初中数学沪科版八年级下册16.2 二次根式的运算第2课时教案

这是一份初中数学沪科版八年级下册16.2 二次根式的运算第2课时教案，共2页。教案主要包含了情境导入，合作探究，板书设计等内容，欢迎下载使用。




1．了解二次根式的混合运算顺序；


2．会进行二次根式的混合运算．(重点、难点)





一、情境导入


如果梯形的上、下底边长分别为2eq \r(2)cm，4eq \r(3)cm，高为eq \r(6)cm，那么它的面积是多少？


毛毛是这样算的：


梯形的面积：eq \f(1,2)(2eq \r(2)＋4eq \r(3))×eq \r(6)＝(eq \r(2)＋2eq \r(3))×eq \r(6)＝eq \r(2)×eq \r(6)＋2eq \r(3)×eq \r(6)＝eq \r(2×6)＋2eq \r(18)＝2eq \r(3)＋6eq \r(2)(cm2)．


他的做法正确的吗？


二、合作探究


探究点一：二次根式的混合运算


【类型一】 二次根式的混合运算


计算：


(1)eq \r(48)÷eq \r(3)－eq \r(\f(1,2))×eq \r(12)＋eq \r(24)；


(2)eq \r(\f(1,2))÷eq \r(\f(4,3))×eq \f(2,\r(3))－eq \r(50).


解析：(1)先算乘除，再算加减；(2)先计算第一部分，把除法转化为乘法，再化简．


解：(1)原式＝eq \r(16)－eq \r(6)＋eq \r(24)＝4－eq \r(6)＋2eq \r(6)＝4＋eq \r(6)；


原式＝eq \r(\f(1,2)×\f(3,4))×eq \f(2\r(3),3)－5eq \r(2)＝eq \r(\f(3,8))×eq \f(2,3)eq \r(3)－5eq \r(2)＝eq \f(\r(6),4)×eq \f(2,3)eq \r(3)－5eq \r(2)＝eq \f(\r(2),2)－5eq \r(2)＝


－eq \f(9,2)eq \r(2).


方法总结：二次根式的混合运算与实数的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的．


【类型二】 运用乘法公式进行二次根式的混合运算


计算：


(1)(eq \r(5)＋eq \r(3))(eq \r(5)－eq \r(3))；


(2)(3eq \r(2)－2eq \r(3))2－(3eq \r(2)＋2eq \r(3))2.


解析：(1)用平方差公式计算；(2)逆用平方差公式计算．


解：(1)(eq \r(5)＋eq \r(3))(eq \r(5)－eq \r(3))＝(eq \r(5))2－(eq \r(3))2＝5－3＝2；


(2)(3eq \r(2)－2eq \r(3))2－(3eq \r(2)＋2eq \r(3))2＝(3eq \r(,2)－2eq \r(,3)＋3eq \r(,2)＋2eq \r(,3))(3eq \r(,2)－2eq \r(,3)－3eq \r(,2)－2eq \r(,3))＝－24eq \r(,6).


方法总结：多项式的乘法公式在二次根式的混合运算中仍然适用，计算时应先观察式子的特点，能用乘法公式的用乘法公式计算．


【类型三】 二次根式的化简求值


先化简，再求值：eq \f(x＋\r(xy),\r(xy)＋y)＋eq \f(\r(xy)－y,x－\r(xy))(x>0，y>0)，其中x＝eq \r(3)＋1，y＝eq \r(3)－1.


解析：首先根据约分的方法和二次根式的性质进行化简，然后再代值计算．


解：原式＝eq \f(\r(x)（\r(x)＋\r(y)）,\r(y)（\r(x)＋\r(y)）)＋eq \f(\r(y)（\r(x)－\r(y)）,\r(x)（\r(x)－\r(y)）)＝eq \f(\r(x),\r(y))＋eq \f(\r(y),\r(x))＝eq \f(x＋y,\r(xy)).


∵x＝eq \r(3)＋1，y＝eq \r(3)－1，∴x＋y＝2eq \r(3)，xy＝3－1＝2，∴原式＝eq \f(2\r(3),\r(2))＝eq \r(6).


方法总结：在解答此类代值计算题时，通常要先化简再代值，如果不化简，直接代入，虽然能求出结果，但往往导致烦琐的运算．化简求值时注意整体思想的运用．


【类型四】 二次根式混合运算的应用


一个三角形的底为6eq \r(3)＋2eq \r(2)，这条边上的高为3eq \r(3)－eq \r(2)，求这个三角形的面积．


解析：根据三角形的面积公式进行计算．


解：这个三角形的面积为eq \f(1,2)(6eq \r(3)＋2eq \r(2))(3eq \r(3)－eq \r(2))＝eq \f(1,2)×2×(3eq \r(3)＋eq \r(2))(3eq \r(3)－eq \r(2))＝(3eq \r(3))2－(eq \r(2))2＝27－2＝25.


方法总结：根据题意列出关系式，计算时注意观察式子的特点，选取合适的方法求解，能应用公式的尽量用公式计算．


探究点二：二次根式的分母有理化


【类型一】 分母有理化


计算：


(1)eq \f(2\r(15)＋\r(12),\r(2))；


(2)eq \f(\r(3)－\r(2),\r(3)＋\r(2))＋eq \f(\r(3)＋\r(2),\r(3)－\r(2)).


解析：(1)把分子、分母同乘以eq \r(2)，再约分计算；(2)把eq \f(\r(3)－\r(2),\r(3)＋\r(2))的分子、分母同乘以eq \r(3)－eq \r(2)，把eq \f(\r(3)＋\r(2),\r(3)－\r(2))的分子、分母同乘以eq \r(3)＋eq \r(2)，再运用公式计算．


解：(1)eq \f(2\r(15)＋\r(12),\r(2))＝eq \f(（2\r(15)＋\r(12)）×\r(2),\r(2)×\r(2))＝eq \f(2\r(30)＋2\r(6),2)＝eq \r(30)＋eq \r(6)；


(2)eq \f(\r(3)－\r(2),\r(3)＋\r(2))＋eq \f(\r(3)＋\r(2),\r(3)－\r(2))＝eq \f(（\r(3)－\r(2)）2,（\r(3)＋\r(2)）（\r(3)－\r(2)）)＋eq \f(（\r(3)＋\r(2)）2,（\r(3)－\r(2)）（\r(3)＋\r(2)）)＝eq \f(5－2\r(6),3－2)＋eq \f(5＋2\r(6),3－2)＝5－2eq \r(6)＋5＋2eq \r(6)＝10.


方法总结：把分母中的根号化去就是分母有理化，分母有理化时，分子、分母应同乘以一个适当的式子，如果分母只有一个二次根式，则乘以这个二次根式，使得分母能写成eq \r(a)·eq \r(a)的形式；如果分母有两项，分子、分母乘以一个二项式，使得能运用平方差公式计算．如分母是eq \r(a)＋eq \r(b)，则分子、分母同乘以eq \r(a)－eq \r(b).








【类型二】 分母有理化的逆用


比较eq \r(15)－eq \r(14)与eq \r(14)－eq \r(13)的大小


解析：把eq \r(15)－eq \r(14)的分母看作“1”，分子、分母同乘以eq \r(15)＋eq \r(14)；把eq \r(14)－eq \r(13)的分母看作“1”，分子、分母同乘以eq \r(14)＋eq \r(13)，再根据“分子相同的两个正分数比较大小，分母大的反而小”，得到它们的大小关系．


解：eq \r(15)－eq \r(14)＝eq \f(（\r(15)－\r(14)）（\r(15)＋\r(14)）,\r(15)＋\r(14))＝eq \f(1,\r(15)＋\r(14))，eq \r(14)－eq \r(13)＝eq \f(（\r(14)－\r(13)）（\r(14)＋\r(13)）,\r(14)＋\r(13))＝eq \f(1,\r(14)＋\r(13)).∵eq \r(15)＋eq \r(14)＞eq \r(14)＋eq \r(13)＞0，


∴eq \f(1,\r(15)＋\r(14))＜eq \f(1,\r(14)＋\r(13))即eq \r(15)－eq \r(14)＜eq \r(14)－eq \r(13).


方法总结：把分母为“1”的式子化为分子为“1”的式子，根据分母大的反而小可以比较两个数的大小．


三、板书设计








二次根式的混合运算可类比整式的运算进行，注意运算顺序，最后的结果应化简．引导学生勇于尝试，加强训练，从解题过程中发现问题，解决问题．本节课的易错点是运算错误，要求学生认真细心，养成良好的习惯