四年级思维专项训练20 图形最值 (试卷+解析)

第20讲   图形最值

1、平面上有四个点，任意三个点都不在一条直线上，以这四个点为端点连接六条线段，在所组成的图形中，最少可以形成         三角形。

A、3           B、4           C、6            D、8

2、牧羊人用15段每段长2米的篱笆，一面靠墙围成一个正方形或长方形羊圈，则羊圈的最大面积是        平方米。

A.100         B.108          C.112         D.122

3、小虎在19x19的围棋盘的格点上摆棋子，先摆了个长方形的实心点阵，后加上了45枚棋子，就正好摆成了一边不变的，较大的实心点阵。那么小虎最多用了       枚棋子。

4、把长90厘米宽42厘米的长方形铁片剪成长是整厘米数，面积都相等的正方形铁片，恰好无剩余，则至少剪     块，这种剪法剪成的所有正方形的周长之和是      厘米。

5、乐乐把一些小正方形和等腰直角三角形不重叠地放在边长是7厘米的大正方形盒子的底层。如果小正方形的边长都是2厘米，等腰直角三角形的斜边上都是3厘米，那么两种图形他最多可以各放进      对。

6、如图所示，某小区花园的道路一个长为480米，宽为200米的长方形；一个边长为260米的棱形和十字交叉的两条道路组成，一天，王大爷A处进入花园，走遍花园的所有道路并从A处离开，如果他每分钟走60米，那么他从进入花园道走出花园最少要用      分．

7、有100个棱长为1厘米的正方体木块，表面均为白色，还有25个棱长为1厘米的正方体木块，表面均为蓝色．将这125个正方体木块粘在一起，形成一个大正方体．大正方体的表面为白色的面积至少是平方厘米．

8、如图1，在“8×8”的方格中放棋子，每格至多放1枚棋子．若要求8行、8列、30条斜线（如图2所示）上的棋子数均为偶数．那么“8×8”的方格中最多可以放          枚棋子．

9、用7个长4厘米，宽3厘米的长方形拼成一个新的长方形，周长最小值是       。

10、如图，6段绳子相互连接．现在要在绳子的某处点火，如果火每分钟燃烧的距离是1，那么至少需要             分钟才能烧光这些绳子．

11、一个长方形被分成4个小长方形,其中长方形A、B、C的周长分别是10,12,14厘米，那么长方形D的面积最大是     。

12、如图中的一个长方形纸板每个角都被切掉了一个小长方形（含正方形），如果被切掉的小长方形的8对对边的长度分别是一个1，四个2，两个3和一个4，那么纸板剩下的部分的面积最大是多少？

13、如图的部件A、B、C、D、E分别都是由4个1×1的小正方形拼成，它们的单价依次为5元、4元、3元、2元、1元．现请你选择一种部件，用4个这种部件拼成一个4×4的大正方形，并使得购买部件的花费尽可能的少．最少花         元．请将你的拼接方案画在图中（部件可旋转翻转）．

14、如图，一个长方形被分成A、B、C三块，其中B和C都是长方形，A的八条边的边长分别是1、2、3、4、5、6、7、8厘米．那么B和C的面积和最多是平方厘米．（示意图不成比例）

第二十讲  图形最值

1、平面上有四个点，任意三个点都不在一条直线上，以这四个点为端点连接六条线段，在所组成的图形中，最少可以形成         三角形。

A、3           B、4           C、6            D、8

【答案】B

【分析】最少4个，如下图

2、牧羊人用15段每段长2米的篱笆，一面靠墙围成一个正方形或长方形羊圈，则羊圈的最大面积是        平方米。

A.100         B.108          C.112         D.122

【答案】C

【分析】一定要注意每条篱笆是横着放的，这时设和墙相邻的两边都有n根篱笆，和墙相对的还有15—2n根篱笆，每根篱笆长度为2，所以长方形的周长, 最大时，2n和15-2n和同差小积大。当2n与15-2n越接近时，面积越大，n=4.

此时长方形2n=8,另一边长（15-2n）×2=14，面积是112.

3、小虎在19x19的围棋盘的格点上摆棋子，先摆了个长方形的实心点阵，后加上了45枚棋子，就正好摆成了一边不变的，较大的实心点阵。那么小虎最多用了       枚棋子。

【答案】285

【分析】新摆成的的实点矩阵，它行列必然都是45的约数，他的约数是1,3,5,9,15,45，因为在19×19的方格中，约数必然小于19，只可能是3,15,5,9，那么经验证当横着摆时，45个棋子列成3排，每一排15个，那么补足以后，不变的那条边就是15，那么怎样使长方形较大，原来的实心矩阵，另一边是16，故用了

4、把长90厘米宽42厘米的长方形铁片剪成长是整厘米数，面积都相等的正方形铁片，恰好无剩余，则至少剪     块，这种剪法剪成的所有正方形的周长之和是       厘米。

【答案】105；  2520

【分析】90和42的最大公约数是6，也就是剪成的小正方形的边长是6厘米，
那么长可剪的块数：90÷6=15（块），
宽可剪的排数：42÷6=7（排），
一共剪的块数：15×7=105（块）；

周长和：105×4×6=2520

5、乐乐把一些小正方形和等腰直角三角形不重叠地放在边长是7厘米的大正方形盒子的底层。如果小正方形的边长都是2厘米，等腰直角三角形的斜边上都是3厘米，那么两种图形他最多可以各放进      对。

【答案】7

【分析】边长是7厘米的正方形盒子的面积是49平方厘米，而一个边长为2厘米的正方形和一个斜边长是3厘米的等腰直角三角形的面积之和为2×2+3×3÷4=4+2.25=6.25,由于49÷6.25=7.84,所以放不下8对，理论上最多放7对，下面通过构造说明7对可以放进去的，如下图所示，正方形7个，三角形8个

6、如图所示，某小区花园的道路一个长为480米，宽为200米的长方形；一个边长为260米的棱形和十字交叉的两条道路组成，一天，王大爷A处进入花园，走遍花园的所有道路并从A处离开，如果他每分钟走60米，那么他从进入花园道走出花园最少要用      分．

【答案】60

【分析】最少要走（480+200）×3+260×（4+2）=3600米．
最少需要3600÷60=60分钟．

7、有100个棱长为1厘米的正方体木块，表面均为白色，还有25个棱长为1厘米的正方体木块，表面均为蓝色．将这125个正方体木块粘在一起，形成一个大正方体．大正方体的表面为白色的面积至少是平方厘米．

【答案】92

【分析】要使蓝色露在表面的面积和最大：首先把8个蓝色小正方体放在组成的大正方体的顶点上，再把剩下的17个放在组成的大正方体的棱上（棱上可以放3×8=24个）；
这样露在表面的蓝色面积和最大，为：1×1×3×8+1×1×2×17=58（平方厘米）；
白色的面积为：5×5×6-58=92（平方厘米）；

8、如图1，在“8×8”的方格中放棋子，每格至多放1枚棋子．若要求8行、8列、30条斜线（如图2所示）上的棋子数均为偶数．那么“8×8”的方格中最多可以放          枚棋子．

【答案】48

【分析】由上图：观察向左下倾斜的15条斜线，其中的方格数依次是1、2、3、…、7、8、7、…、3、2、1，其中有8个奇数，表明有8条斜线中必须至少缺1个棋子．同理右下倾斜的斜线中，也有8条斜线必须至少缺1个棋子．这样总共至少缺16个棋子．所以最多放8×8-16=48（个）．

9、用7个长4厘米，宽3厘米的长方形拼成一个新的长方形，周长最小值是        。

【答案】38

【分析】几何问题，可动手操作

要使长方形周长最小，应使7个小长方形有尽可能多的边重合，只有如下3种摆法：

经计算，所有拼法中图3周长值最小，最小值为38厘米

10、如图，6段绳子相互连接．现在要在绳子的某处点火，如果火每分钟燃烧的距离是1，那么至少需要             分钟才能烧光这些绳子．

【答案】9

【分析】最长的一条线段是8，最少需要8分钟，但是与它连在一起的4+6=10，在8分钟内不能烧完，所以可以用9分钟，因为（8+4+6）÷2=9，所以在长度为4的线段上，靠近线段8，距离是1的地方点燃即可

11、一个长方形被分成4个小长方形,其中长方形A、B、C的周长分别是10,12,14厘米，那么长方形D的面积最大是     。

【答案】16

【分析】令四边长分别为a，b，c，d，如下图

则有a+c=5，a+d=6，b+c=7推出b+d=8

则bd乘积的最大值为16

12、如图中的一个长方形纸板每个角都被切掉了一个小长方形（含正方形），如果被切掉的小长方形的8对对边的长度分别是一个1，四个2，两个3和一个4，那么纸板剩下的部分的面积最大是多少？

[

【答案】112

【分析】原来长方形纸板的面积是：12×11=132，为定值，要使纸板剩下的部分的面积最大，则必须使切掉的四个小长方形的面积之和最小，显然应该用1和4配对，然后用两个2 和两个3分别配对，最后是两个2配对，被切掉的4个小长方形的面积分别是：4、6、6、4，这时切掉的四个小长方形的面积之和最小，于是即可求出纸板剩下的最大面积．

切掉的四个小长方形的面积分别为：1×4=4，2×2=4，2×3=6，2×3=6，
原来纸板的面积：12×11=132，
切掉的四个小长方形的面积之和：4+4+6+6=20，
纸板剩下的最大面积：132-20=112；

13、如图的部件A、B、C、D、E分别都是由4个1×1的小正方形拼成，它们的单价依次为5元、4元、3元、2元、1元．现请你选择一种部件，用4个这种部件拼成一个4×4的大正方形，并使得购买部件的花费尽可能的少．最少花         元．请将你的拼接方案画在图中（部件可旋转翻转）．

【答案】8

【分析】用4个部件A或4个部件B或4个部件C都能拼成一个4×4的大正方形，花费都较多；
用4个部件E不能拼成一个4×4的大正方形；
用四个部件D可拼成一个4×4的大正方形，拼法如下图：
共花：2×4=8（元）；

14、如图，一个长方形被分成A、B、C三块，其中B和C都是长方形，A的八条边的边长分别是1、2、3、4、5、6、7、8厘米．那么B和C的面积和最多是平方厘米．（示意图不成比例）

【答案】36

【分析】由题意知如图，

可知：a=b+c+d，e=f+h-g；
满足第一条等式的有：
6=1+2+3，剩下4、5、7、8，凑出8=5+7-4；
7=1+2+4，剩下3、5、6、8，凑出8=6+5-3；
8=1+2+5，剩下3、4、6、7，凑出7=6+4-3；
8=1+3+4，剩下2、5、6、7，无法凑；
所以长方形长宽有（6、8）（7、8）（8、7）三种情况；
B和C的面积和越大，A的面积越小；
对于于每一种情况在横方向线段长度已经确定的情况下，竖直线段一定是c＞b＞d的时候A的面积最小；
在竖方向线段长度确定的情况下，横方向一定是f＞h的情况面积最小；
依次计算各部分的B和C面积：
1、（3+2）×7-2×4=27（平方厘米）；
2、（2+4）×6-2×3=30（平方厘米）；
3、（5+2）×6-2×3=36（平方厘米）；
所以最多有36平方厘米．