意，舍去)
所以重物落地速度为vt＝v0－gt1＝(10－10×7)m/s＝
－60 m/s，其负号表示方向向下，与初速度方向相反．
[答案] 7 s 60 m/s
一杂技演员，用一只手抛球．他每隔0.40 s 抛出一球，接到球便立即把球抛出．已知除抛、接球的时刻外，空中总有4个小球，将球的运动近似看做是竖直方向的运动，球到达的最大高度是(高度从抛球点算起，g取10 m/s2)( )
A．1.6 m B．2.4 m
C．3.2 m D．4.0 m
解析：选C.被杂技演员抛出的小球在空中应做竖直上抛运动．考虑到空中总有四个小球，其边界情况为，演员手中的球将要被抛出时，空中第4个小球刚到演员的手中，如图所示．也就是说，抛出的小球在空中运动的时间是1.6 s．再根据竖直上抛运动上升过程和下降过程具有对称性，可知第二个小球抛出后经过0.80 s到达最高点．小球到达的最大高度H＝eq \f(1,2)gt2＝3.2 m.
自由落体运动和竖直上抛运动的综合应用
一般运动具有多对象、多过程特征．其中典型的问题如下：
(1)自由落体与竖直上抛物体的相遇问题
当两个物体从不同位置先后做自由落体运动，或两个物体分别做自由落体运动与竖直上抛运动时，两物体在空中相遇的条件都是两物体在同一时刻位于同一位置．
上述两个物体的相遇问题，可以以地面为参考系，根据自由落体运动规律并结合位移关系和时间关系求解，也可以以某一物体为参考系，根据两物体相对匀速运动并结合相对位移和时间关系求解．
对两个分别做自由落体运动与竖直上抛运动的物体在空中相遇的问题，还可以结合竖直上抛运动的临界条件如“恰好到达最高点”“恰好返回地面”等，求解上升过程或下降过程相遇的条件等．
(2)竖直上抛运动和自由落体运动中的多体问题
竖直上抛运动和自由落体运动中的多体问题一般具有如下特征：
①每个物体都经历相同的运动过程；
②每个物体开始运动的时间差相等．
对此类问题，如水龙头滴水、杂技演员连续抛球、直升机定点空投等问题，可把多体问题转化为单体问题后进行求解．
【达标练习】
1．(2019·嘉定一模)从某一高度相隔1 s先后释放甲、乙两个相同的小球，不计空气的阻力，它们在空中任一时刻( )
A．间距保持不变，速度之差保持不变
B．间距越来越大，速度之差越来越大
C．间距越来越大，速度之差保持不变
D．间距越来越小，速度之差越来越小
解析：选C.甲、乙两球做自由落体运动，加速度都为重力加速度；以释放乙球开始计时，甲球此时的速度v1＝gt＝10 m/s，经过t时间后，甲球的速度v＝v1＋gt，乙球的速度v′＝gt，则两球的速度差为：Δv＝v－v′＝10 m/s，两球的速度之差保持不变．此后先释放的小球的位移为：x1＝v1t＋eq \f(1,2)gt2；后释放的小球的位移为：x2＝eq \f(1,2)gt2.它们之间的距离差为：Δx＝x1－x2＝v1t，可知它们的间距越来越大，故A、B、D错误，C正确．
2．如图所示，某人在高层楼房的阳台上以20 m/s的速度竖直向上抛出一个石块，石块运动到离抛出点15 m处时，所经历的时间为多少？(不计空气阻力，g取10 m/s2)
解析：当石块在抛出点上方距抛出点15 m处时，取向上为正方向，则位移x＝15 m，加速度a＝－g＝－10 m/s2
代入公式x＝v0t＋eq \f(1,2)at2得数学关系式
15＝20t＋eq \f(1,2)×(－10)t2
化简得5t2－20t＋15＝0
(以上两式所有物理量均采用国际单位制单位)
解得t1＝1 s，t2＝3 s
t1＝1 s对应着石块上升到离抛出点15 m处时所用的时间，
而t2＝3 s对应着从最高点落回时第二次经过离抛出点15 m处时所用的时间．
由于石块上升的最大高度H＝eq \f(veq \\al(2,0),2g)＝20 m，所以石块落到抛出点下方离抛出点15 m处时，做自由落体运动的总高度为
HOB＝(20＋15) m＝35 m
下落此段距离所用的时间t′＝eq \r(\f(2HOB,g))＝eq \r(\f(2×35,10)) s＝eq \r(7) s
这样，石块从抛出到经过抛出点下方离抛出点15 m处时所用的时间为
t3＝t1＋eq \f(t2－t1,2)＋t′＝2 s＋eq \r(7) s＝(2＋eq \r(7)) s.
答案：1 s或3 s或(2＋eq \r(7)) s
一、单项选择题
1．(2019·雅安期末)甲球的质量是乙球质量的5倍，两球从同一高度同时自由落下，下列说法正确的是( )
A．甲、乙都做自由落体运动，所以都不受任何外力作用
B．甲、乙从同一高度自由落下，所以两球同时落地
C．甲球质量大，所以甲的加速度比乙的加速度大
D．甲球质量大，所以甲落到地面的速度也大
解析：选B.甲、乙都做自由落体运动，都只受重力作用，故A错误；因为甲、乙物体同时做自由落体运动，它们的初速度为零，加速度为g，根据v＝gt和h＝eq \f(1,2)gt2知，两物体具有相同的速度和位移，故两个物体的运动情况完全相同，同时落地，落地速度也相同，故B正确，C、D错误．
2．(2019·怀仁校级月考)在物理学发展的过程中，许多物理学家的科学研究推动了人类文明的进程．在对以下几位物理学家所作科学贡献的叙述中或者研究方法中，正确的说法是( )
A．在对自由落体运动的研究中，伽利略猜想运动速度与下落时间成正比，并直接用实验进行了验证
B．伟大的物理学家牛顿最先建立了速度、加速度等概念，并创造了一套科学研究方法
C．在推导匀变速直线运动位移公式时，把整个运动过程划分成很多小段，每一小段近似看做匀速直线运动，然后把各小段的位移相加，物理学中把这种研究方法叫做“微元法”
D．亚里士多德认为两个物体从同一高度自由落下，重物体与轻物体下落一样快
解析：选C.伽利略猜想自由落体的运动速度与下落时间成正比，并未直接进行验证，而是验证了位移与时间的平方成正比，故A错误；伽利略是伟大的物理学家，他最先建立了速度、加速度等概念，并创造了一套科学研究方法，故B错误；在推导匀变速直线运动位移公式时，把整个运动过程划分成很多小段，每一小段近似看做匀速直线运动，然后把各小段的位移相加，物理学中把这种研究方法叫做“微元法”，故C正确；伽利略认为两个从同一高度自由落下的物体，重物体与轻物体下落一样快，故D错误．
3．关于自由落体运动的加速度g，下列说法中正确的是( )
A．重的物体g值大
B．同一地点，轻、重物体的g值一样大
C．g值在地球上任何地方都一样大
D．g值在赤道处大于北极处
解析：选B.g值与物体轻重无关，A错误，B正确；g值在地球上不同地方大小不同，在赤道处小于北极处，C、D错误．
4．(2019·罗湖校级月考)四川乐山大佛开凿于唐代，历时约90年，通高71米．雨天水滴从顶上下落(时间间隔均为1 s)，不考虑一切阻力，则在落地之前，空中的水滴(g取10 m/s2)( )
A．间距均匀，都为5 m
B．间距均匀，都为10 m
C．先下落的水滴之间间距更大
D．后下落的水滴之间间距更大
解析：选C.设某一个雨滴下落的时间为t，则前一滴雨滴的下落时间为(t＋Δt)，根据自由落体运动的规律可知，在落地之前，空中相邻的水滴之间的距离Δx＝eq \f(1,2)g(t＋Δt)2－eq \f(1,2)gt2＝gΔt·t＋eq \f(1,2)gΔt2，随着下落时间t的增加，距离增大，所以从上到下相邻的水滴之间的距离依次增大，故A、B、D错误，C正确．
5.如图所示，小球从竖直砖墙某位置静止释放，用频闪照相机在同一底片上多次曝光，得到了图中1，2，3，4，5，…所示小球运动过程中每次曝光的位置，连续两次曝光的时间间隔均为T，每块砖的厚度为d.根据图中的信息，下列判断不正确的是( )
A．位置“1”是小球释放的初始位置
B．小球做匀加速直线运动
C．小球下落的加速度为eq \f(d,T2)
D．小球在位置“3”的速度为eq \f(7d,2T)
解析：选A.由题图可以知道每两个相邻的点之间的距离差是一样的，由Δx＝aT2可知，a＝eq \f(Δx,T2)＝eq \f(d,T2)，所以B、C正确；点3的瞬时速度的大小为2、4之间的平均速度的大小，所以v3＝eq \f(x24,2T)＝eq \f(7d,2T)，D正确；由于v3＝v1＋a·2T，故v1＝v3－2aT＝eq \f(7d,2T)－2×eq \f(d,T2)×T＝eq \f(3d,2T)，故A错误．
6.某同学身高1.8 m，在运动会上他参加跳高比赛，起跳后身体横着越过了1.8 m高度的横杆(如图所示)．据此可估算出他起跳时竖直向上的速度大约为(取g＝10 m/s2)( )
A．2 m/s B．4 m/s
C．6 m/s D．8 m/s
解析：选B.身体横着越过1.8 m的横杆，此时重心高度为1.8 m，起跳时重心高度为0.9 m，所以重心上升的最大高度为h＝1.8 m－0.9 m＝0.9 m．所以起跳时竖直向上的速度v＝eq \r(2gh)＝eq \r(2×10×0.9) m/s＝3eq \r(2) m/s，最接近的是4 m/s，所以应选B.
7．(2019·甘肃会宁高一期中)在轻绳的两端各拴一个小球，一人用手拿着绳一端的小球站在三层楼的阳台上，放手让小球自由下落，两小球相继落地的时间差为Δt.如果站在四层楼的阳台上，同样放手让小球自由下落，则两小球相继落地的时间差将( )
A．不变 B．变大
C．变小 D．无法判断
解析：选C.设细线的长度为L，第一个小球着地后，另一个小球运动的位移为L，在L内运行的时间即为两球落地的时间差，第一个球着地的速度为另一个小球在位移L内的初速度．高度越高，落地的速度越大，则可知高度越高，另一个小球在位移L内的初速度越大，根据L＝v0t＋eq \f(1,2)gt2，初速度越大，时间越短，所以两小球相继落地的时间差将变小．
8．(2019·咸阳期末)2018年11月27日凌晨4时许，洞察号探测器成功登陆火星，假设未来的某一天，宇航员在火星上距地面18 m高处由静止释放一重物，测得重物经过3 s落到火星表面，则下列说法正确的是( )
A．火星表面的重力加速度大小为4 m/s2
B．重物落地时的速度大小为8 m/s
C．重物落地前的1 s内位移大小为8 m
D．重物下落过程中，任意相邻1 s内的位移之差为2 m
解析：选A.根据位移时间关系公式h＝eq \f(1,2)g′t2知重力加速度g′＝eq \f(2h,t2)＝4 m/s2，故A正确；根据速度时间关系公式v＝g′t＝12 m/s，故B错误；前2 s内位移为h′＝eq \f(1,2)g′t2＝8 m，Δh＝h－h′＝10 m，故C错误；重物下落过程中，任意相邻1 s内的位移之差Δx＝g′T2＝4 m，故D错误．
二、多项选择题
9．(2019·成都高一检测)在不同高度同时释放两个铅球(不计空气阻力)，则在均未落地前，两者( )
A．在任一时刻具有相同的加速度、位移和速度
B．落地的时间间隔取决于两铅球释放时的高度
C．在第1 s内、第2 s内、第3 s内位移之比都为1∶4∶9
D．两铅球的距离和速度差都越来越大
解析：选AB.自由落体运动的加速度都为g，由h＝eq \f(1,2)gt2，v＝gt可判断A正确；自由落体的时间由高度决定，故落地的时间间隔也由高度决定，B正确；初速度为0，第1 s内、第2 s内、第3 s内位移之比为1∶3∶5，C错误；因为同时释放，任意时刻速度相同，故速度之差为0，任意时间内下落的高度相同，故高度差不变等于释放时高度之差，D错误．
10．(2019·江苏盐城高一月考)科技馆中的一个展品如图所示，在较暗处有一个不断均匀滴水的水龙头，在一种特殊的间歇闪光灯的照射下，若调节间歇闪光时间间隔正好与水滴从A下落到B的时间相同，可以看到一种奇特的现象，水滴似乎不再下落，而是像固定在图中的A、B、C、D四个位置不动，对出现的这种现象，下列描述正确的是(g＝10 m/s2)( )
A．水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间满足tAB＜tBC＜tCD
B．间歇发光的间隔时间是eq \f(\r(2),10) s
C．水滴在相邻两点之间的位移满足xAB∶xBC∶xCD＝1∶3∶5
D．水滴在各点速度之比满足vB∶vC∶vD＝1∶4∶9
解析：选BC.若调节间歇闪光时间间隔正好与水滴从A下落到B的时间相同，看到水滴似乎不再下落，知相邻两个点的时间间隔相等．根据Δx＝gΔt2，则Δt＝eq \r(\f(Δx,g))＝eq \r(\f(0.2,10)) s＝eq \f(\r(2),10) s，故A错误，B正确；初速度为零的匀变速直线运动，在相邻相等时间内的位移之比为1∶3∶5，故C正确；根据v＝gt得，vB∶vC∶vD＝1∶2∶3，故D错误．
11．(2019·包河校级月考)某同学在一废弃矿井的井口每隔0.5 s由静止释放一个石子，当第7个石子刚开始释放时，第1个石子恰好到达井底，g＝10 m/s2，则下列说法正确的是( )
A．矿井深度为61.25 m
B．当第1个石子恰好到达井底时，第1个石子与第2个石子之间的距离达到最大值
C．当第1个石子恰好到达井底时，第3个和第5个石子之间的距离为15 m
D．当第1个石子恰好到达井底时，第4个石子的瞬时速度为15 m/s
解析：选BCD.由题意可知第一个石子下落到井底用时为t＝(7－1)×0.5 s＝3 s，石子做自由落体运动，根据自由落体运动位移时间公式可得矿井深度为h＝eq \f(1,2)gt2＝eq \f(1,2)×10×32 m＝45 m，故A错误；当第1个石子恰好到达井底时，根据自由落体运动规律可得，下落石子之间的距离之比为x67∶x56∶x45∶x34∶x23∶x12＝1∶3∶5∶7∶9∶11，所以第1个石子与第2个石子之间的距离达到最大值，故B正确；当第1个石子恰好到达井底时，第3个石子下落的时间为2 s，第5个石子下落的时间为1 s，则两者的距离：h35＝h3－h5＝eq \f(1,2)g(teq \\al(2,3)－teq \\al(2,5))＝eq \f(1,2)×10×(22－12)m＝15 m，故C正确；当第1个石子恰好到达井底时，第4个石子下落的时间为1.5 s，第4个石子的瞬时速度为v4＝gt4＝10×1.5 m/s＝15 m/s，故D正确．
12．为了测出楼房的高度，让一石块从楼顶自由下落至地面(不计空气阻力，重力加速度为已知)，测出下列哪个物理量就可以计算出楼房的高度( )
A．石块下落到地面的总时间
B．石块落地前瞬间的速度
C．石块下落第1 s内的位移
D．石块通过最后1 m位移所用的时间
解析：选ABD.由公式h＝eq \f(1,2)gt2可知，选项A正确；根据v2＝2gh可知，选项B正确；根据h＝eq \f(1,2)gt2知只测出第1 s内的位移，不能计算出总高度，选项C错误；根据h＝eq \f(1,2)gt2和h－1＝eq \f(1,2)g(t－t′)2可知，选项D正确．
三、非选择题
13．(2019·黄冈期末)如图甲所示是小格同学测定当地重力加速度的装置图，他进行了如下操作：他先安装好电磁打点计时器，打点计时器两个接线头与6 V、50 Hz交流电源相连，将纸带固定上重锤，并穿过打点计时器的限位孔，用夹子夹住纸带上端待重锤稳定于图示位置，松开夹子后迅速接通电源打点，之后将打好点的纸带取下准备处理数据．
(1)上述操作中不当之处有________(填正确答案标号)．
A．打点计时器接在低压电源上了
B．打点计时器安装位置过高，使重锤初始位置离打点计时器太远
C．先放纸带后接通电源
(2)小格同学按照正确的操作得到了一条较为理想的纸带，选择某一点为0，依次每隔四个打印点取一个计数点编号为1、2、3、4、5…，由于不小心，纸带被撕断了，如图乙所示请在B、C、D三段纸带中选出从纸带A上撕下的那段应该是________(填正确答案标号)．
(3)依据小格打出的纸带求得当地重力加速度大小为________m/s2.(结果保留三位有效数字)
解析：(1)电磁打点计时器使用的是低压交流电源，故A正确；释放纸带时，使重锤初始位置靠近打点计时器，故B错误；先接通电源，后释放纸带，故C错误．
(2)相邻相等时间内的位移之差Δx＝16.48 cm－6.74 cm＝9.74 cm，则4、5点间的距离x45＝x12＋3Δx＝16.48 m＋9.74×3 cm＝45.70 cm，故D正确．
(3)根据Δx＝aT2得，a＝eq \f(Δx,T2)＝9.74 m/s2.
答案：(1)BC (2)D (3)9.74
14．空降兵某部官兵使用新装备进行超低空跳伞，若跳伞空降兵在离地面224 m高处，由静止开始在竖直方向做自由落体运动．一段时间后，立即打开降落伞，以12.5 m/s2的平均加速度匀减速下降，为了空降兵的安全，要求空降兵落地速度最大不得超过5 m/s(g取10 m/s2)．求：
(1)空降兵打开降落伞时离地的高度至少为多少米？
(2)如果空降兵落地的速度等于5 m/s，相当于从多高的地方自由落体？
解析：(1)设空降兵做自由落体运动的高度为h时速度为v，此时打开伞开始匀减速运动，落地时速度刚好为5 m/s，这种情况空降兵在空中运动时间最短，
则有v2＝2gh，veq \\al(2,t)－v2＝2a(H－h)
代入数据解得：h＝125 m，v＝50 m/s
为使空降兵安全着地，他展开伞时的高度至少为：
H－h＝224 m－125 m＝99 m.
(2)当落地速度为5 m/s时，相当于从h′高处自由落体
h′＝eq \f(veq \\al(2,t),2g)＝eq \f(25,2×10) m＝1.25 m.
答案：(1)99 m (2)1.25 m
15．某一跳水运动员从离水面10 m高的平台上向上跃起，举双臂直体离开台面，此时重心位于从手到脚全长的中点，跃起后重心升高0.45 m达到最高点，落水时身体竖直，手先入水，从离开平台到手接触水面，运动员可以用于完成动作的时间为多长？在此过程中，运动员水平方
向的运动忽略不计，运动员可视为全部质量集中在重心的一个质点，取g＝10 m/s2.
解析：如题图所示，从平台跃起，到手接触水面，运动员重心的高度变化为h＝10 m.
法一：将整个过程分上升和下降两个阶段考虑，设运动员跃起的初速度为v0，
则eq \f(veq \\al(2,0),2g)＝H，
v0＝eq \r(2gH)＝eq \r(2×10×0.45) m/s＝3 m/s，
故上升时间为：t1＝eq \f(v0,g)＝0.3 s.
设运动员从最高点到手接触水面所用时间为t2，则
eq \f(1,2)gteq \\al(2,2)＝h＋H，t2＝ eq \r(\f(2（H＋h）,g))
＝ eq \r(\f(2×（10＋0.45）,10)) s≈1.4 s，
故用于完成动作的时间为t＝t1＋t2＝1.7 s.
法二：运动员的整个运动过程为竖直上抛运动，设总时间为t，由于运动员入水时位于跃起位置下方10 m处，故该过程位移为x＝－h，即：x＝v0t－eq \f(1,2)gt2，
其中v0＝3 m/s，
代入数据得：5t2－3t－10＝0，
t＝eq \f(3＋\r(209),10) s≈1.7 s(另一根不合题意，舍去)．
答案：1.7 s
学习目标
核心素养形成脉络
1.知道自由落体运动的条件、性质和特点．(重点)
2.掌握自由落体运动的规律，会通过实验测定自由落体运动的加速度，知道在地球上不同地方，重力加速度的大小不同.
3.了解伽利略研究自由落体运动的过程，领悟他的研究方法．(难点)
产生原因
由于地球上的物体受到地球的吸引而产生
大小
与物体质量无关，与所处于地球上的位置及距地面的高度有关，在一般的计算中，可以取g＝9.8 m/s2或g＝10 m/s2
与纬度关系
在地球表面上，重力加速度随纬度的增加而增大，在赤道处重力加速度最小，在两极处重力加速度最大，但差别很小
与高度关系
在地面上的同一地点，随高度的增加，重力加速度减小，在一般的高度内，可认为重力加速度的大小不变
方向
竖直向下．由于地球是一个球体，所以各处的重力加速度的方向是不同的
匀变速直线运动的一般规律
自由落体运动规律
速度公式
v＝v0＋at
v＝gt
平均速度公式
eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(v0＋v,2)
eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(v,2)
位移公式
x＝v0t＋eq \f(1,2)at2
x＝eq \f(1,2)gt2
位移与速度的关系
v2－veq \\al(2,0)＝2ax
v2＝2gh
推论
Δx＝aT2
Δx＝gT2
规律相同
任何物体做自由落体运动时，运动规律相同
运动速度
由v＝gt知，运动时间越长，速度越大，运动速度与时间成正比；由v＝eq \r(2gh)知，下落高度越大，速度越大，下落高度决定速度的大小
下落时间
由h＝eq \f(1,2)gt2得t＝eq \r(\f(2h,g))，即自由落体运动的时间由下落的高度决定
定义
物体具有竖直向上的初速度，只在重力作用下的运动
运动性质
先做竖直向上的匀减速运动，上升到最高点后，又开始做自由落体运动，整个过程中加速度始终为g
处理方法
(1)分段法：可以把竖直上抛运动分成上升阶段的匀减速直线运动和下降阶段的自由落体运动处理．上升阶段：v＝v0－gt，h＝v0t－eq \f(1,2)gt2；下落阶段：v＝gt，h＝eq \f(1,2)gt2
(2)整体法：将竖直上抛运动视为初速度为v0，加速度为－g的匀减速直线运动．取整个过程分析，选竖直向上为正方向，则有v＝v0－gt，h＝v0t－eq \f(1,2)gt2，v>0，上升阶段；v<0，下落阶段；h>0，在抛出点上方；h<0，在抛出点下方
重要特性
作出竖直上抛运动的过程图，如图所示，结合图象分析，可知
(1)对称性
①时间对称性：对同一段距离，上升过程和下降过程时间相等，tAB＝tBA，tO C＝tC O
②速度对称性：上升过程和下降过程通过同一点时速度大小相等，方向相反
(2)多解性：通过某一点对应两个时刻，即：物体可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段
典型物
理量
上升的最大高度：h＝eq \f(02－veq \\al(2,0),－2g)＝eq \f(veq \\al(2,0),2g)；上升时间：t＝eq \f(0－v0,－g)＝eq \f(v0,g)；在t＝eq \f(2v0,g)时刻，整个过程位移为零，即回到抛出点
核心素养聚焦
抛体运动的详解
一、自由落体运动
1．亚里士多德的观点：物体下落的快慢是由它们的重量决定的．
2．伽利略的研究
(1)归谬：伽利略从亚里士多德的论断出发，通过逻辑推理，否定了他的论断．
(2)猜想：自由落体运动是一种最简单的变速运动，它的速度应该是均匀变化的．
3．自由落体运动
(1)定义：物体只在重力作用下从静止开始下落的运动．
(2)运动性质：初速度为零的匀加速直线运动．
二、自由落体加速度
1．定义：在同一地点，一切物体自由下落的加速度都相同，这个加速度叫做自由落体加速度，也叫做重力加速度，通常用g表示．
2．方向：总是竖直向下．
3．大小：在地球上不同的地方，g的大小是不同的．一般的计算中，g取 9.8__m/s2，近似计算时，g取10__m/s2．
三、自由落体运动的规律
1．速度公式：v＝gt．
2．位移公式：h＝eq \f(1,2)gt2．
3．速度位移公式：v2＝2gh．
思维辨析
(1)初速度为零的下落运动就是自由落体运动．( )
(2)只在重力作用下的下落运动就是自由落体运动．( )
(3)重力加速度方向一定指向地心．( )
(4)物体越重，重力加速度越大，下落得越快．( )
(5)亚里士多德研究自然规律的方法是实验的方法．( )
(6)伽利略研究自然规律的方法是猜想和假设、数学推理和科学实验相结合的方法．( )
提示：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√
基础理解
(1)(2019·平谷期末)BBC科学节目《HumanUniverse》曾经在世界最大的真空实验室里做了这样的实验：在真空环境下，从同一高度同时由静止释放铁球和羽毛，根据已学知识判断，我们会看到的现象是( )
A．铁球下落快
B．羽毛下落快
C．铁球和羽毛下落一样快
D．铁球和羽毛都不会下落
提示：选C.如果室内充满空气时，由于空气阻力的影响，二者均不做自由落体运动，同时因羽毛受空气阻力的影响较大，故铁球和下落得快；在真空环境下，由于两者均只受重力作用而做自由落体运动，故铁球和羽毛下落一样快，故C正确、A、B、D错误．
(2)如图是著名的比萨斜塔．传说伽利略曾在比萨斜塔上做过实验．伽利略让重的铁球和轻的铁球同时下落，发现两球几乎同时落地，仅仅相差“两指宽”．这是为什么呢？
提示：“几乎同时落地”证明：相同时间内，重的铁球和轻的铁球下落高度几乎相同．“二指宽”的差别是空气阻力造成的．
对自由落体运动的理解和应用
问题导引
如图所示，一个小金属球从离地h高处由静止释放，小球下落一段时间落地．试结合上述现象讨论：
(1)小球的运动性质是什么？
(2)怎样确定小球的落地时间及速度？
要点提示 (1)小球做自由落体运动，是初速度为零的匀加速直线运动：v0＝0，a＝g.
(2)可由运动学公式h＝eq \f(1,2)gt2及v2＝2gh确定落地时间和速度．
【核心深化】
1．自由落体运动的实质
自由落体运动是初速度v0＝0，加速度a＝g的匀加速直线运动，它只是匀变速直线运动的特例．
注意：物体在其他星球上也可以做自由落体运动，但同一物体在不同的星球上所受重力一般不同，所以下落时的加速度一般不同．
2．自由落体加速度——重力加速度
3.匀变速直线运动与自由落体运动的规律比较
关键能力1 对自由落体运动的理解
(多选)(2019·济南高一月考)关于自由落体运动，下列说法中正确的是( )
A．一张纸片在地球表面自由下落，可以看成自由落体运动
B．一个钢球在地球表面自由下落，可以看成自由落体运动
C．在地球上同一地点，一切物体在自由落体运动中落至同一高度时的加速度都相同
D．轻物体和重物体的重力加速度不同
[思路点拨] (1)自由落体运动的受力特点是只受重力作用．
(2)在地球表面附近，重力加速度只与高度和纬度有关，与物体的质量无关．
[解析] 地球表面有空气，纸片受到空气阻力较大，不能忽略，钢球受到的阻力比重力小得多，可以忽略，因此钢球的自由下落可以看成自由落体运动，纸片的自由下落不能看成自由落体运动，A错误，B正确；重力加速度是矢量，方向竖直向下，在地球的表面，不同的地方重力加速度g的大小略有不同，在地球表面同一地点，g的值都相同，但随着高度的增大，g的值逐渐减小，重力加速度与物体的质量无关，C正确，D错误．
[答案] BC
关键能力2 自由落体运动规律的应用
从离地面80 m的空中自由落下一个小球，(不计空气阻力，取g＝10 m/s2)求：
(1)经过多长时间小球落到地面上；
(2)小球下落到地面时的速度；
(3)小球自开始下落计时，在最后1 s内的位移．
[思路点拨] (1)落地的时间t可由位移公式h＝eq \f(1,2)gt2求得，速度可由v＝gt求得．
(2)最后1 s内的位移可由总位移与(t－1)s内位移之差求得．
[解析] (1)由h＝eq \f(1,2)gt2可得：
t＝eq \r(\f(2h,g))＝ eq \r(\f(2×80,10)) s＝4 s.
(2)由v＝gt得：落地速度v＝10×4 m/s＝40 m/s.
(3)最后1 s内的位移h1＝h－eq \f(1,2)g(t－1)2
则h1＝80 m－eq \f(1,2)×10×(4－1)2 m＝35 m.
[答案] (1)4 s (2)40 m/s (3)35 m
关键能力3 等效转换法解决自由落体运动问题
(2019·长乐期末)青青是一个善于思考的女孩，她在学过自由落体运动规律后，对自家房屋屋檐下落的雨滴产生了兴趣．此屋檐离地面高度为3.2 m，她坐在窗前发现从屋檐每隔相等时间滴下一滴水，当第5滴正欲滴下时，第1滴刚好落到地面，而第3滴与第2滴分别位于窗户的上、下沿，如图所示．g取10 m/s2，求：窗户的上、下边沿高度差是多少？
[思路点拨] 先求出滴水的间隔T，根据自由落体运动的位移公式分别求出2、3两滴水的位移，进而求解窗户的上、下边沿高度差．
[解析] 根据h＝eq \f(1,2)gt2得：t＝eq \r(\f(2h,g))＝eq \r(\f(2×3.2,10)) s＝0.8 s；滴水的间隔为：T＝eq \f(t,n)＝eq \f(0.8,5－1) s＝0.2 s；第2滴水的位移：h2＝eq \f(1,2)g(3T)2＝eq \f(1,2)×10×0.36 m＝1.8 m，第3滴水的位移：h3＝eq \f(1,2)g(2T)2＝eq \f(1,2)×10×0.16 m＝0.8 m；所以有：Δh＝h2－h3＝1.8 m－0.8 m＝1 m.
[答案] 1 m
关键能力4 线状物体的自由落体
一条铁链AB长0.49 m，悬于A端静止，如果让它自由下落，求整个铁链通过悬点下方2.45 m处的小孔O需要的时间．(g取10 m/s2)
[解析] 作出铁链AB下落过程的示意图，如图所示，可以看出，铁链通过小孔的时间为从B端到达小孔至A端离开小孔的时间．
法一：B端到达O点所需的时间为t1，发生的位移为x1，A端到达O点所需的时间为t2，铁链长度L＝0.49 m，B端发生的位移为x2＝2.45 m，由图可知x1＝x2－L＝1.96 m，x1＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,1)，x2＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,2).
由以上三式解得：t＝t2－t1≈7.4×10－2s.
法二：当铁链的B端到达O点和铁链的A端离开O点时，铁链下降的高度分别为x1和x2，它们经过O点的速度分别为v1和v2，则v1＝eq \r(2gx1)，v2＝eq \r(2gx2).设铁链经过O点的时间为t，位移为铁链的长度L，则有t＝eq \f(L,v)＝eq \f(L,\f(v1＋v2,2))＝eq \f(2L,v1＋v2)，代入数据得：t≈7.4×10－2 s.
[答案] 7.4×10－2 s
eq \a\vs4\al()
(1)自由落体运动是一种初速度为0的匀加速直线运动，其加速度为g，g的大小与重力的大小无关，所有的匀变速直线运动的规律都适用于自由落体运动，但要注意，当问题指明(或有暗示)空气阻力不能忽略时，物体从静止开始下落的运动就不再是自由落体运动．
(2)自由落体运动的三点注意
【达标练习】
1．(2019·安徽青阳高一期中)小明摇动苹果树，从同一高度有一个苹果和一片树叶同时从静止下落，发现苹果先落地，则以下说法正确的是( )
A．苹果和树叶的运动都是自由落体运动
B．苹果和树叶的运动都能看成自由落体运动
C．苹果的运动可以近似看成自由落体运动，树叶的运动则不能看成自由落体运动
D．假如地球上没有空气，则苹果和树叶也不会同时落地解析：选C.苹果和树叶都受重力和空气阻力，但空气阻力相对苹果的重力来说很小，可以忽略不计，故苹果的运动可以看做自由落体运动，而树叶的运动不能看做自由落体运动，故A、B错误，C正确；假如地球上没有空气，苹果和树叶都只受重力，都做自由落体运动，同时落地，故D错误．
2．(多选)关于自由落体运动，下列说法中正确的是( )
A．它是v0＝0、a＝g、方向竖直向下的匀加速直线运动
B．在开始连续的三个1 s内通过的位移之比是1∶3∶5
C．在开始连续的三个1 s末的速度之比是1∶2∶3
D．从开始运动到下落4.9 m、9.8 m、14.7 m所经历的时间之比为1∶2∶3
解析：选ABC.由自由落体运动的性质可知A正确；由自由落体运动的比例关系式知B、C正确；由比例关系式知，从开始运动到下落4.9 m、9.8 m、14.7 m所经历的时间之比为：1∶eq \r(2)∶eq \r(3)，故D错误．
3．(2019·佛山期末)晓筱同学在一次观看跳水比赛时，想到一个问题：水池的水至少要多深，才能保证运动员的安全？他做了如下假设：比赛时，运动员在距水面10 m的跳台向上跳起，到达最高点时重心离跳台约1.25 m．然后自由下落；忽略空气阻力，将运动员看做质点，其在水中做减速直线运动；上网查得平均加速度大小为25 m/s2，g取10 m/s2.请你帮晓筱计算：
(1)运动员落至水面时的速度；
(2)为了避免运动员与池底碰撞，水池的最小水深．
解析：(1)由题意知运动员从跳台至水面做自由落体运动，由H＋h＝eq \f(1,2)gt2且v＝gt，
得：v＝eq \r(2g（H＋h）)，将数据代入解得v＝15 m/s.
(2)运动员末速度为0，设水池的最小水深为H0，则0－v2＝2aH0，解得H0＝4.5 m.
答案：(1)15 m/s (2)4.5 m
4．(2019·甘肃白银高一期中)某电视剧制作中心要拍摄一特技动作，要求特技演员从高80 m的大楼楼顶自由下落到行驶的汽车上，若演员开始下落的同时汽车从60 m远处由静止向楼底先匀加速运动3 s，再匀速行驶到楼底，为保证演员能安全落到汽车上．(不计空气阻力，人和汽车看做质点，g取10 m/s2)求：
(1)汽车开到楼底的时间；
(2)汽车匀速行驶的速度；
(3)汽车匀加速运动时的加速度．
解析：(1)人做自由落体运动，所以h＝eq \f(1,2)gt2
解得：t＝eq \r(\f(2h,g))＝eq \r(\f(2×80,10) s)＝4 s
所以汽车运动的时间也为4 s.
(2)(3)因为汽车匀加速时间为t1＝3 s
所以汽车匀速运动的时间为t2＝t－t1＝1 s
匀加速位移为s1＝eq \f(1,2)at2
匀速运动速度为：v＝at1
匀速运动位移为s2＝vt2
s1＋s2＝60 m
解得：a＝8 m/s2，v＝24 m/s.
答案：(1)4 s (2)24 m/s (3)8 m/s2
实验：研究自由落体运动的规律
1．实验仪器——打点计时器
(1)按如图所示连接好实验装置，让重锤做自由落体运动，与重锤相连的纸带上便会被打点计时器打出一系列点迹．
(2)对纸带上计数点间的距离h进行测量，利用hn－hn－1＝gT2求出重力加速度的大小．
2．实验步骤
(1)把打点计时器竖直固定在铁架台上，连接好电源．
(2)把纸带穿过两个限位孔，下端通过铁夹将重物和纸带连接起来，让重物靠近打点计时器．
(3)用手捏住纸带上端，把纸带拉成竖直状态，先接通电源，再松开纸带让重物自由下落，打点计时器在纸带上打下一系列的点．
(4)重复几次，选取一条点迹清晰的纸带分析．
3．数据处理方法
(1)逐差法
虽然用a＝eq \f(Δx,T2)可以根据纸带求加速度，但只利用一个Δx时，偶然误差太大，为此应采取逐差法．
利用“逐差法”求加速度，若为偶数段，假设为6段，则a1＝eq \f(x4－x1,3T2)，a2＝eq \f(x5－x2,3T2)，a3＝eq \f(x6－x3,3T2)，然后取平均值，即eq \(a,\s\up6(－))＝eq \f(a1＋a2＋a3,3)，或由a＝eq \f(（x4＋x5＋x6）－（x1＋x2＋x3）,3×3T2)直接求得；若为奇数段，则中间段往往不用，假设为5段，则不用第3段，则a1＝eq \f(x4－x1,3T2)，a2＝eq \f(x5－x2,3T2)，然后取平均值，即eq \(a,\s\up6(－))＝eq \f(a1＋a2,2)或由a＝eq \f(（x4＋x5）－（x1＋x2）,2×3T2)直接求得，这样所给的数据充分得到了利用，提高了准确度．
(2)v－t图象法
根据纸带，求出各时刻的瞬时速度，作出v－t图象，求出该v－t图象的斜率k，则k＝a.
这种方法的优点是可以舍掉一些偶然误差较大的测量值，有效地减少偶然误差．
4．注意事项
(1)应选用质量和密度较大的重物．增大重物的重力可使阻力的影响相对减小．
(2)打点计时器应竖直放置，以减小阻力．
(3)重物应从靠近打点计时器处释放，要先接通打点计时器的电源，再释放纸带．
某同学用图甲所示装置测量重力加速度g，所用交流电频率为50 Hz.在所选纸带上取某点为0号计数点，然后每3个点取一个计数点，所有测量数据及其标记符号如图乙所示．
甲
乙
该同学用两种方法处理数据(T为相邻两计数点间的时间间隔)：
方法A：由g1＝eq \f(x2－x1,T2)，g2＝eq \f(x3－x2,T2)，…，g5＝eq \f(x6－x5,T2)，取平均值eq \(g,\s\up6(－))＝8.667 m/s2；
方法B：由g1＝eq \f(x4－x1,3T2)，g2＝eq \f(x5－x2,3T2)，g3＝eq \f(x6－x3,3T2)，取平均值eq \(g,\s\up6(－))＝8.673 m/s2.
从数据处理方法看，在x1，x2，x3，x4，x5，x6中，对实验结果起作用的，方法A中有__________；方法B中有__________________________．因此，选择方法________(选填“A”或“B”)更合理，这样可以减少实验的________(选填“系统”或“偶然”)误差．本实验误差的主要来源有________________________________________________________________________
________________________________________________________________________(试举出两条即可)．
[解析] 方法A的实质：
eq \(g,\s\up6(－))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2－x1,T2)＋\f(x3－x2,T2)＋…＋\f(x6－x5,T2)))/5＝eq \f(x6－x1,5T2)
方法B的实质：
eq \(g,\s\up6(－))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x4－x1,3T2)＋\f(x5－x2,3T2)＋\f(x6－x3,3T2)))/3
＝eq \f(（x4＋x5＋x6）－（x1＋x2＋x3）,9T2)
故方法A中2个数据起作用，方法B中6个数据起作用．
[答案] x1、x6或37.5 mm、193.5 mm x1、x2、x3、x4、x5、x6或37.5 mm、69.0 mm、100.5 mm、131.5 mm、163.0 mm、193.5 mm B 偶然 阻力(空气阻力、振针的阻力、限位孔的阻力、复写纸的阻力等)，交流电频率波动，长度测量，数据处理方法等(写两条即可)
eq \a\vs4\al()
其他测重力加速度的常用方法
(1)频闪照相法
频闪照相机可以每间隔相等的时间拍摄一次，根据Δx是否为恒量，可判断自由落体运动是否为匀变速直线运动．根据匀变速直线运动的推论Δx＝gT2可求出重力加速度g＝eq \f(Δx,T2).也可以根据veq \s\d9(\f(t,2))＝eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(x,t)求出物体在某两个时刻的速度，由g＝eq \f(v－v0,t)也可求出重力加速度g.
(2)滴水法
①如图，让水滴自水龙头滴下，在水龙头正下方放一个盘，调节水龙头，让水一滴一滴地滴下，并调节到使第一滴水碰到盘的瞬间，第二滴水正好从水龙头口开始下落，并且能依次持续下去；
②用刻度尺测出水龙头口距盘面的高度h；
③测出每滴水下落的时间T，其方法是：当听到某一滴水滴落在盘上的同时，开启停表开始计时，之后每落下一滴水到盘上依次数1，2，3，…，当数到n时按下停表停止计时，则每一滴水下落的时间为T＝eq \f(t,n)；
④由h＝eq \f(1,2)gT2，得g＝eq \f(2h,T2)＝eq \f(2n2h,t2).
注意：(1)利用打点计时器测重力加速度的误差主要来自阻力的影响和测量误差．
(2)频闪照相法和滴水法的误差主要是测量误差．
(2019·河南月考)某同学在暗室中用如图1所示的装置做“研究水滴的自由落体运动和测得重力加速度”的实验．
实验器材有：支架、漏斗、橡皮管、尖嘴玻璃管、螺丝夹子、接水铝盒、一把有荧光刻度的刻度尺、频闪仪．
具体实验步骤如下：
①在漏斗内盛满清水，旋松螺丝夹子，使水滴以一定的频率一滴滴地落下
②用频闪仪发出的白闪光将水滴流照亮，由大到小逐渐调节频闪仪的频率，当频闪仪闪光频率等于水滴滴落的频率时，看到空间有一串仿佛固定不动的水滴
③用竖直放置的毫米刻度尺测得各个水滴所对应的刻度
④采集数据进行处理
(1)在如图2所示记录的数据中，有一个不合规范的数据，应该改为________cm.
(2)通过作图象的方法可以剔除偶然误差较大的数据，提高实验的精确度．某同学把各个水滴到计数为0的水滴的距离记为 h1、h2、h3、h4、h5、…时间记为 t1、t2、t3、t4、t5、…作出eq \f(h,t)－t图象，其斜率为k，则重力加速度为g＝________．
(3)该实验存在的系统误差可能有(答出一条即可)：____________．
解析：(1)在如图2所示记录的数据中，有一个不合规范的数据，应该是第二个数据19.3，应该记录为19.30；
(2)根据自由落体运动的规律可知h＝eq \f(1,2)gt2，解得eq \f(h,t)＝eq \f(1,2)gt，所以eq \f(h,t)－t图象的斜率为k＝eq \f(1,2)g，则重力加速度为g＝2k；
(3)由于空气阻力对水滴的作用，水滴做的不是严格的自由落体运动；或者滴水的频率改变了，都会产生误差．
答案：(1)19.30 (2)2k (3)存在空气阻力(或水滴滴落的频率变化)
竖直上抛运动的规律及应用
【核心深化】
气球下悬挂一重物，以v0＝ 10 m/s匀速上升，当到达离地面h＝175 m处时悬挂重物的绳子突然断裂，那么重物经多少时间落到地面？落地的速度多大？空气阻力不计，g取10 m/s2.
[解析] 法一：分成上升阶段和下落阶段两过程考虑
绳子断裂后重物可继续上升的时间和上升的高度分别为
t1＝eq \f(v0,g)＝eq \f(10,10) s＝1 s，h1＝eq \f(veq \\al(2,0),2g)＝eq \f(10×10,2×10) m＝5 m
故重物离地面的最大高度为
H＝h＋h1＝(175＋5)m＝180 m
重物从最高处自由下落，落地时间和落地速度分别为
t2＝ eq \r(\f(2H,g))＝ eq \r(\f(2×180,10)) s＝6 s
vt＝gt2＝10×6 m/s＝60 m/s，方向竖直向下
所以从绳子突然断裂到重物落地共需时间
t＝t1＋t2＝1 s＋6 s＝7 s.
法二：从全程的匀减速直线运动考虑
从绳子断裂开始计时，经时间t后物体落至抛出点下方，规定初速度方向为正方向，则物体在时间t内的位移
h＝－175 m
由位移公式h＝v0t－eq \f(1,2)gt2，即
－175＝10t－eq \f(1,2)×10t2＝10t－5t2
解得t1＝7 s，t2＝－5 s(不合题意，舍去)
所以重物落地速度为vt＝v0－gt1＝(10－10×7)m/s＝
－60 m/s，其负号表示方向向下，与初速度方向相反．
[答案] 7 s 60 m/s
一杂技演员，用一只手抛球．他每隔0.40 s 抛出一球，接到球便立即把球抛出．已知除抛、接球的时刻外，空中总有4个小球，将球的运动近似看做是竖直方向的运动，球到达的最大高度是(高度从抛球点算起，g取10 m/s2)( )
A．1.6 m B．2.4 m
C．3.2 m D．4.0 m
解析：选C.被杂技演员抛出的小球在空中应做竖直上抛运动．考虑到空中总有四个小球，其边界情况为，演员手中的球将要被抛出时，空中第4个小球刚到演员的手中，如图所示．也就是说，抛出的小球在空中运动的时间是1.6 s．再根据竖直上抛运动上升过程和下降过程具有对称性，可知第二个小球抛出后经过0.80 s到达最高点．小球到达的最大高度H＝eq \f(1,2)gt2＝3.2 m.
自由落体运动和竖直上抛运动的综合应用
一般运动具有多对象、多过程特征．其中典型的问题如下：
(1)自由落体与竖直上抛物体的相遇问题
当两个物体从不同位置先后做自由落体运动，或两个物体分别做自由落体运动与竖直上抛运动时，两物体在空中相遇的条件都是两物体在同一时刻位于同一位置．
上述两个物体的相遇问题，可以以地面为参考系，根据自由落体运动规律并结合位移关系和时间关系求解，也可以以某一物体为参考系，根据两物体相对匀速运动并结合相对位移和时间关系求解．
对两个分别做自由落体运动与竖直上抛运动的物体在空中相遇的问题，还可以结合竖直上抛运动的临界条件如“恰好到达最高点”“恰好返回地面”等，求解上升过程或下降过程相遇的条件等．
(2)竖直上抛运动和自由落体运动中的多体问题
竖直上抛运动和自由落体运动中的多体问题一般具有如下特征：
①每个物体都经历相同的运动过程；
②每个物体开始运动的时间差相等．
对此类问题，如水龙头滴水、杂技演员连续抛球、直升机定点空投等问题，可把多体问题转化为单体问题后进行求解．
【达标练习】
1．(2019·嘉定一模)从某一高度相隔1 s先后释放甲、乙两个相同的小球，不计空气的阻力，它们在空中任一时刻( )
A．间距保持不变，速度之差保持不变
B．间距越来越大，速度之差越来越大
C．间距越来越大，速度之差保持不变
D．间距越来越小，速度之差越来越小
解析：选C.甲、乙两球做自由落体运动，加速度都为重力加速度；以释放乙球开始计时，甲球此时的速度v1＝gt＝10 m/s，经过t时间后，甲球的速度v＝v1＋gt，乙球的速度v′＝gt，则两球的速度差为：Δv＝v－v′＝10 m/s，两球的速度之差保持不变．此后先释放的小球的位移为：x1＝v1t＋eq \f(1,2)gt2；后释放的小球的位移为：x2＝eq \f(1,2)gt2.它们之间的距离差为：Δx＝x1－x2＝v1t，可知它们的间距越来越大，故A、B、D错误，C正确．
2．如图所示，某人在高层楼房的阳台上以20 m/s的速度竖直向上抛出一个石块，石块运动到离抛出点15 m处时，所经历的时间为多少？(不计空气阻力，g取10 m/s2)
解析：当石块在抛出点上方距抛出点15 m处时，取向上为正方向，则位移x＝15 m，加速度a＝－g＝－10 m/s2
代入公式x＝v0t＋eq \f(1,2)at2得数学关系式
15＝20t＋eq \f(1,2)×(－10)t2
化简得5t2－20t＋15＝0
(以上两式所有物理量均采用国际单位制单位)
解得t1＝1 s，t2＝3 s
t1＝1 s对应着石块上升到离抛出点15 m处时所用的时间，
而t2＝3 s对应着从最高点落回时第二次经过离抛出点15 m处时所用的时间．
由于石块上升的最大高度H＝eq \f(veq \\al(2,0),2g)＝20 m，所以石块落到抛出点下方离抛出点15 m处时，做自由落体运动的总高度为
HOB＝(20＋15) m＝35 m
下落此段距离所用的时间t′＝eq \r(\f(2HOB,g))＝eq \r(\f(2×35,10)) s＝eq \r(7) s
这样，石块从抛出到经过抛出点下方离抛出点15 m处时所用的时间为
t3＝t1＋eq \f(t2－t1,2)＋t′＝2 s＋eq \r(7) s＝(2＋eq \r(7)) s.
答案：1 s或3 s或(2＋eq \r(7)) s
一、单项选择题
1．(2019·雅安期末)甲球的质量是乙球质量的5倍，两球从同一高度同时自由落下，下列说法正确的是( )
A．甲、乙都做自由落体运动，所以都不受任何外力作用
B．甲、乙从同一高度自由落下，所以两球同时落地
C．甲球质量大，所以甲的加速度比乙的加速度大
D．甲球质量大，所以甲落到地面的速度也大
解析：选B.甲、乙都做自由落体运动，都只受重力作用，故A错误；因为甲、乙物体同时做自由落体运动，它们的初速度为零，加速度为g，根据v＝gt和h＝eq \f(1,2)gt2知，两物体具有相同的速度和位移，故两个物体的运动情况完全相同，同时落地，落地速度也相同，故B正确，C、D错误．
2．(2019·怀仁校级月考)在物理学发展的过程中，许多物理学家的科学研究推动了人类文明的进程．在对以下几位物理学家所作科学贡献的叙述中或者研究方法中，正确的说法是( )
A．在对自由落体运动的研究中，伽利略猜想运动速度与下落时间成正比，并直接用实验进行了验证
B．伟大的物理学家牛顿最先建立了速度、加速度等概念，并创造了一套科学研究方法
C．在推导匀变速直线运动位移公式时，把整个运动过程划分成很多小段，每一小段近似看做匀速直线运动，然后把各小段的位移相加，物理学中把这种研究方法叫做“微元法”
D．亚里士多德认为两个物体从同一高度自由落下，重物体与轻物体下落一样快
解析：选C.伽利略猜想自由落体的运动速度与下落时间成正比，并未直接进行验证，而是验证了位移与时间的平方成正比，故A错误；伽利略是伟大的物理学家，他最先建立了速度、加速度等概念，并创造了一套科学研究方法，故B错误；在推导匀变速直线运动位移公式时，把整个运动过程划分成很多小段，每一小段近似看做匀速直线运动，然后把各小段的位移相加，物理学中把这种研究方法叫做“微元法”，故C正确；伽利略认为两个从同一高度自由落下的物体，重物体与轻物体下落一样快，故D错误．
3．关于自由落体运动的加速度g，下列说法中正确的是( )
A．重的物体g值大
B．同一地点，轻、重物体的g值一样大
C．g值在地球上任何地方都一样大
D．g值在赤道处大于北极处
解析：选B.g值与物体轻重无关，A错误，B正确；g值在地球上不同地方大小不同，在赤道处小于北极处，C、D错误．
4．(2019·罗湖校级月考)四川乐山大佛开凿于唐代，历时约90年，通高71米．雨天水滴从顶上下落(时间间隔均为1 s)，不考虑一切阻力，则在落地之前，空中的水滴(g取10 m/s2)( )
A．间距均匀，都为5 m
B．间距均匀，都为10 m
C．先下落的水滴之间间距更大
D．后下落的水滴之间间距更大
解析：选C.设某一个雨滴下落的时间为t，则前一滴雨滴的下落时间为(t＋Δt)，根据自由落体运动的规律可知，在落地之前，空中相邻的水滴之间的距离Δx＝eq \f(1,2)g(t＋Δt)2－eq \f(1,2)gt2＝gΔt·t＋eq \f(1,2)gΔt2，随着下落时间t的增加，距离增大，所以从上到下相邻的水滴之间的距离依次增大，故A、B、D错误，C正确．
5.如图所示，小球从竖直砖墙某位置静止释放，用频闪照相机在同一底片上多次曝光，得到了图中1，2，3，4，5，…所示小球运动过程中每次曝光的位置，连续两次曝光的时间间隔均为T，每块砖的厚度为d.根据图中的信息，下列判断不正确的是( )
A．位置“1”是小球释放的初始位置
B．小球做匀加速直线运动
C．小球下落的加速度为eq \f(d,T2)
D．小球在位置“3”的速度为eq \f(7d,2T)
解析：选A.由题图可以知道每两个相邻的点之间的距离差是一样的，由Δx＝aT2可知，a＝eq \f(Δx,T2)＝eq \f(d,T2)，所以B、C正确；点3的瞬时速度的大小为2、4之间的平均速度的大小，所以v3＝eq \f(x24,2T)＝eq \f(7d,2T)，D正确；由于v3＝v1＋a·2T，故v1＝v3－2aT＝eq \f(7d,2T)－2×eq \f(d,T2)×T＝eq \f(3d,2T)，故A错误．
6.某同学身高1.8 m，在运动会上他参加跳高比赛，起跳后身体横着越过了1.8 m高度的横杆(如图所示)．据此可估算出他起跳时竖直向上的速度大约为(取g＝10 m/s2)( )
A．2 m/s B．4 m/s
C．6 m/s D．8 m/s
解析：选B.身体横着越过1.8 m的横杆，此时重心高度为1.8 m，起跳时重心高度为0.9 m，所以重心上升的最大高度为h＝1.8 m－0.9 m＝0.9 m．所以起跳时竖直向上的速度v＝eq \r(2gh)＝eq \r(2×10×0.9) m/s＝3eq \r(2) m/s，最接近的是4 m/s，所以应选B.
7．(2019·甘肃会宁高一期中)在轻绳的两端各拴一个小球，一人用手拿着绳一端的小球站在三层楼的阳台上，放手让小球自由下落，两小球相继落地的时间差为Δt.如果站在四层楼的阳台上，同样放手让小球自由下落，则两小球相继落地的时间差将( )
A．不变 B．变大
C．变小 D．无法判断
解析：选C.设细线的长度为L，第一个小球着地后，另一个小球运动的位移为L，在L内运行的时间即为两球落地的时间差，第一个球着地的速度为另一个小球在位移L内的初速度．高度越高，落地的速度越大，则可知高度越高，另一个小球在位移L内的初速度越大，根据L＝v0t＋eq \f(1,2)gt2，初速度越大，时间越短，所以两小球相继落地的时间差将变小．
8．(2019·咸阳期末)2018年11月27日凌晨4时许，洞察号探测器成功登陆火星，假设未来的某一天，宇航员在火星上距地面18 m高处由静止释放一重物，测得重物经过3 s落到火星表面，则下列说法正确的是( )
A．火星表面的重力加速度大小为4 m/s2
B．重物落地时的速度大小为8 m/s
C．重物落地前的1 s内位移大小为8 m
D．重物下落过程中，任意相邻1 s内的位移之差为2 m
解析：选A.根据位移时间关系公式h＝eq \f(1,2)g′t2知重力加速度g′＝eq \f(2h,t2)＝4 m/s2，故A正确；根据速度时间关系公式v＝g′t＝12 m/s，故B错误；前2 s内位移为h′＝eq \f(1,2)g′t2＝8 m，Δh＝h－h′＝10 m，故C错误；重物下落过程中，任意相邻1 s内的位移之差Δx＝g′T2＝4 m，故D错误．
二、多项选择题
9．(2019·成都高一检测)在不同高度同时释放两个铅球(不计空气阻力)，则在均未落地前，两者( )
A．在任一时刻具有相同的加速度、位移和速度
B．落地的时间间隔取决于两铅球释放时的高度
C．在第1 s内、第2 s内、第3 s内位移之比都为1∶4∶9
D．两铅球的距离和速度差都越来越大
解析：选AB.自由落体运动的加速度都为g，由h＝eq \f(1,2)gt2，v＝gt可判断A正确；自由落体的时间由高度决定，故落地的时间间隔也由高度决定，B正确；初速度为0，第1 s内、第2 s内、第3 s内位移之比为1∶3∶5，C错误；因为同时释放，任意时刻速度相同，故速度之差为0，任意时间内下落的高度相同，故高度差不变等于释放时高度之差，D错误．
10．(2019·江苏盐城高一月考)科技馆中的一个展品如图所示，在较暗处有一个不断均匀滴水的水龙头，在一种特殊的间歇闪光灯的照射下，若调节间歇闪光时间间隔正好与水滴从A下落到B的时间相同，可以看到一种奇特的现象，水滴似乎不再下落，而是像固定在图中的A、B、C、D四个位置不动，对出现的这种现象，下列描述正确的是(g＝10 m/s2)( )
A．水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间满足tAB＜tBC＜tCD
B．间歇发光的间隔时间是eq \f(\r(2),10) s
C．水滴在相邻两点之间的位移满足xAB∶xBC∶xCD＝1∶3∶5
D．水滴在各点速度之比满足vB∶vC∶vD＝1∶4∶9
解析：选BC.若调节间歇闪光时间间隔正好与水滴从A下落到B的时间相同，看到水滴似乎不再下落，知相邻两个点的时间间隔相等．根据Δx＝gΔt2，则Δt＝eq \r(\f(Δx,g))＝eq \r(\f(0.2,10)) s＝eq \f(\r(2),10) s，故A错误，B正确；初速度为零的匀变速直线运动，在相邻相等时间内的位移之比为1∶3∶5，故C正确；根据v＝gt得，vB∶vC∶vD＝1∶2∶3，故D错误．
11．(2019·包河校级月考)某同学在一废弃矿井的井口每隔0.5 s由静止释放一个石子，当第7个石子刚开始释放时，第1个石子恰好到达井底，g＝10 m/s2，则下列说法正确的是( )
A．矿井深度为61.25 m
B．当第1个石子恰好到达井底时，第1个石子与第2个石子之间的距离达到最大值
C．当第1个石子恰好到达井底时，第3个和第5个石子之间的距离为15 m
D．当第1个石子恰好到达井底时，第4个石子的瞬时速度为15 m/s
解析：选BCD.由题意可知第一个石子下落到井底用时为t＝(7－1)×0.5 s＝3 s，石子做自由落体运动，根据自由落体运动位移时间公式可得矿井深度为h＝eq \f(1,2)gt2＝eq \f(1,2)×10×32 m＝45 m，故A错误；当第1个石子恰好到达井底时，根据自由落体运动规律可得，下落石子之间的距离之比为x67∶x56∶x45∶x34∶x23∶x12＝1∶3∶5∶7∶9∶11，所以第1个石子与第2个石子之间的距离达到最大值，故B正确；当第1个石子恰好到达井底时，第3个石子下落的时间为2 s，第5个石子下落的时间为1 s，则两者的距离：h35＝h3－h5＝eq \f(1,2)g(teq \\al(2,3)－teq \\al(2,5))＝eq \f(1,2)×10×(22－12)m＝15 m，故C正确；当第1个石子恰好到达井底时，第4个石子下落的时间为1.5 s，第4个石子的瞬时速度为v4＝gt4＝10×1.5 m/s＝15 m/s，故D正确．
12．为了测出楼房的高度，让一石块从楼顶自由下落至地面(不计空气阻力，重力加速度为已知)，测出下列哪个物理量就可以计算出楼房的高度( )
A．石块下落到地面的总时间
B．石块落地前瞬间的速度
C．石块下落第1 s内的位移
D．石块通过最后1 m位移所用的时间
解析：选ABD.由公式h＝eq \f(1,2)gt2可知，选项A正确；根据v2＝2gh可知，选项B正确；根据h＝eq \f(1,2)gt2知只测出第1 s内的位移，不能计算出总高度，选项C错误；根据h＝eq \f(1,2)gt2和h－1＝eq \f(1,2)g(t－t′)2可知，选项D正确．
三、非选择题
13．(2019·黄冈期末)如图甲所示是小格同学测定当地重力加速度的装置图，他进行了如下操作：他先安装好电磁打点计时器，打点计时器两个接线头与6 V、50 Hz交流电源相连，将纸带固定上重锤，并穿过打点计时器的限位孔，用夹子夹住纸带上端待重锤稳定于图示位置，松开夹子后迅速接通电源打点，之后将打好点的纸带取下准备处理数据．
(1)上述操作中不当之处有________(填正确答案标号)．
A．打点计时器接在低压电源上了
B．打点计时器安装位置过高，使重锤初始位置离打点计时器太远
C．先放纸带后接通电源
(2)小格同学按照正确的操作得到了一条较为理想的纸带，选择某一点为0，依次每隔四个打印点取一个计数点编号为1、2、3、4、5…，由于不小心，纸带被撕断了，如图乙所示请在B、C、D三段纸带中选出从纸带A上撕下的那段应该是________(填正确答案标号)．
(3)依据小格打出的纸带求得当地重力加速度大小为________m/s2.(结果保留三位有效数字)
解析：(1)电磁打点计时器使用的是低压交流电源，故A正确；释放纸带时，使重锤初始位置靠近打点计时器，故B错误；先接通电源，后释放纸带，故C错误．
(2)相邻相等时间内的位移之差Δx＝16.48 cm－6.74 cm＝9.74 cm，则4、5点间的距离x45＝x12＋3Δx＝16.48 m＋9.74×3 cm＝45.70 cm，故D正确．
(3)根据Δx＝aT2得，a＝eq \f(Δx,T2)＝9.74 m/s2.
答案：(1)BC (2)D (3)9.74
14．空降兵某部官兵使用新装备进行超低空跳伞，若跳伞空降兵在离地面224 m高处，由静止开始在竖直方向做自由落体运动．一段时间后，立即打开降落伞，以12.5 m/s2的平均加速度匀减速下降，为了空降兵的安全，要求空降兵落地速度最大不得超过5 m/s(g取10 m/s2)．求：
(1)空降兵打开降落伞时离地的高度至少为多少米？
(2)如果空降兵落地的速度等于5 m/s，相当于从多高的地方自由落体？
解析：(1)设空降兵做自由落体运动的高度为h时速度为v，此时打开伞开始匀减速运动，落地时速度刚好为5 m/s，这种情况空降兵在空中运动时间最短，
则有v2＝2gh，veq \\al(2,t)－v2＝2a(H－h)
代入数据解得：h＝125 m，v＝50 m/s
为使空降兵安全着地，他展开伞时的高度至少为：
H－h＝224 m－125 m＝99 m.
(2)当落地速度为5 m/s时，相当于从h′高处自由落体
h′＝eq \f(veq \\al(2,t),2g)＝eq \f(25,2×10) m＝1.25 m.
答案：(1)99 m (2)1.25 m
15．某一跳水运动员从离水面10 m高的平台上向上跃起，举双臂直体离开台面，此时重心位于从手到脚全长的中点，跃起后重心升高0.45 m达到最高点，落水时身体竖直，手先入水，从离开平台到手接触水面，运动员可以用于完成动作的时间为多长？在此过程中，运动员水平方
向的运动忽略不计，运动员可视为全部质量集中在重心的一个质点，取g＝10 m/s2.
解析：如题图所示，从平台跃起，到手接触水面，运动员重心的高度变化为h＝10 m.
法一：将整个过程分上升和下降两个阶段考虑，设运动员跃起的初速度为v0，
则eq \f(veq \\al(2,0),2g)＝H，
v0＝eq \r(2gH)＝eq \r(2×10×0.45) m/s＝3 m/s，
故上升时间为：t1＝eq \f(v0,g)＝0.3 s.
设运动员从最高点到手接触水面所用时间为t2，则
eq \f(1,2)gteq \\al(2,2)＝h＋H，t2＝ eq \r(\f(2（H＋h）,g))
＝ eq \r(\f(2×（10＋0.45）,10)) s≈1.4 s，
故用于完成动作的时间为t＝t1＋t2＝1.7 s.
法二：运动员的整个运动过程为竖直上抛运动，设总时间为t，由于运动员入水时位于跃起位置下方10 m处，故该过程位移为x＝－h，即：x＝v0t－eq \f(1,2)gt2，
其中v0＝3 m/s，
代入数据得：5t2－3t－10＝0，
t＝eq \f(3＋\r(209),10) s≈1.7 s(另一根不合题意，舍去)．
答案：1.7 s
学习目标
核心素养形成脉络
1.知道自由落体运动的条件、性质和特点．(重点)
2.掌握自由落体运动的规律，会通过实验测定自由落体运动的加速度，知道在地球上不同地方，重力加速度的大小不同.
3.了解伽利略研究自由落体运动的过程，领悟他的研究方法．(难点)
产生原因
由于地球上的物体受到地球的吸引而产生
大小
与物体质量无关，与所处于地球上的位置及距地面的高度有关，在一般的计算中，可以取g＝9.8 m/s2或g＝10 m/s2
与纬度关系
在地球表面上，重力加速度随纬度的增加而增大，在赤道处重力加速度最小，在两极处重力加速度最大，但差别很小
与高度关系
在地面上的同一地点，随高度的增加，重力加速度减小，在一般的高度内，可认为重力加速度的大小不变
方向
竖直向下．由于地球是一个球体，所以各处的重力加速度的方向是不同的
匀变速直线运动的一般规律
自由落体运动规律
速度公式
v＝v0＋at
v＝gt
平均速度公式
eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(v0＋v,2)
eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(v,2)
位移公式
x＝v0t＋eq \f(1,2)at2
x＝eq \f(1,2)gt2
位移与速度的关系
v2－veq \\al(2,0)＝2ax
v2＝2gh
推论
Δx＝aT2
Δx＝gT2
规律相同
任何物体做自由落体运动时，运动规律相同
运动速度
由v＝gt知，运动时间越长，速度越大，运动速度与时间成正比；由v＝eq \r(2gh)知，下落高度越大，速度越大，下落高度决定速度的大小
下落时间
由h＝eq \f(1,2)gt2得t＝eq \r(\f(2h,g))，即自由落体运动的时间由下落的高度决定
定义
物体具有竖直向上的初速度，只在重力作用下的运动
运动性质
先做竖直向上的匀减速运动，上升到最高点后，又开始做自由落体运动，整个过程中加速度始终为g
处理方法
(1)分段法：可以把竖直上抛运动分成上升阶段的匀减速直线运动和下降阶段的自由落体运动处理．上升阶段：v＝v0－gt，h＝v0t－eq \f(1,2)gt2；下落阶段：v＝gt，h＝eq \f(1,2)gt2
(2)整体法：将竖直上抛运动视为初速度为v0，加速度为－g的匀减速直线运动．取整个过程分析，选竖直向上为正方向，则有v＝v0－gt，h＝v0t－eq \f(1,2)gt2，v>0，上升阶段；v<0，下落阶段；h>0，在抛出点上方；h<0，在抛出点下方
重要特性
作出竖直上抛运动的过程图，如图所示，结合图象分析，可知
(1)对称性
①时间对称性：对同一段距离，上升过程和下降过程时间相等，tAB＝tBA，tO C＝tC O
②速度对称性：上升过程和下降过程通过同一点时速度大小相等，方向相反
(2)多解性：通过某一点对应两个时刻，即：物体可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段
典型物
理量
上升的最大高度：h＝eq \f(02－veq \\al(2,0),－2g)＝eq \f(veq \\al(2,0),2g)；上升时间：t＝eq \f(0－v0,－g)＝eq \f(v0,g)；在t＝eq \f(2v0,g)时刻，整个过程位移为零，即回到抛出点
核心素养聚焦
抛体运动的详解
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