六年级思维专项训练21 构造型问题(原卷+解析)

六年级思维训练21   构造型问题

1. 如右图所示，一个正方体的12条棱分别被染成红色和蓝色，每个面至少要有一条边是红色的，最少有           条边是红色的。

   A. 6                 B.  5               C.  4             D.  3

2. 在阿简所拥有的枝条中，有九根为一厘米长，六根为2厘米长及三根为4厘米长。已知阿简必须用尽所有的枝条，问：她能造多少个长方形？

  （1） 无法造            （2） 一个                （3） 两个       

  （4） 三个              （5） 以上各项皆否

3.  在1、2、3、4、…、2002、2003这2003个自然数中，

  （1）最多可以取出多少个数，使得其中任意两个数的和都是160的倍数？

  （2）写出你所取的所有数。

4.  一版邮票有20行20列，共400张，称由3张同一行或同一列相连的邮票组成的叫“三联”，他能最多剪         块。

5.  如下图所示，将1,2,3，…，8分别放在正方体的8个顶点上，使得每一个面上的任意3个数的和都不大于17，这时每一个面上4个数的和最大是            ，并且填出一种放法。

6.  阿凡达有一个出了故障的计算器，当打开电源时，视窗上显示数字0.如果按下“＋”键则它会加上51；按下“一”键则它会减去51；按下“×”键则它会加上85；按下“÷”键则它会减去85；而其他的按键则无效。阿凡达打开计算器电源，任意操作上述按键，那么他可以得到最接近2010的数是             。

7.  已知AB为圆O的直径、P为园外一点，如下图所示。证明PA＋PB＞2PO。

8.  有一张纸条上写有16个1.3和18个1.23，划去其中一些数，使留下来的数的总和为19.96，应当划去          个1.3和           1.23。

9.  某国家的通用硬币有50元、20元、10元、5元、1元等五种。小李宣称无论别人拿100元、50元、20元、10元或5元来向他换零钱，他都无法用口袋里的零钱办到（同样的硬币换同样的硬币不算更换）。请问小李口袋里的硬币至多有多少元？

10.  已知自然数n具有如下性质：

   （1） 它的每一位数字都是1,2,3中某一个；

   （2） 从自然数n中任意截取相邻的两位，可以得到一个两位数。在所有截取出的两位数中，任意两个数都互不相同。

   请问所有满足条件的自然数n最多可能有几位？请证明你的结论。

11.  如下图所示，每个小正方形的边是一根火柴棒，图中共有        根火柴棒，共有            个正方形，至少去掉         根火柴棒，才能破坏掉所有的正方形。

12. 将1、2、3、4、5、6写在一圆圈周上，然后把圆周上连续三个数之和写下，则可得到六个数a1、a2、a3、a4、a5、a6，将这六个数中最大值记为A。请问在所有填写方式中，A的最小值是什么？

13.  将编号为1到1000的瓶子依次排在一个圆上。从1号瓶子开始放入一颗糖果，接着每间隔14个瓶子后，在下一个瓶子内再放入一颗糖，因此在1、16、31、…号瓶内放入糖。当在991号瓶放入糖后，下次放入糖的瓶子为6号，并继续每间隔14个瓶子后，在下一个瓶子内再放入一颗糖。依此方式一直操作下去，直到再也无法于没有放糖的瓶子内放入糖为止。请问最后这个圆上共有多少个瓶子没有糖？

14.  有3部卡片打印机。第一部能根据原有卡片上的号码（a，b），打印一张号码为（a＋1，b＋1）的卡片；第二部则当原号码（a，b）中a和b二数皆为偶数时，打印一张号码为（，）的卡片；第三部根据两张号码分别为（a，b）和（b，c）的卡片，打印一张号码为（a，c）的卡片。打印过后，原有卡片和新卡片全部归顾客所得，试问：能否利用这三部打印机，由一张卡片为（4，11）的卡片。

   （1）得到号码为（1，22）的卡片？

   （2）得到号码为（411，2004）的卡片？

 若能，请给出一种打印方法；如不能，请说明理由。

15.  8支足球队参加一次足球联赛，要求任何两支球队都要进行一场比赛，并且规定：每场比赛获胜可以得2分，打平可以得1分，输了则只能得到0分。若一支球队要确保进入前3名（也就是它的得分至少比5支球队高），至少应该积         分。

16.  今有长度分别为1厘米、2厘米、3厘米、…、9厘米长的木棍各一根（规定不许折断），从中选用若干根组成正方形，可有            种不同方法。

17.  下图是一张纸片上标注了相应线段的长度，请将它剪成三块，然后拼成一个大正方形。

18. 将1、2、3、…、16等十六个数分成二组，每组8个数，使得每一组中任两个数之和（共有28个和）都可以等于另一组中两个数的和。请任写出其中一组的数。

19.  在9×9的方格表的每个小方格中都有1只甲虫。听到哨声后，每一只甲虫都沿对角线方向迁移到一个相邻方格中（如右图所示）。这样一来，有些方格中就可能有好几只甲虫，而另一些方格中则没有甲虫。求没有甲虫的空格的最小可能个数。

20. 如下图所示，字母A、B、C、D、E、F、G、H所代表的顶点分别代表1,2,3,4,5,6,7,8这八个数字中的一个，将每条线段上都写上该线段的两个端点字母所代表的数字之和，设这12条线段上最多能出现m个不同的和数，最少能出现n个不同的和数，那么m＋n＝？

21.  请在10厘米×10厘米的正方形四个边上的每一个点都涂上红、蓝、黑三种颜色的一种，使得任两个距离恰为10厘米的点所涂上的颜色互不相同。（每个交界点或每条线段必须正确标明颜色才算全对）

22.  沿某条直线将一块1000边形（不一定是凸的）的厚纸板切割一次，将它分成了若干个新多边形，问其中最多有多少个三角形？

六年级思维训练21   构造型问题

参考答案

1. 如右图所示，一个正方体的12条棱分别被染成红色和蓝色，每个面至少要有一条边是红色的，最少有           条边是红色的。

   A. 6                 B.  5               C.  4             D.  3

【答案】：D

【分析】：长、宽、高各选一条染红色，且被染成红色的长、宽、高均不在同一平面即可。

2. 在阿简所拥有的枝条中，有九根为一厘米长，六根为2厘米长及三根为4厘米长。已知阿简必须用尽所有的枝条，问：她能造多少个长方形？

  （1） 无法造            （2） 一个                （3） 两个       

  （4） 三个              （5） 以上各项皆否

【答案】：（1）

【分析】：长方形的长为a，宽为b，那么长方形的周长为2a＋2b，一定是2的倍数，但是该题中要求用尽所有的枝条，所有枝条的长度和为9×1＋6×2＋3×4＝33（厘米），是奇数，所以矛盾，无法造。

3. 在1、2、3、4、…、2002、2003这2003个自然数中，

  （1）最多可以取出多少个数，使得其中任意两个数的和都是160的倍数？

  （2）写出你所取的所有数。

【答案】：（1）13

        （2）80， 240， 400， 560， 720， 880， 1040， 1200， 1360， 1520， 1680， 1840， 2000

【分析】：因为选出的数中任意两个数的和都是160的倍数，那么有两种情况，第一种：这些数都是160的倍数，第二种：这些数除以160的余数都是80.从1--2003之间，满足第一种情况的数共有[]＝12（个）。满足第二种情况的数共有13个，所以最多为13个。

4.  一版邮票有20行20列，共400张，称由3张同一行或同一列相连的邮票组成的叫“三联”，他能最多剪         块。

【答案】：133

【分析】：400÷3＝133……1，所以最多可以剪出133块“三联”。

5. 如下图所示，将1,2,3，…，8分别放在正方体的8个顶点上，使得每一个面上的任意3个数的和都不大于17，这时每一个面上4个数的和最大是            ，并且填出一种放法。

【答案】：20，填法如右图

【分析】：令正方体上四数和最大的一面四个数分别为a、b、c、d，则其中3数和分别为a＋b＋c，a＋b＋d，a＋c＋d，b＋c＋d四个和，显然这四个和为不同的自然数，因每一个面上的任意3个数的和都不大于17，则这四个和最大为17、16、15、14，此时四个和的总和为17＋16＋15＋14＝62，a、b、c、d各加3次，则a＋b＋c＋d≤，即a＋b＋c＋d的最大值为20. 然后经过简单枚举，可得如图填法，此时每一个面上4个数的和最大是20.

6.  阿凡达有一个出了故障的计算器，当打开电源时，视窗上显示数字0.如果按下“＋”键则它会加上51；按下“一”键则它会减去51；按下“×”键则它会加上85；按下“÷”键则它会减去85；而其他的按键则无效。阿凡达打开计算器电源，任意操作上述按键，那么他可以得到最接近2010的数是             。

【答案】：2006

【分析】：该题关键在于发现51与85均为17的倍数，因为初始显示是0，那么不管怎么按＋，－，×，÷ 四个按键，得到的一定是17的倍数，而最接近2010的17的倍数为2006，并且2006＝17×118是可以操作出来的。如按23次“×”键，再按一次“＋”键。

7.  已知AB为圆O的直径、P为园外一点，如下图所示。证明PA＋PB＞2PO。

【答案】：见分析。

【分析】：如右图所示，延长PO使得PO＝O，连接B、A。则可知PAB为平行四边形且P＝2PO、B＝PA。

    再观察△PB后可知PB＋B＞P，即PA＋PB＞2PO。

8. 有一张纸条上写有16个1.3和18个1.23，划去其中一些数，使留下来的数的总和为19.96，应当划去          个1.3和           1.23。

【答案】：12 ， 6

【分析】：要求留下来的数的和为19.96，因为1.3对于小数点后面第二位没有影响，所以要求留下2个1.23或者12个1.23才能保证小数点后第二位是6.如果是2个，那么留下的若干个1.3的和为19.96－2.46＝17.5，不可能是1.3的倍数。那么如果是12个1.23，则留下的若干个1.3的和为19.96－12×1.23＝5.2，即为4个1.3，所以划去16－4＝12个1.3,18－12＝6个1.23.

9. 某国家的通用硬币有50元、20元、10元、5元、1元等五种。小李宣称无论别人拿100元、50元、20元、10元或5元来向他换零钱，他都无法用口袋里的零钱办到（同样的硬币换同样的硬币不算更换）。请问小李口袋里的硬币至多有多少元？

【答案】：139

【分析】：本题可以分步讨论：第一步，由于5元无法兑换成功，所以1元最多4个；第二步，由于10元无法兑换成功，所以5元最多有1个；第三步，由于20元无法兑换成功，所以10元最多只有1个；第四步，由于50元无法兑换成功，所以要么做多有4个10元，要么就是没有10元，而有任意多个20元；第五步，由于100元无法兑换成功，所以50元最多有一个，20元最多有4个。综上所述可以知道：50元有1个，20元有4个，5元有1个，1元有4个时小李口袋内钱数最多，即139元。

10.  已知自然数n具有如下性质：

   （1） 它的每一位数字都是1,2,3中某一个；

   （2） 从自然数n中任意截取相邻的两位，可以得到一个两位数。在所有截取出的两位数中，任意两个数都互不相同。

   请问所有满足条件的自然数n最多可能有几位？请证明你的结论。

【答案】：10

【分析】：①由数字1、2、3组成的两位数有3×3＝9个，分别是：11、12、13、21、22、23、31、32、33.

②截取出的两位数中，任意两个数互不相同，所以自然数最多可能有9＋1＝10位。

③构造出这样的10位数来：1122331321（这样的10位数不唯一）

④如果任给一个10位以上的数，就可以得到9个以上由1、2、3组成的两位数，根据抽屉原理，必能找到2个或2个以上相同的数。所以，自然数最多有10位。

11. 如下图所示，每个小正方形的边是一根火柴棒，图中共有        根火柴棒，共有            个正方形，至少去掉         根火柴棒，才能破坏掉所有的正方形。

【答案】：40；30；9

【分析】：有4×5×2＝40（根）火柴棒，4×4＋3×3＋2×2＋1＝30（个）正方形。

      一共有16个小正方形，每去掉一根火柴棒最多破坏两个小正方形，至少要去掉8根，但是要破坏最大的正方形要去掉边上的火柴棒，而去掉边上的火柴棒只能破坏1个小正方形，所以至少要去掉9根火柴棒，构造如右图。

12. 将1、2、3、4、5、6写在一圆圈周上，然后把圆周上连续三个数之和写下，则可得到六个数a1、a2、a3、a4、a5、a6，将这六个数中最大值记为A。请问在所有填写方式中，A的最小值是什么？

【答案】：11

【分析】：因为＋＋＋＋＋＝3×（1＋2＋3＋4＋5＋6）＝63，所以最大值A一定不小于这六个数的平均数63÷6＝10.5，从而最大值A一定不小于11. 另外如果圆周按照6 ， 1 ，4 ，5 ，2， 3的顺序排列，那么最大值A刚好就是11，于是A的最小值是11.

13. 将编号为1到1000的瓶子依次排在一个圆上。从1号瓶子开始放入一颗糖果，接着每间隔14个瓶子后，在下一个瓶子内再放入一颗糖，因此在1、16、31、…号瓶内放入糖。当在991号瓶放入糖后，下次放入糖的瓶子为6号，并继续每间隔14个瓶子后，在下一个瓶子内再放入一颗糖。依此方式一直操作下去，直到再也无法于没有放糖的瓶子内放入糖为止。请问最后这个圆上共有多少个瓶子没有糖？

【答案】：800

【分析】：根据题意，我们发现第一圈的时候放入糖的瓶子的编号数有这样的特点，除以15余数为1.大于1000的且除以15余数为1的第一个数是1006，那么第二圈第一个放入糖的编号为6，所以编号数除以15余数为6的瓶子也都会放入糖，类似的大于1000的且除以15余数为6的数是1011，那么第三圈编号数除以15余11的瓶子会放入糖，以此类推，可发现，下一圈又是除以15余数为1的瓶子放入糖，那么我们发现只有编号数除以15余1、6、11的瓶子有糖。1000÷15＝66……10，有糖的瓶子数目为66×3＋2＝200（个），则没有糖的瓶子数目是1000－200＝800（个）。

14. 有3部卡片打印机。第一部能根据原有卡片上的号码（a，b），打印一张号码为（a＋1，b＋1）的卡片；第二部则当原号码（a，b）中a和b二数皆为偶数时，打印一张号码为（，）的卡片；第三部根据两张号码分别为（a，b）和（b，c）的卡片，打印一张号码为（a，c）的卡片。打印过后，原有卡片和新卡片全部归顾客所得，试问：能否利用这三部打印机，由一张卡片为（4，11）的卡片。

   （1）得到号码为（1，22）的卡片？

   （2）得到号码为（411，2004）的卡片？

 若能，请给出一种打印方法；如不能，请说明理由。

【答案】：（1）可以。  （2）不可以。

【分析】：（1）通过第一部打印机打出（11，18），通过第三部打印机打出（4 ，18），通过第二部打印机打出（2 ，9）；通过第一部打印机打出（9 ，16），通过第三部打印机打出（2 ，16），通过第二部打印机打出（1 ，8），再经过第一部打印机打出（8 ，15）和（15 ，22），再通过第三部打印机打出（1 ，22）。

（2）根据三部打印机的特点，我们发现第一部打印机因为同时加1，所以不会改变原卡片的两个数字差，假设这个数字差为x，第三部打印机可以将这个数字差扩大n倍。如果原始数字差x为奇数，那么第二部打印机不能直接处理，因为两个数不可能同为偶数，最终也不会改变数字差x的大小。而如果原始数字差为偶数，那么就可以发生改变，产生新的数字差y，x＝2y。

    依据以上原则进行递推，该题中原始数字差22－1＝21，为7的倍数，所以是可以的。

    又因为2004－411＝1593不是7的倍数，所以第二张卡片是打不出来的。

15. 8支足球队参加一次足球联赛，要求任何两支球队都要进行一场比赛，并且规定：每场比赛获胜可以得2分，打平可以得1分，输了则只能得到0分。若一支球队要确保进入前3名（也就是它的得分至少比5支球队高），至少应该积         分。

【答案】：12

【分析】：首先可以说明当得11分时，无法确保进入前3名。不妨设这8个球队为1--8号，其中1--4号队在比赛时互相都是平分，而他们在对阵5--8号球队时均保持全胜，这样1--4号球队就均获得11分。这就说明获得11分无法保证进入前3名。

而当有一个队获得12分时，不妨设此队为1号队，则存在两种可能：

（1） 1号队取得了6场胜利，此时在输给1号队的六只队中最多只有一支球队的得分能达到12分，因此1号队一定能进前3名；

（2） 1号队取得了5场胜利和2场平局，则又存在两种可能：

 ①  败给1号队的五支球队中只有至多一支的得分达到12分，而当这支球队的得分达到12分时，其余各队的得分将无法达到12分，此时1号队至少是第二名；

 ②  败给1号队的五支球队中没有一支的得分达到12分，这样1号队的得分一定能够进前3名。

16. 今有长度分别为1厘米、2厘米、3厘米、…、9厘米长的木棍各一根（规定不许折断），从中选用若干根组成正方形，可有            种不同方法。

【答案】：9

【分析】：这些木棍的总长度为（1＋9）×9÷2＝45（厘米），选出若干根构成正方形，假设边长为a。那么我们可得，a不超过11厘米。

   a＝11时，（9 ，2）、（8 ，3）、（7 ，4）、（6 ，5）

   a＝10时，（9 ，1）、（8 ，2）、（7 ，3）、（6 ，4）

   a＝9时， 9、（8 ，1）、（7 ，2）、（6 ，3）、（5 ，4）中选出4个即可，有5种方法。

   a＝8时， 8、（7 ，1）、（6 ，2）、（5 ，3）

   a＝7时， 7、（6 ，1）、（5 ，2）、（4 ，3）

   a＝6时， 不能构造出。

   则共9种方法。

17. 下图是一张纸片上标注了相应线段的长度，请将它剪成三块，然后拼成一个大正方形。

【答案】：如上图所示

【分析】：图形的面积为4×（4＋4＋2）÷2＋（4＋4＋2＋10）×8÷2＝100,100＝10×10，所以拼得的正方形边长为10.实验可构造出如上图所示的正方形。

18. 将1、2、3、…、16等十六个数分成二组，每组8个数，使得每一组中任两个数之和（共有28个和）都可以等于另一组中两个数的和。请任写出其中一组的数。

【答案】：16 ，13 ，11 ，10 ，7 ，6 ，4 ，1

【分析】：我们假设为A、B两组。不妨设16属于a组，那么15只能属于b组，不然a组中15＋16＝31，b组不可能有两个数和是31，类似的14也只能属于b组。研究13，因为b组中15＋14＝29,13必须属于a组，否则a组中凑不出29.再看12，如果12属于a组，那么12＋16＝28，则b组中凑不出28来，因此12属于b组。以此类推可得最终结果。

19. 在9×9的方格表的每个小方格中都有1只甲虫。听到哨声后，每一只甲虫都沿对角线方向迁移到一个相邻方格中（如右图所示）。这样一来，有些方格中就可能有好几只甲虫，而另一些方格中则没有甲虫。求没有甲虫的空格的最小可能个数。

【答案】：9个

【分析】：如右图所示，将9列方格交替地涂上黑色与白色，使得每列方格同色，每相邻两列方格异色。于是在迁移过程中，白格中的甲虫进入黑格，而黑格中的甲虫进入白格。但表格上有36个白格和45个黑格，故知迁移之后至少有9个黑格中没有甲虫，即至少有9个空格。

另外，若甲虫的迁移按图中所示的情形进行。显然，表格中恰有9个空格，即画有对号的9个方格。

综上可知，表格中最少有9个空格。

20.  如下图所示，字母A、B、C、D、E、F、G、H所代表的顶点分别代表1,2,3,4,5,6,7,8这八个数字中的一个，将每条线段上都写上该线段的两个端点字母所代表的数字之和，设这12条线段上最多能出现m个不同的和数，最少能出现n个不同的和数，那么m＋n＝？

【答案】：16

【分析】：如下图所示，每个顶点均和其他三个数相连，而与同一顶点相连的这三个数两两互不相连。12条线段的和数相加应为（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8）×3＝108.

如果12条线段能够出现12个不同的和数，其中最小的和数为1＋2＝3，已知3＋4＋5＋6＋……＋14＝12,108－102＝6，即最小可以把9换为15，而3、4、5、6、7、8这六个和数必须有。3只能为1＋2 ， 4只能为1＋3， 5可以拆为2＋3或1＋4，但2、3同时与1相连，所以2、3不相连，那么只能拆成1＋4。 6可以拆为2＋4或1＋5，但2和4同时与1相连，所以2、4不相连；1已经和2、3、4三个数相连，不能再和5相连，6无法再分拆，所以无法出现12个不同的和数，即m≤11.

已知1和三个不同数相连，那么它最大只能和8相连，即最大会出现9；而8最小只能和1、2、3三个数相连，最小会出现9，所以1和8周围最少出现5个和数，即n≥5.

以下为m＝11和n＝5的构造方法。

综上，m＋n＝16.

21.  请在10厘米×10厘米的正方形四个边上的每一个点都涂上红、蓝、黑三种颜色的一种，使得任两个距离恰为10厘米的点所涂上的颜色互不相同。（每个交界点或每条线段必须正确标明颜色才算全对）

【答案】：见分析

【分析】：如上图所示，令这个正方形为ABDC。分别在AC、CD上取P、S使得△PCS是等腰直角三角形且其斜边PS长度为10，再分别在AB、BD上取Q、R使得QBR是等腰直角三角形且其斜边QR长度为10,。则可用以下涂法：

（1）将BQ、BR（包含R点但不包含Q点）涂蓝色。

（2）将PC、CS（包含S点但不包含P点）涂黑色。

（3）将AP、AQ（包含P与Q点）与DS、DR（不包含S与R点）涂红色。这是因为利用此涂法，可知：

（1）若两点皆为蓝色时，必在△QBR的BQ、BR边上，但因在△QBR内距离为10厘米的两点恰为Q、R两点，故两点皆为蓝色时其距离必小于10厘米。

（2）若两点皆为黑色时，必在△PCS的PC、CS边上，但因在△PCS内距离为10厘米的两点恰为P、S两点，故两点皆为黑色时其距离必小于10厘米。

（3）若两点皆为红色时，必在六边形PSDRQA的AP、AQ、DS、DR边上。若两点是同时在AP、AQ上或DS、DR上，则其距离必小于10；若是一点在AP或AQ上且另一点在DS或DR上，则其距离必大于10厘米。故两点皆为红色时其距离必不为10厘米。

22.  沿某条直线将一块1000边形（不一定是凸的）的厚纸板切割一次，将它分成了若干个新多边形，问其中最多有多少个三角形？

【答案】：501个                        

【分析】：将下图所示的1000边形沿虚线切开，可得501个三角形。

    注意，在切得的每个三角形中，有一边是切口，另两边是从原多边形的相邻两边上切下来的。而且位于切口两侧的所有三角形，它们的边除切口外，都来自原多边形的不同的边；位于切口两侧的两个三角形。仅当它们同为最左或最右的三角形时，才可能各有1条边是原多边形的同一条边切成的。因此，多边形至多能被切出＋1个三角形。

    综上可知，1000边形最多可切出501个三角形。