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    2021版新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习(课件+学案)第07章 阅读与欣赏(六) 解决数列问题的七大常用技巧

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    2021版新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习(课件+学案)第07章 阅读与欣赏(六) 解决数列问题的七大常用技巧

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    解决数列问题的七大常用技巧技巧一 巧用性质减少运算等差数列、等比数列的通项公式与求和公式中均涉及多个量解题中可以不必求出每个量从整体上使用公式. (1)等比数列{an}已知a1a38a5a74a9a11a13a15的值为(  )A1          B2C3  D5(2)设等差数列{an}的前n项和为SnS6S7S5则满足SkSk10的正整数k__________[点拨] (1)可直接把a1a3看作一个整体利用等比数列的性质求解公比然后代入即可;也可直接将已知转化为首项和公比所满足的方程求出公比后再求和.(2)利用等差数列的前n项和的性质.解析】 (1)法一:因为{an}为等比数列所以a5a7a1a3a9a11的等比中项所以(a5a7)2(a1a3)·(a9a11)a9a112.同理a9a11a5a7a13a15的等比中项所以(a9a11)2(a5a7)(a13a15)a13a151.所以a9a11a13a15213.法二:设等比数列{an}的公比为qa5a1q4a7a3q4所以q4.a9a11a1q8a3q8(a1a3)q88×2a13a15a1q12a3q12(a1a3)q128×1所以a9a11a13a15213.(2)依题意得a6S6S50a7S7S60a6a7S7S50S1111a60S120S1313a70所以S12S130即满足SkSk10的正整数k12.答案】 (1)C (2)12技巧二 巧用升降角标法实现转化在含有anSn对任意正整数n恒成立的等式中可以通过升降角标的方法再得出一个等式通过两式相减得出数列递推式再根据递推式求得数列的通项公式和解决其他问题.Sn是数列{an}的前n项和已知a13an12Sn3(nN*).求数列{an}的通项公式.】 n2an12Sn3an2Sn13两式相减an1an2Sn2Sn12an所以an13an所以3.n1a13a22S132a1393.所以数列{an}是以3为首项3为公比的等比数列.所以an3×3n13n.技巧三 巧用不完全归纳找规律解数列问题时要注意归纳推理的应用通过数列前面若干项满足的规律推出其一般性规律. 在数列{an}已知a11an1(1)nancos[(n1)π]Sn为数列{an}的前n项和S2 018__________[点拨] 根据递推式计算数列的前面若干项发现规律然后求S2 018的值.解析】 a11an1(1)nancos [(n1)π]a2a1cos 2π112a3=-a2cos 3π=-21=-3a4a3cos 4π=-31=-2a5=-a4cos 5π211由此可知数列{an}是以4为周期的周期数列a1a2a3a4=-2所以S2 018504(a1a2a3a4)a2 017a2 018504×(2)a1a2=-1 005.答案】 -1 005技巧四 巧用辅助数列求通项已知数列的递推式求数列的通项公式时,基本思想就是通过变换递推式把其转化为等差数列、等比数列(辅助数列),求出辅助数列的通项,再通过变换求出原数列的通项公式.(1)当出现anan1m(n2)构造等差数列;(2)当出现anxan1y(n2)构造等比数列. (1)设数列{an}满足a12an14an3×2n1求数列{an}的通项公式.(2)已知数列{an}a11an1(nN*)求数列{an}的通项公式.】 (1)an14an3×2n13bnbn12bn3bn1t2(bnt)所以2tt3解得t3所以bn132(bn3)所以2b133134所以数列{bn3}是以4为首项2为公比的等比数列所以bn34×2n12n1所以bn2n13所以anbn·2n(2n13)×2n22n13×2n.(2)因为an1(nN*)所以1t3所以3tt1解得t所以31所以数列是以为首项3为公比的等比数列所以×3n1所以an.技巧五 巧用裂项求和裂项相消法是数列求和的基本方法之一在通项为分式的情况下注意尝试裂项裂项的基本原则是anf(n)f(n1) 已知数列{an}的前n项和为Sna13,若数列{Sn1}是公比为4的等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)bnnN*求数列{bn}的前n项和Tn.[点拨] (1)先求Sn再利用anSnSn1(n2)an(2)通项分解为两项的差再消项求和.】 (1)由题意知Sn1(S11)·4n14n所以Sn4n1n2anSnSn13·4n1a13满足上式所以数列{an}的通项公式为an3·4n1.(2)bn所以Tnb1b2bn×××.技巧六 巧用分组妙求和分组求和方法是分类与整合思想在数列求和问题中的具体体现其基本特点是把求和目标分成若干部分先求出部分和再整合部分和的结果得出整体和. 若数列{an}的通项公式为an22n1bn(1)n1×则数列{bn}的前n项和Tn____________解析】 由题意得bn(1)n1(1)n1(1)n1n为偶数时Tnn为奇数时Tn所以Tn(1)n.答案】 (1)n技巧七 巧用特值验算保准确使用错位相减法求和的方法学生都能够掌握但求解的结果容易出现错误应该在求出结果后使用a1S1进行检验,如果出现a1S1则说明运算结果一定错误这时可以检查解题过程找出错误、矫正运算结果. 已知数列{an}的通项公式为an则其前n项和Sn__________解析】 Sn2Sn2两式相减得Sn2Sn25.答案】 5

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