六年级思维专项训练8 计数综合(原卷+解析)

六年级思维训练8   计数综合1、若4个两两不同的自然数的倒数之和为1，则这样的自然数组（次序不同认为是同共有        组，      2、 如下图所示，在纸上画有A、B、C三点，经过其中任意两点画一条直线，可以画3条直线，如果在纸上画有5个点，其中任意三个点都不在一条直线上，经过每两点画一条直线，可以画____条直线．    3、在右下图中，以最短的路径从点P到点Q，请问共有        种不同的走法．     4、科学家“爱因斯坦”的英文名拼写为“Einstein”，如下图所示，按图中箭头所示方向有       种不同的方法拼出英文单词“Einstein”．      5、在下图中，用水平或者竖直的线段连接相邻的字母，当沿着这些线段行走时，正好拼出“APPLE”的路线共有多少条？      6、甲队和乙队进行的一场足球赛的最终比分是4：2，已知甲队先进一球，而乙队在比赛过程中始终没有领先过，那么两队的入球次序共有        种不同的可能．       7、如下图所示，27个单位正方体拼成大正方体，沿着面上的格线，从A到B的最短路线共有           条．      8、国际象棋中“马”的走法如图a所示，位于O位置的“马”只能走到标有×的格中，类似于中国象棋中的“马走日”．如果“马”在8×8的国际象棋棋盘中位于第一行第二列（图b）中标有△的位置），要走到第八行第五列（图b）中标有★的位置），最短路线有     条．  9、小思从X市开车到y市，她必须遵照下图箭头所指示的方向行驶：请问小思由X市到y市共有多少种不同的路径？        10、 A，B两人进行象棋比赛，没有和棋，先比对方多胜三局的一方赢得比赛，如果经过11局比赛A才以7胜4负获胜，那么这11局比赛的胜负排列共有      种．（例如：“胜负胜负胜负胜负胜胜胜”是一种胜负排列）     11、 一个正在行进的8人队列，每人身高各不相同，按从低到高的次序排列．现在他们要变成2列纵队，每列仍然是按从低到高的次序排列，同时要求并排的每两人中左边的人比右边的人要矮，那么，2列纵队有         种不同排法．     12、有7个相同的小球放人4个不同的盒子中，每个盒子中至少放一个球，则共有      种不同的放法．A. 15    B．18    C．20    D．24    13、 以下图的黑点作为顶点，请问可作出多少个三角形？     14、正整数2009的数码和为11，请问在2010到2999之间有多少个自然数其数码和为11 ？      15、学学和思思一起洗已摞好的5个互不相同的碗，思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放人碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，那么学学摞好的碗一共有        种不同的摞法。      16、将8颗巧克力糖全部分给三位小朋友，可以有人分不到，请问共有多少种不同的分法？     17、彼此不等且大于0的偶数a、b、c、d满足“+b+c+d=20，这样的偶数组（a、b、c、d）共有       组．     18、西洋有个迷信，如果某月的13日正巧是星期五，则是不吉祥的日子，俗称为“黑色星期五”(BLACK FRIDAY)，例如2009年的3月13日就是一个“黑色星期五”．请问一年内至多有几个“黑色星期五”？      19、有五位学生的作业本忘记写姓名，老师只好将作业本随机发还给五位学生．请问有多少种情况学生全都不是拿到自己的作业本？
六年级思维训练8   计数综合参考答案1、若4个两两不同的自然数的倒数之和为1，则这样的自然数组（次序不同认为是同共有       组，【答案】6【分析】  = == ==2、 如下图所示，在纸上画有A、B、C三点，经过其中任意两点画一条直线，可以画3条直线，如果在纸上画有5个点，其中任意三个点都不在一条直线上，经过每两点画一条直线，可以画____条直线．【答案】10【分析】每个点和其余四个点可以组成一条直线，最后每条直线算了两次，再除以2. 5×4÷2=103、在右下图中，以最短的路径从点P到点Q，请问共有        种不同的走法．【答案】60【分析】如下图利用标数法，即可得到答案． 4、科学家“爱因斯坦”的英文名拼写为“Einstein”，如下图所示，按图中箭头所示方向有       种不同的方法拼出英文单词“Einstein”．   【答案】 60   【分析】 由E   i   n   s   t    e    i   n的拼法如下图所示． 根据加法原理可得共有30+30=60（种）不同拼法．  5、在下图中，用水平或者竖直的线段连接相邻的字母，当沿着这些线段行走时，正好拼出“APPLE”的路线共有多少条？ 【答案】31种【分析】标数法，如下图所示 6、甲队和乙队进行的一场足球赛的最终比分是4：2，已知甲队先进一球，而乙队在比赛过程中始终没有领先过，那么两队的入球次序共有        种不同的可能．【答案】9【分析】由于出现乙队在比赛过程中始终没有领先过，所以可以采用阶梯标数法，如下图所示共有9种．   7、如下图所示，27个单位正方体拼成大正方体，沿着面上的格线，从A到B的最短路线共有           条．    【答案】384【分析】如下图所示，利用标数法可得：最短路线有条384条．   8、国际象棋中“马”的走法如图a所示，位于O位置的“马”只能走到标有×的格中，类似于中国象棋中的“马走日”．如果“马”在8×8的国际象棋棋盘中位于第一行第二列（图b）中标有△的位置），要走到第八行第五列（图b）中标有★的位置），最短路线有     条．【答案】12    【分析】如下图所示，采用标数法，可知共有12条最短路线．    9、小思从X市开车到y市，她必须遵照下图箭头所指示的方向行驶：请问小思由X市到y市共有多少种不同的路径？   【答案】10【分析】方法一：使用标数法'如下图所示，到X、L、M、N只有一种可能都标1，之后P可以从L到达标1，Q可以从L、M、N到达标3，O可以从X、N到达标1+1=2，以此类推：R标1+2=3，S标1+3+2=6，y标1+6+3 =10，所以从X市到y市共有10种不同的路径．          方法二：共10种不同路径，如下图所示．   10、 A，B两人进行象棋比赛，没有和棋，先比对方多胜三局的一方赢得比赛，如果经过11局比赛A才以7胜4负获胜，那么这11局比赛的胜负排列共有      种．（例如：“胜负胜负胜负胜负胜胜胜”是一种胜负排列）【答案】81【分析】 如下图所示，利用标数法，横向走一格表示A多胜了一局，纵向走一格表示A多负了一局，数字表示排列种数．到达右上角A就以7胜4负获胜．如图中a点表示A胜3场负0场，比赛就结束了，所以a点无法到达，而图中6点，由于A负了l场，表示A是3胜l负，就可以到达．图中c点表示A是0胜3负，无法到达，而d点是1胜3负，就可以到达．最后共有81种排法．     11、 一个正在行进的8人队列，每人身高各不相同，按从低到高的次序排列．现在他们要变成2列纵队，每列仍然是按从低到高的次序排列，同时要求并排的每两人中左边的人比右边的人要矮，那么，2列纵队有         种不同排法．【答案】14【分析】如图8人排队相当于把8个人填入上边2列方格中，当A的位置确定时，第二列最多可以确定一个位置D，当确定A、B两个位置时，第二列最多可以确定C、D两个位置，因此第二列确定的位置个数永远不会多于第一列确定的位置个数，因此我们用横线代表第一列确定的位置，用竖线代表第二列确定的位置，    画图如下：     因此2列纵队有共有14种排法．12、有7个相同的小球放人4个不同的盒子中，每个盒子中至少放一个球，则共有       种不同的放法．A. 15    B．18    C．20    D．24【答案】C【分析】插板法，C63=20.13、 以下图的黑点作为顶点，请问可作出多少个三角形？    【答案】81【分析】 排除法，图中共有10个点，我们先随意选三个点，共有C103=120，然后排除三点在一条直线的：C73＋C43 =39，因此共有120 - 39 =81（个）． 14、正整数2009的数码和为11，请问在2010到2999之间有多少个自然数其数码和为11 ？【答案】54【分析】方法一：可知千位数必为2，故考虑百位数、十位数与个位数之和为9的数．    (1)当百位数为9时，仅2900满足；    (2)当百位数为8时，2810、2801满足；    (3)当百位数为7时，2720、2702、2711满足；    (4)当百位数为6时，2630、2603、2621、2612满足；    (5)当百位数为5时，2540、2504、2531、2513、2522满足’    (6)当百位数为4时，2450、2405、2441、2414、2432、2423满足；    (7)当百位数为3时．2360、2306、2351、2315、2342、2324、2333满足；    (8)当百位数为2时，2270、2207、2261、2216. 2252、2225、2243、2234满足；    (9)当百位数为1时，2180、2108、2171、2117、2162、2126、2153、2135、2144满足；    (10)当百位数为O时，2090、2081、2018、2072、2027、2063、2036、2054、2045满足．    因此共有1+2+3+4+5+6+7+8+9+9=54（个）．    方法二：可知千位数必为2，故考虑百位数、十位数与个位数之和为9的数，即将九个1分为大于等于O的三部分，此亦即将十二个1分为大于0的三部分，即从十二个l中间的11个间隔中取二个切开，故有C21,一11×10÷2-55（种）分法，但是2009要排除在外，因此共有54个．15、学学和思思一起洗已摞好的5个互不相同的碗，思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放人碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，那么学学摞好的碗一共有        种不同的摞法。【答案】42【分析】 方法一：用枚举法．如下所示，共有42种不同的摞法：    5-4-3-2-1,4 -5 -3 -2 -1,3-5 -4 -2 -1,5 -3 -4 -2 -1,3-4 - 5- 2-1,5-4-2-3-1,4 -5 -2 -3 -1,2 -5 -4 -3 -1,5 -2 -4 -3 -1,2-4 -5 - 3-1,5-2-3-4-1,2 -5 -3 -4 -1,2-3 -5 -4 -1,2 -3 -4 -5 -1,5-4 -3 -1-2,    4-5-3-1-2,5 -3 -4 -1-2,3-5 -4 -1-2,3 -4 - 5-1-2,5-4 -1-3-2.    4-5-1-3 - 2,1-5 -4 -3 - 2,5 -1- 4-3 -2,1-4-5-3-2,5 -1- 3-4 -2,    1- 5-3-4-2,1-3 -5 -4 - 2,1-3-4 -5-2,5 -4 -1-2 -3,4 -5 -1-2-3,    1- 5-4-2-3,5 -1-4-2-3,1-4 - 5-2 -3,1- 2-5 -4 - 3,5 -1-2 -4 -3,    1- 5-2-4-3,1- 2-4 -5 -3,1-2 -3-5- 4,1-2 -5 -3- 4,1- 5-2-3-4,5-1-2-3-4,1-2-3-4-5.            方法二：用标数法．我们把学学洗5个碗的过程看成从起点向右走5步（即洗几个碗就代表向右走几步），思思摞5个碗的过程看成是向上走5步（即摞几个碗就代表向上走几步），摞好碗的摞法，就代表向右、向上走5步到达终点最短路线的方法．由于洗的碗不能少于摞的碗，所以向右走的路线不能少于向上走的路线，所以我们用右边的阶梯标数法进行标数，共有42种走法，即代表42种摞法．16、将8颗巧克力糖全部分给三位小朋友，可以有人分不到，请问共有多少种不同的分法？【答案】45【分析】插板法进阶，补上3颗巧克力，即转化为每人至少分一颗的分法，C8＋3－12=45．17、彼此不等且大于0的偶数a、b、c、d满足“+b+c+d=20，这样的偶数组（a、b、c、d）共有       组．【答案】24【分析】20= 2+4+6+8，即20只能拆为2，4，6，8这四个符合条件的偶数，顺序不同是不同偶数组，故有A44=24.18、西洋有个迷信，如果某月的13日正巧是星期五，则是不吉祥的日子，俗称为“黑色星期五”(BLACK FRIDAY)，例如2009年的3月13日就是一个“黑色星期五”．请问一年内至多有几个“黑色星期五”？【答案】3个【分析】若该年不是闰年，则1到12月每月的天数依序为31、28、3l、30、31、30、31、31、30、31、30、31天，因一星期有七天，所以1到12月每月的天数除以7后所得余数依序为3、O、3、2、3、2、3、3、2、3、2、3，因此若1月13日是星期K（星期日视为星期O，K为0～6的正整数），则该年1月到12月的13日依序为垦期K、K+3、K+3、K+6、K+l、K+4、K+6、K+2、K+5、K、K+3、K+5（以上之值若超过7，则化简为除以7后之余数），其中K+3 m现三次是最多的，故这一年黑色星期五最多有三天，发生在K=2时；若该年是闰年，则1到12月每月的天数依序为31、29、31、30、31、30、31、31、30、31、30、31天，因一星期有七天，所以1到12月每月的天数除以7后所得余数依序为3、1、3、2、3、2、3、3、2、3、2、3，因此若1月13日是星期K（星期日视为星期O，K为0～6的正整数），则该年1月到12月的13日依序为星期K、K+3、K+4、K、K+2、K+5、K、K+3、K+6、K+l、K+4、K+6（以上之值若超过7，则化简为除以7后之余数），其中K出现三次是最多的，故这一年黑色星期五最多有三天，发生在K=5时，因此无论是否闰年一年内最多有3个黑色星期五．19、有五位学生的作业本忘记写姓名，老师只好将作业本随机发还给五位学生．请问有多少种情况学生全都不是拿到自己的作业本？【答案】44【分析】令这五位学生为A、B、C、D、E，作业本为a、6、c、d、e．    可知将作业本分给五位学生的全部情况共有5×4×3×2×1=120（种）．    (1)五位学生中全取到自己的作业本恰有1种情况；    (2)五位学生中恰四位取到自己的作业本不可能发生；    (3)五位学生中恰三位取到自己的作业本书时，即另二位学生取错作业本时，因二位学生取错必是互相拿错这一种情况，故有C52=5×4÷2=10（种）情况；    (4)五位学生中恰两位取到自己的作业时，即另三位学生都取错作业时．假设A、B 取到自己的作业本、而C、D、E三人都取错，则有以下2种情况：          因两位学生取到自己的作业本有C52=5×4÷2=10（种）情况，而由上面的例子可知另三位学生都取错时有2种情况，故共有10×2=20（种）情况；    (5)五位学生中仅一位取到自己的作业本时，即另四位学生都取错作业本时．假设A取到自己的作业本，而B、C、D、E四人都取错，则有以下9种情况：       因仅一位取到自己的作业本有5种可能，而由上面的例子可知另四位学生都取错时有9种情况，故共有5×9=45（种）情况；所以五位学生全取错作业本的情况有120-1-10-20-45=44（种）．