2021年中考数学专题训练：反比例函数压轴题

2021年中考数学专题训练：反比例函数压轴题 1．已知：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，与x轴负半轴交于点D，OB＝，tan∠DOB＝．（1）求反比例函数的解析式；（2）当S△ACO＝S△OCD时，求点C的坐标．   2．如图1，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y＝（k＞0）的第一象限内的图象上，OA＝4，OC＝3，动点P在y轴的右侧，且满足S△PCO＝S矩形OABC．（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；（2）连接PO、PC，求PO+PC的最小值；（3）若点Q是平面内一点，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标． 3．教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（min）之间的关系如图所示，回答下列问题：（1）分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的函数关系式；（2）求出图中a的值；（3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他需要在什么时间段内接水？  4．如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，边CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD＝2．（1）点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；（2）若该反比例函数图象与DE交于点Q，求点Q的横坐标；（3）平移正六边形ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程． 5．工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8min时，材料温度降为600℃．如图，煅烧时温度y（℃）与时间x（min）成一次函数关系；锻造时，温度y（℃）与时间x（min）成反比例函数关系．已知该材料初始温度是32℃．（1）分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围；（2）根据工艺要求，当材料温度低于400℃时，须停止操作．那么锻造的操作时间最多有多长？（3）如果加工每个零件需要锻造12分钟，并且当材料温度低于400℃时，需要重新煅烧．通过计算说明加工第一个零件，一共需要多少分钟．  6．如图，在平面直角坐标系中，已知等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，点A（0，），B（1，0），点C在反比例函数y＝（k＞0）上．（1）求反比例函数的解析式．（2）将点B向上平移后落在反比例函数图象上的点记为点D，连结DA，DC，求△ACD的面积．7．如图，在直角坐标系中，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝（k≠0）分别相交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC＝3，tan∠ACO＝．（1）求y1，y2对应的函数表达式；（2）求△AOB的面积；（3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b＞的解集．  8．已知一次函数y1＝kx+n（n＜0）和反比例函数y2＝（m＞0，x＞0）．（1）如图1，若n＝﹣2，且函数y1、y2的图象都经过点A（3，4）．①求m，k的值；②直接写出当y1＞y2时x的范围；（2）如图2，过点P（1，0）作y轴的平行线l与函数y2的图象相交于点B，与反比例函数y3＝（x＞0）的图象相交于点C．①若k＝2，直线l与函数y1的图象相交点D．当点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等时，求m﹣n的值；②过点B作x轴的平行线与函数y1的图象相交于点E．当m﹣n的值取不大于1的任意实数时，点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值．求此时k的值及定值d．   9．已知在平面直角坐标系中，点A（m，n）在第一象限内，AB⊥OA且AB＝OA，反比例函数y＝的图象经过点A，（1）当点B的坐标为（4，0）时（如图），求这个反比例函数的解析式；（2）当点B在反比例函数y＝的图象上，且在点A的右侧时（如图2），用含字母m，n的代数式表示点B的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，求的值．    10．设函数y1＝，y2＝﹣（k＞0）．（1）当2≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣4，求a和k的值．（2）点A （1，3）在函数y1＝（k＞0）的图象上．当x≥﹣3时，求y1的取值范围．（3）设m≠0，且m≠﹣1，当x＝m时，y2＝p；当x＝m+1时，y2＝q．圆圆说：“p一定小于q”．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？
参考答案1．解：过点B、A作BM⊥x轴，AN⊥x轴，垂足为点M，N，（1）在Rt△BOM中，OB＝，tan∠DOB＝．∵BM＝1，OM＝2，∴点B（﹣2，﹣1），∴k＝（﹣2）×（﹣1）＝2，∴反比例函数的关系式为y＝；（2）∵S△ACO＝S△OCD，∴OD＝2AN，又∵△ANC∽△DOC，∴＝＝＝，设AN＝a，CN＝b，则OD＝2a，OC＝2b，∵S△OAN＝|k|＝1＝ON•AN＝×3b×a，∴ab＝①，由△BMD∽△CNA得，∴＝，即＝，也就是a＝②，由①②可求得b＝1，b＝﹣（舍去），∴OC＝2b＝2，∴点C（0，2）．2．解：（1）∵四边形OABC是矩形，OA＝4，OC＝3，∴点B的坐标为（4，3），∵点B在反比例函数y＝（k≠0）的第一象限内的图象上∴k＝12，∴y＝，设点P的纵坐标为m（m＞0），∵S△PCO＝S矩形OABC．∴•OC•m＝OA•OC，∴m＝3，当点，P在这个反比例函数图象上时，则P点的纵坐标为y＝＝4，∴点P的坐标为（3，4）；（2）过点（3，0），作直线l⊥x轴．由（1）知，点P的横坐标为3，∴点P在直线l上作点O关于直线l的对称点O′，则OO′＝6，连接CO′交直线l于点P，此时PO+PC的值最小，则PO+PC的最小值＝PO′+PC＝O′C＝．（3）分两种情况：①如图2中，当四边形CBQP是菱形时，易知BC＝CP＝PQ＝BQ＝4，P1（3，3﹣），P2（3，3+），∴Q1（7，3﹣），Q2（7，3+）；．②如图3中，当四边形CBPQ是菱形时，P3（3，3﹣），P4（3，3+），∴Q3（﹣1，3﹣），Q4（﹣1，3+）．综上所述，点Q的坐标为Q1（7，3﹣），Q2（7，3+），Q3（﹣1，3﹣），Q4（﹣1，3+）．3．解：（1）当0≤x≤8时，设y＝k1x+b，将（0，20），（8，100）的坐标分别代入y＝k1x+b得，解得k1＝10，b＝20．∴当0≤x≤8时，y＝10x+20．当8＜x≤a时，设y＝，将（8，100）的坐标代入y＝，得k2＝800∴当8＜x≤a时，y＝．综上，当0≤x≤8时，y＝10x+20；当8＜x≤a时，y＝； （2）将y＝20代入y＝，解得x＝40，即a＝40； （3）当y＝40时，x＝＝20．∴要想喝到不低于40℃的开水，x需满足8≤x≤20，即李老师要在7：38到7：50之间接水．4．解：（1）过点P作x轴垂线PG，连接BP，∵P是正六边形ABCDEF的对称中心，CD＝2，∴BP＝2，G是CD的中点，∴PG＝，∴P（2，），∵P在反比例函数y＝上，∴k＝2，∴y＝，由正六边形的性质，A（1，2），∴点A在反比例函数图象上；（2）D（3，0），E（4，），设DE的解析式为y＝mx+b，∴，∴，∴y＝x﹣3，联立方程解得x＝，∴Q点横坐标为；（3）A（1，2），B（0，），C（1，0），D（3，0），E（4，），F（3，2），设正六边形向左平移m个单位，向上平移n个单位，则平移后点的坐标分别为∴A（1﹣m，2+n），B（﹣m，+n），C（1﹣m，n），D（3﹣m，n），E（4﹣m，+n），F（3﹣m，2+n），①将正六边形向左平移两个单位后，E（2，），F（1，2）；则点E与F都在反比例函数图象上；②将正六边形向右平移一个单位，再向上平移个单位后，C（2，），B（1，2）则点B与C都在反比例函数图象上；5．解：（1）材料锻造时，设y＝（k≠0），由题意得600＝，解得k＝4800，当y＝800时，＝800，解得x＝6，∴点B的坐标为（6，800）材料煅烧时，设y＝ax+32（a≠0），由题意得800＝6a+32，解得a＝128，∴材料煅烧时，y与x的函数关系式为y＝128x+32（0≤x≤6）．∴锻造操作时y与x的函数关系式为y＝（x＞6）； （2）把y＝400代入y＝中，得x＝12，12﹣6＝6（分），答：锻造的操作时间6分钟；（3）当y＝800时，即 ＝800，∴x＝6，从400升到800需要min，再加上两次6分钟的锻造，一共是min，∴锻造每个零件需要煅烧两次共12分钟，∴加工第一个零件一共需要min．6．解：（1）如图，过点C作CF⊥y轴于点F．∵∠BAC＝90°，∴∠OAB+∠CAF＝90°，又∵∠OAB+∠ABO＝90°，∴∠CAF＝∠ABO．在△CAF与△ABO中，，∴△CAF≌△ABO（AAS），∴CF＝AO＝，AF＝BO＝1，∴OF＝OC+CF＝1+2＝3，∴点C的坐标为（，1+），点C在反比例函数y＝（k＞0）上．∴k＝（1+）＝+3，∴反比例函数解析式为y＝；（2）作DH⊥y轴于H，根据题意D（1，+3），∴FH＝+3﹣（1+）＝2，AH＝3，DH＝1，S△ACD＝S梯形CDHF+S△ACF﹣S△ADH＝（1+）×2+×﹣＝．7．解：（1）设直线y1＝ax+b与y轴交于点D，在Rt△OCD中，OC＝3，tan∠ACO＝．∴OD＝2，即点D（0，2），把点D（0，2），C（3，0）代入直线y1＝ax+b得，b＝2，3a+b＝0，解得，a＝﹣，∴直线的关系式为y1＝﹣x+2；把A（m，4），B（6，n）代入y1＝﹣x+2得，m＝﹣3，n＝﹣2，∴A（﹣3，4），B（6，﹣2），∴k＝﹣3×4＝﹣12，∴反比例函数的关系式为y2＝﹣，因此y1＝﹣x+2，y2＝﹣；（2）由S△AOB＝S△AOC+S△BOC，＝×3×4+×3×2，＝9．（3）由图象可知，当x＜0时，不等式ax+b＞的解集为x＜﹣3．8．解：（1）①将点A的坐标代入一次函数表达式并解得：k＝2，将点A的坐标代入反比例函数得：m＝3×4＝12；②由图象可以看出x＞3时，y1＞y2；（2）①当x＝1时，点D、B、C的坐标分别为（1，2+n）、（1，m）、（1，n），当B为中点时，则BD＝BC，即2+n﹣m＝m﹣2，则 m﹣n＝1；当D为中点时，则 DB＝DC，即m﹣（2+n）＝2+n﹣n，故m﹣n＝4，当C为中点时，则 CB＝CD，即m﹣n＝n﹣（2+n），则 m﹣n＝﹣2 （不符合题意舍去），∴m﹣n＝1或4．②点E的横坐标为：，当点E在点B左侧时，d＝BC+BE＝m﹣n+（1﹣）＝1+（m﹣n）（1﹣），m﹣n的值取不大于1的任意数时，d始终是一个定值，当1﹣＝0时，此时k＝1，从而d＝1．当点E在点B右侧时，同理BC+BE＝（m﹣n）（1+）﹣1，当1+＝0，k＝﹣1时，（不合题意舍去）故k＝1，d＝1．9．解：（1）过A作AC⊥OB，交x轴于点C，∵OA＝AB，∠OAB＝90°，∴△AOB为等腰直角三角形，∴AC＝OC＝BC＝OB＝2，∴A（2，2），将x＝2，y＝2代入反比例解析式得：2＝，即k＝4，则反比例解析式为y＝； （2）过A作AE⊥x轴，过B作BD⊥AE，∵∠OAB＝90°，∴∠OAE+∠BAD＝90°，∵∠AOE+∠OAE＝90°，∴∠BAD＝∠AOE，在△AOE和△BAD中，，∴△AOE≌△BAD（AAS），∴AE＝BD＝n，OE＝AD＝m，∴DE＝AE﹣AD＝n﹣m，OE+BD＝m+n，则B（m+n，n﹣m）； （3）由A与B都在反比例图象上，得到mn＝（m+n）（n﹣m），整理得：n2﹣m2＝mn，即（）2+﹣1＝0，这里a＝1，b＝1，c＝﹣1，∵△＝1+4＝5，∴＝，∵A（m，n）在第一象限，∴m＞0，n＞0，则＝，∴＝．10．解：（1）∵k＞0，2≤x≤3，∴y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大，∴当x＝2时，y1最大值为＝a，①；当x＝2时，y2最小值为﹣＝a﹣4，②；由①，②得：a＝2，k＝4； （2）∵点A （1，3）在函数y1＝（k＞0）的图象上．∴k＝1×3＝3，∴y1＝，当x＝﹣3时，y1＝＝﹣1，∴根据反比例函数的性质，当x≥﹣3时，y1＞0 或 y1≤﹣1； （3）圆圆的说法不正确，理由如下：设m＝m0，且﹣1＜m0＜0，则m0＜0，m0+1＞0，∴当x＝m0时，p＝y2＝﹣＞0，当x＝m0+1时，q＝y1＝﹣＜0，∴p＞0＞q．∴圆圆的说法不正确．（直接举反例也可，如m＝﹣）．