2021版新高考地区高考数学（人教版）大一轮复习（课件+学案+高效演练分层突破）第07章 第3讲　等比数列及其前n项和

[基础题组练]

1．(2020·广东六校第一次联考)等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝(　　)

A．16　　　　　　　　 B．15

C．8  D．7

解析：选B．设公比为q，由题意得4a2＝4a1＋a3，即4a1q＝4a1＋a1q2，又a1≠0，所以4q＝4＋q2，解得q＝2，所以S4＝＝15，故选B．

2．(2020·辽宁五校联考)各项为正数的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7＋log2a11的值为(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选C．由题意得a4a14＝(2)2＝8，由等比数列的性质，得a4a14＝a7a11＝8，所以log2a7＋log2a11＝log2(a7a11)＝log28＝3，故选C．

3．(多选)设等比数列{an}的公比为q，则下列结论正确的是(　　)

A．数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列

B．数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列

C．数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列

D．数列是公比为的等比数列

解析：选AD．对于A，由＝q2(n≥2)知数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列；对于B，当q＝－1时，数列{an＋an＋1}的项中有0，不是等比数列；对于C，若q＝1时，数列{an－an＋1}的项中有0，不是等比数列；对于D，＝＝，所以数列是公比为的等比数列，故选AD．

4．(2020·长春市质量监测(一))已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若公比q＝2，则＝(　　)

A．  B．

C．  D．

解析：选A．法一：由题意知a1＋a3＋a5＝a1(1＋22＋24)＝21a1，而S6＝＝63a1，所以＝＝，故选A．

法二：由题意知S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝a1＋a3＋a5＋(a2＋a4＋a6)＝a1＋a3＋a5＋2(a1＋a3＋a5)＝3(a1＋a3＋a5)，故＝，故选A．

5．(应用型)(2020·宁夏中卫一模)中国古代数学著作《算法统宗》中有这一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为(　　)

A．24里  B．12里

C．6里  D．3里

解析：选C．记该人每天走的路程里数为{an}，可知{an}是公比q＝的等比数列，

由S6＝378，得S6＝＝378，解得a1＝192，

所以a6＝192×＝6，故选C．

6．(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝，a＝a6，则S5＝________．

解析：通解：设等比数列{an}的公比为q，因为a＝a6，所以(a1q3)2＝a1q5，所以a1q＝1，又a1＝，所以q＝3，所以S5＝＝＝.

优解：设等比数列{an}的公比为q，因为a＝a6，所以a2a6＝a6，所以a2＝1，又a1＝，所以q＝3，所以S5＝＝＝.

答案：

7．(2020·陕西第二次质量检测)公比为的等比数列{an}的各项都是正数，且a2a12＝16，则log2a15＝________．

解析：等比数列{an}的各项都是正数，且公比为，a2a12＝16，

所以a1qa1q11＝16，即aq12＝16，

所以a1q6＝22，所以a15＝a1q14＝a1q6(q2)4＝26，则log2a15＝log226＝6.

答案：6

8．已知{an}是递减的等比数列，且a2＝2，a1＋a3＝5，则{an}的通项公式为________；a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)＝________．

解析：由a2＝2，a1＋a3＝5，{an}是递减的等比数列，得a1＝4，a3＝1，an＝4×，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1是首项为8，公比为的等比数列的前n项和．故a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝8＋2＋＋…＋8×＝＝×.

答案：an＝4×　×

9．(2018·高考全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.

(1)求{an}的通项公式；

(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.

解：(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.

由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.

故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.

(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝.

由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．

若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.

综上，m＝6.

10．(2020·昆明市诊断测试)已知数列{an}是等比数列，公比q＜1，前n项和为Sn，若a2＝2，S3＝7.

(1)求{an}的通项公式；

(2)设m∈Z，若Sn＜m恒成立，求m的最小值．

解：(1)由a2＝2，S3＝7得

解得或(舍去)

所以an＝4·＝.

(2)由(1)可知，Sn＝＝＝8＜8.

因为an＞0，所以Sn单调递增．

又S3＝7，所以当n≥4时，Sn∈(7，8)．

又Sn＜m恒成立，m∈Z，所以m的最小值为8.

[综合题组练]

1．(多选)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn.前n项积为Tn，并且满足条件a1＞1，a7·a8＞1，＜0.则下列结论正确的是(　　)

A．0＜q＜1  B．a7·a9＞1

C．Sn的最大值为S9  D．Tn的最大值为T7

解析：选AD．因为a1＞1，a7·a8＞1，＜0，所以a7＞1，a8＜1，所以0＜q＜1，故A正确；a7a9＝a＜1，故B错误；因为a1＞1，0＜q＜1，所以数列为递减数列，所以Sn无最大值，故C错误；又a7＞1，a8＜1，所以T7是数列{Tn}中的最大项，故D正确．故选AD．

2．(2020·河南郑州三测)已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝1，an＋1－an＝＝3，n∈N*，则数列{ban}的前10项和为(　　)

A．×(310－1)  B．×(910－1)

C．×(279－1)  D．×(2710－1)

解析：选D．因为an＋1－an＝＝3，

所以{an}为等差数列，公差为3，{bn}为等比数列，公比为3，所以an＝1＋3(n－1)＝3n－2，bn＝1×3n－1＝3n－1，

所以ban＝33n－3＝27n－1，所以{ban}是以1为首项，27为公比的等比数列，所以{ban}的前10项和为＝×(2710－1)，故选D．

3．已知数列{an}满足a1＝2且对任意的m，n∈N*，都有＝an，则数列{an}的前n项和Sn＝________．

解析：因为＝an，

令m＝1，则＝an，即＝a1＝2，

所以{an}是首项a1＝2，公比q＝2的等比数列，

Sn＝＝2n＋1－2.

答案：2n＋1－2

4．(综合型)(2020·安徽合肥等六校联考)已知等比数列{an}的首项为，公比为－，前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，都有A≤2Sn－≤B恒成立，则B－A的最小值为______．

解析：因为等比数列{an}的首项为，公比为－，所以Sn＝＝1－.令t＝，则－≤t≤，Sn＝1－t，所以≤Sn≤，所以2Sn－的最小值为，最大值为.又因为A≤2Sn－≤B对任意n∈N*恒成立，所以B－A的最小值为－＝.

答案：

5．(2020·山西长治二模)Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q＞0.

(1)求an及Sn；

(2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

解：(1)由题意可得解得a1＝1，q＝3，

所以an＝3n－1，Sn＝＝.

(2)假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列，

因为S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13，

所以(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝，此时Sn＋＝×3n，则＝3，

故存在常数λ＝，使得数列是等比数列．

6．已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝，记T2n为{an}的前2n项的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*.

(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn；

(2)求T2n.

解：(1)因为an·an＋1＝，

所以an＋1·an＋2＝，

所以＝，

即an＋2＝an.

因为bn＝a2n＋a2n－1，

所以＝＝＝，

因为a1＝1，a1·a2＝，

所以a2＝，所以b1＝a1＋a2＝.

所以{bn}是首项为，公比为的等比数列．

所以bn＝×＝.

(2)由(1)可知，an＋2＝an，

所以a1，a3，a5，…是以a1＝1为首项，以为公比的等比数列；a2，a4，a6，…是以a2＝为首项，以为公比的等比数列，

所以T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)

＝＋＝3－.